\documentclass[mathserif,t]{beamer}
%\documentclass[mathserif, handout,t]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}
\Teachtrue

\begin{document}

\titreCours{5}{Applications de la dérivée}{}{}

\def\mySample{100}
\def\mySampleS{20}

\pgfmathdeclarefunction{ex1}{1}{%
	\pgfmathparse{0.5*(0.2*(#1-1)^5-4/3*(#1-1)^3+1)}%
}

\begin{frame}{1. Tangentes}

\underline{Exemple 1.1 (Tangente en un point)} Soit $f(x)= x^2 -\sqrt{x} - 10$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=1$.\\

\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.45]
\scriptsize
%\draw[gray, very thin] (-3.9,-11.9) grid (9.9,3.9);
\draw[gray, dashed] (-0.99,-11.9) grid (4.9,3.9);
\draw[-latex, thick] (-1,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex, thick] (0,-12) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};

\clip (-1,-12) rectangle (5,4);

\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=0:10] plot(\x,{(\x)^2-sqrt(\x)-10});
\node[dblue, fill=white] at (3,2) {$f(x)$};
\hunc{2}{\fill[dblue] (1,-10) circle (3pt) node[right]{(1;-10)};}
%\hunc{3}{\fill[dgreen] (0,-11.5) circle (3pt);}
\hunc{3}{\draw[dgreen, thick, samples=2, domain=-2:10] plot(\x,{1.5*(\x)-11.5}); }
%\node[dgreen, right, fill=white] at (4,-6.5) {$y=\dfrac{3}{2}x -\dfrac{23}{2}$};}

\end{tikzpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.63\textwidth}

\hunc{4}{
\small
On cherche une droite d'équation $y=mx+h$ passant par le point $P(1, f(1))$.\\

\uncover<5->{ On commence par calculer la deuxième coordonnée du point: 

$f(1) \hunc{6}{= 1^2 - \sqrt{1} -10} \hunc{7}{= 1 - 1 -10} \hunc{7}{= -10}$}

\hunc{8}{Le point a donc pour coordonnées $(1;-10)$}\\

\hunc{9}{La dérivée de la fonction nous donne la pente de la tangente.}\hunc{10}{On a donc 
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=& [x^2 -\sqrt{x} - 10]' 
\hunc{11}{= 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}}\\
\hunc{12}{&=& 2x - \frac{\sqrt{x}}{2x}}
\hunc{13}{= \frac{4x^2 - \sqrt{x}}{2x}}
\end{eqnarray*}}}

\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}
\hunc{1}{

On évalue la dérivée en $x=1$ pour trouver la pente de la tangente en ce point: $f'(1)\hunc{2}{= \dfrac{4-1}{2}} \hunc{3}{= \dfrac{3}{2}}$. \\[0.2cm]

\hunc{4}{On a donc $m= \dfrac{3}{2}$}\hunc{5}{ et donc $y=\dfrac{3}{2}x + h$.}\\[0.2cm]

\hunc{6}{On sait que la droite passe par le point $(1;-10)$, on peut donc remplacer dans l'équation:
\begin{equa}
-10 &=& \dfrac{3}{2}\cdot 1 + h & \hunc{7}{-\dfrac{3}{2}}\\[0.2cm]
\hunc{8}{\LRq -\dfrac{20}{2} - \dfrac{3}{2} &=&  h & \hunc{9}{\mbox{CN}}}\\[0.2cm]
\hunc{10}{\LRq -\dfrac{23}{2} &=&  h } \uzero\\
\end{equa}}

\hunc{11}{L'équation de la tangente est donc donnée par $y = \dfrac{3}{2}x -\dfrac{23}{2}$. }


}
\end{frame}

\begin{frame}

Esquisser la tangente trouvée sur le graphique ci-dessous. \\

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\scriptsize
%\draw[gray, very thin] (-3.9,-11.9) grid (9.9,3.9);
\draw[gray, dashed] (-3.9,-11.9) grid (9.9,3.9);
\draw[-latex, thick] (-4,0) -- (10,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex, thick] (0,-12) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};

\clip (-4,-12) rectangle (10,4);

\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=0:10] plot(\x,{(\x)^2-sqrt(\x)-10});
\node[left, dblue, fill=white] at (3,2) {$f(x)=x^2-\sqrt{x}-10$};
\hunc{2}{\fill[dblue] (1,-10) circle (3pt) node[right]{(1;-10)};}
\hunc{3}{\fill[dgreen] (0,-11.5) circle (3pt);}
\hunc{4}{\draw[dgreen, thick, samples=2, domain=-2:10] plot(\x,{1.5*(\x)-11.5}); 
\node[dgreen, right, fill=white] at (4,-6.5) {$y=\dfrac{3}{2}x -\dfrac{23}{2}$};}

\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.2 (Tangente de pente donnée)} Soit la fonction $f(x)= x^3 - 5x  +2$. Donner tous les points du graphe de la fonction dont la pente de la tangente vaut $7$. Calculer l'équation de la tangente en ces points et les placer sur le graphique. \\[0.2cm]

\hunc{2}{\small
La pente de la tangente en un point étant donné par la dérivée en ce point, nous cherchons les valeurs pour lesquelles $f'(x)=7$.\uncover<3->{ On commence donc par calculer $f'(x)$:
$$f'(x) = [x^3 -5x + 2]' \uncover<4->{= 3x^2 -5 }$$}
\uncover<5->{On résoud donc l'équation $f'(x)=7$:
\begin{equa}
3x^2 -5 &=& 7 & \uncover<6->{ -7}\\
\uncover<7->{\LRq 3x^2 -12 &=& 0 & \uncover<8->{MEE}}\\
\uncover<9->{\LRq 3(x^2 -4) &=& 0 & \uncover<10->{PR}}\\
\uncover<11->{\LRq 3(x-2)(x+2) &=& 0  \uzero\uncover<12->{\qqR S=\{ -2,2\} }}\\
\end{equa}}
\uncover<13->{La dérivée vaut donc 7 quand $x=-2$ ou $x=2$.}\uncover<14->{On cherche la deuxième coordonnée de ces points: \\
\uncover<15->{$x=2 \Rightarrow y = f(2) 
\uncover<16->{= 2^3 -5 \cdot 2 + 2}
\uncover<17->{= 0 }
\uncover<18->{\Rightarrow  P_1(2,0) }$}\\
\uncover<19->{$x=-2 \Rightarrow y = f(-2) 
\uncover<20->{= (-2)^3 -5 \cdot (-2) + 2}
\uncover<21->{= 4 }
\uncover<22->{\Rightarrow  P_2(-2,4)}$}\\
}}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{minipage}{0.39\textwidth}
\myTikz{0.4}{-5}{5}{-8}{8}{

\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=\mySample, thick] plot(\x, {(\x)^3 - 5*(\x) +2});
\hunc{2}{\fill[dred] (2,0) circle (0.1cm);}
\hunc{3}{\fill[dred] (-2,4) circle (0.1cm);}
\hunc{14}{\fill[dred] (3,7) circle (0.1cm); \draw[dred] (2,0) -- (3,0) -- node[right]{7}(3,7);}
\hunc{16}{\fill[dred] (-3,-3) circle (0.1cm); \draw[dred] (-2,4) -- (-2,-3) -- node[right]{7}(-3,-3);}
\hunc{15}{\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=2, thick, dblue] plot(\x, {7*(\x)-14});}
\hunc{17}{\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=2, thick, dblue] plot(\x, {7*(\x)+18});}

}{}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.6\textwidth}

\hunc{4}{\small
On calcule l'équation $y=mx+h$ de la tangente au point $P_1(2,0)$. \uncover<5->{On sait que la pente vaut 7, on a donc
\begin{equa}
0 &=& 7 \cdot 2 + h & \uncover<6->{-14, \leftrightarrow}\\
\uncover<7->{h &=& -14 \uzero}
\end{equa}}
\uncover<8->{La tangente au point $P_1(2,0)$ est donc d'équation $y= 7x -14$.\\[0.5cm]}
\uncover<9->{
On calcule l'équation $y=mx+h$ de la tangente au point $P_2(-2,4)$. \uncover<10->{On sait que la pente vaut 7, on a donc
\begin{equa}
4 &=& 7 \cdot (-2) + h & \uncover<11->{+14, \leftrightarrow}\\
\uncover<12->{h &=& 18 \uzero}
\end{equa}}
\uncover<13->{La tangente au point $P_1(-2,4)$ est donc d'équation $y= 7x + 18$.}}

}
\end{minipage}
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.3 (Tangente par un point extérieur)} Soit $f(x)= x^2 -1$ une fonction. Trouver toutes les tangentes à cette fonction passant par $P(1,-4)$.\\

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\myTikz{0.5}{-5}{5}{-5}{9}{
\footnotesize
\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=\mySample, thick] plot(\x, {(\x)^2-1});
\fill[dblue] (1,-4) circle (0.1cm) node[left]{$P(1,-4)$};
\hunc{2}{\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=2, thick, dgreen] plot(\x, {6*(\x)-10});}
\hunc{3}{\fill[dred] (3,8) circle (0.1cm) node[left]{$T_1\only<6->{(a,a^2-1)}$};}
\hunc{10}{\draw[dgreen] (1,-4) -- node[below]{$\only<11->{\ro{a}-\bl{1}}$}(3,-4) 
-- node[below, rotate=90]{$\only<12->{\ro{a^2-1}-(\bl{-4})}$}(3,8);}

\hunc{4}{\fill[dred] (-1,0) circle (0.05cm) node[above left]{$T_2(b,b^2-1)$};}
\hunc{5}{\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=2, thick, dgreen] plot(\x, {-2*(\x)-2});}

}{}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.48\textwidth} 
\hunc{6}{Soit $T(a, f(a))$ le point de tangence.\hunc{7}{ On a 
$f(a) = \hunc{4}{a^2-1}\hunc{8}{ \Rightarrow T(a,a^2-1)}$.}

\hunc{9}{On calcule la pente de la droite
$$m
\hunc{13}{= \dfrac{\ro{a^2-1}-(\bl{-4})}{\ro{a}-\bl{1}}}
\hunc{14}{= \dfrac{a^2+3}{a-1}}$$}

\hunc{15}{La pente $m$ correspond à la dérivée de la fonction $f$ au point $a$ ($m=f'(a)$): 
$$f'(x)=[x^2-1]' \hunc{17}{= 2x }\hunc{18}{\Rightarrow f'(a)=2a}$$}
}
\end{minipage} 

\end{frame}

\begin{frame}

\hunc{1}{On a donc 
\begin{equa}
m &=& f'(a) & \\
\hunc{2}{\Rightarrow  \dfrac{a^2+3}{a-1}&=&2a  \hunc{3}{&\cdot (a-1) \quad [a\neq 1]}\\}
\hunc{4}{\Rightarrow  a^2+3 &=& 2a(a-1)  \hunc{5}{&\mbox{ CL}} \\}
\hunc{6}{\Leftrightarrow  a^2+3 &=& 2a^2 -2a  \hunc{7}{& -a^2-3}\\}
\hunc{8}{\Leftrightarrow  0 &=& a^2 -2a -3 \hunc{9}{&\mbox{ SP }, \leftrightarrow}\\}
\hunc{10}{\Leftrightarrow  (a+1)(a-3)&=&0} \hunc{11}{\uzero \qqR S=\{-1,3\}}
\end{equa}
\hunc{12}{Il y a deux points de tangence, en $x=3$ et $x=-1$.}\\[0.2cm]

\hunc{13}{On calcule la deuxième coordonnée de ces points:\\[0.2cm]

$x=3 \Rightarrow y=f(3) 
\hunc{14}{= (3)^2-1 } 
\hunc{16}{= 8 } 
\hunc{17}{\Rightarrow T_1(3, 8)}$ \\[0.2cm]

\hunc{18}{
$x=-1 \Rightarrow y=f(-1) 
\hunc{19}{= (-1)^2-1 } 
\hunc{20}{= 0 } 
\hunc{21}{\Rightarrow T_2(-1, 0)}$ }


}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{minipage}{0.43\textwidth}
\myTikz{0.5}{-4}{5}{-5}{9}{
\footnotesize
\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=\mySample, thick] plot(\x, {(\x)^2-1});
\fill[dblue] (1,-4) circle (0.1cm) node[left]{$P(1,-4)$};
\hunc{8}{\fill[dred] (3,8) circle (0.1cm) node[above left]{$T_1(3,8)$};}
\hunc{9}{\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=2, thick, dgreen] plot(\x, {6*(\x)-10});}
\hunc{16}{\fill[dred] (-1,0) circle (0.1cm) node[above left]{$T_2(-1,0)$};}
\hunc{17}{\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=2, thick, dgreen] plot(\x, {-2*(\x)-2});}

}{}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.45\textwidth}

\hunc{1}{
\hunc{2}{Pour $T_1(3,8)$, on a  $$f'(3) \hunc{3}{= 2\cdot 3 = 6$$}\hunc{4}{ et donc 
\vspace{-0.5cm}
\begin{equa}
8 &=& 6 \cdot 3 + h &\hunc{5}{ -18, \leftrightarrow \\} 
\hunc{6}{\LRq h &=& -10 \uzero }
\end{equa}}
\hunc{7}{et on a donc $y= 6x -10$. }\\}

\hunc{10}{Pour $T_1(-1,0)$, on a  $$f'(1) \hunc{11}{= 2\cdot (-1) = -2}$$\hunc{12}{ et donc 
\vspace{-0.5cm}
\begin{equa}
0 &=& (-2) \cdot (-1)+ h &\hunc{13}{ +2, \leftrightarrow} \\ 
\hunc{14}{\LRq h &=& 2 \uzero  }
\end{equa}}
\hunc{15}{et on a donc $y= -2x -2$. }}
}

\end{minipage}
\end{frame}

\begin{frame}{2. Croissance d'une fonction}

\underline{Exemple 2.1} Identifier les points de la courbe pour lesquels la dérivée est nulle. Construire le tableau de croissance.

\myTikz{0.8}{-3}{5}{-3}{5}{


\draw[samples=\mySample, domain=\xmin:\xmax, very thick] plot(\x,{ex1(\x)});

\hunc{5}{\draw[samples=\mySampleS, domain=\xmin:-1, very thick, dblue] plot(\x,{ex1(\x)});}
\hunc{6}{\draw[samples=\mySampleS, domain=-1:1, very thick, dred] plot(\x,{ex1(\x)});}
\hunc{7}{\draw[samples=\mySampleS, domain=1:3, very thick, dred] plot(\x,{ex1(\x)});}
\hunc{8}{\draw[samples=\mySampleS, domain=3:\xmax, very thick, dblue] plot(\x,{ex1(\x)});}

\hunc{2}{\fill[dgreen] (-1,{ex1(-1)}) circle (3pt) node[above]{(-1, \myPrint)};}
\hunc{3}{\fill[dgreen] (1, {ex1(1)}) circle (3pt) node[above right]{(1, \myPrint)};}
\hunc{4}{\fill[dgreen] (3, {ex1(3)}) circle (3pt) node[below]{(3, \myPrint)};}
}{      
\hunc{5}{\node[left, dblue] at (-2,-1){$f'(x)>0$};}
\hunc{6}{\node[right, dred] at (0,2){$f'(x)<0$};}
\hunc{7}{\node[left, dred] at (2.5,-1){$f'(x)<0$};}
\hunc{8}{\node[left, dblue] at (3.5,3){$f'(x)>0$};}
}


\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\footnotesize
\tkzTabInit[espcl=4]
{ $x$/1,$\ro{f’(x)}$/1,$\bl{f(x)}$/3}%
{ $-\infty$, $\hunc{2}{\ve{-1}}$ , $\hunc{3}{\ve{1}}$,$\hunc{4}{\ve{3}}$, $+\infty$ }%
\hunc{5}{\tkzTabLine {, + , z , - , z , - , z, +, }}%
\hunc{6}{\tkzTabVar{- / , + /$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\hunc{7}{\bl{f(-1)=2.63}}}{\footnotesize\mbox{\hunc{10}{\ora{MAX}}}}$ , R / , - / $\genfrac{}{}{0pt}{0}{\hunc{9}{\bl{f(3)=-1.63}}}{\footnotesize\mbox{\hunc{12}{\ora{MIN}}}}$ , + / }
\tkzTabIma{2}{4}{3}{$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\hunc{8}{\bl{f(1)=0.5}}}{\footnotesize\mbox{\hunc{11}{\ve{PALIER}}}}$}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\uncover<13->{
\underline{Définition 2.1} On appelle \ora{extrema} les points d'une fonction où la dérivée s'annule et change de signe. \uncover<14->{Nous appellerons les points où la dérivée s'annule mais ne change pas de signe des \ve{paliers}.}\uncover<15->{ Plus précisément
\begin{center}
\begin{tabular}{| c | c | c |}
\hline
$a$ & $f'(a)$ & Croissance \\
\hline
\ora{Maximum}  & \hunc{16}{$0$}  & \hunc{17}{$\nearrow$ $\searrow$}  \\
\hline
\ora{Minimum}  & \hunc{18}{$0$}  & \hunc{19}{$\searrow$ $\nearrow$}  \\
\hline
\ve{Palier}  & \hunc{20}{$0$}  & \hunc{21}{$\searrow$  $\searrow$} \\
\hline
\ve{Palier}  & \hunc{22}{$0$}  & \hunc{23}{$\nearrow$ $\nearrow$} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}}

}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 2.2} Calculer les points à dérivée nulle de la fonction donnée par
$$f(x)=\frac{1}{5}x^5 + \dfrac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3} x^3 - 4x^2 + 3$$
Faire le tableau de variation et indiquer les maxima, minima et paliers. \\[0.2cm]

\hunc{2}{

\small
On commence par calculer la dérivée de la fonction:
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \left[\frac{1}{5}x^5 + \dfrac{1}{2}x^4 - \frac{4}{3} x^3 - 4x^2 + 3 \right]'\\
&=& \hunc{3}{\frac{1}{5}\cdot 5 x^4}\hunc{4}{ + \frac{1}{2}\cdot 4 x^3}\hunc{5}{ - \dfrac{4}{3}\cdot 3 x^2} 
\hunc{6}{- 4 \cdot 2x}\hunc{7}{ + 0}\\
\hunc{8}{&=& x^4 + 2x^3 -4x^2 -8x}
\end{eqnarray*}
\hunc{9}{
On factorise la fonction pour trouver ses zéros
\begin{eqnarray*} 
f'(x) &=& x^4 + 2x^3 -4x^2 -8x  
\hunc{10}{= x[x^3 + 2x^2 -4x -8]}\\
\hunc{11}{&=& x[x^2(x+2) - 4(x+2)]}
\hunc{12}{= x[(x+2)(x^2 - 4)]}\\
\hunc{13}{&=& x(x+2)(x+2)(x-2)}
\hunc{14}{= x(x+2)^2(x-2)}
\end{eqnarray*}}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\hunc{1}{
\small
Les zéros de la dérivée sont donc $-2$, $0$ et $2$.\hunc{2}{ On fait le tableau de variation de la fonction:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\footnotesize
\tkzTabInit[espcl=4]
{ $x$/1, $(x+2)^2$/1,$x$/1, $x-2$/1, $f'(x)$/1, $f(x)$/3}%
{ $-\infty$, $\hunc{2}{\ve{-2}}$ , $\hunc{3}{\ve{0}}$,$\hunc{4}{\ve{2}}$, $+\infty$ }%
\hunc{5}{\tkzTabLine {, + , z , + , t , + , t, +, }}%
\hunc{6}{\tkzTabLine {, - , t , - , z , + , t, +, }}%
\hunc{7}{\tkzTabLine {, - , t , - , t , - , z, +, }}%
\hunc{8}{\tkzTabLine {, + , z , + , z , - , z, +, }}%
\hunc{9}{\tkzTabVar{- / , R / , 
+/$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\hunc{13}{\bl{f(0)=\hunc{15}{3}}}}{\mbox{\hunc{20}{\ora{MAX}}}}$,
-/$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\hunc{16}{\bl{f(2)=\hunc{18}{-\frac{139}{15}}}}}{\mbox{\hunc{21}{\ora{MIN}}}}$ , + / }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\hunc{10}{\bl{f(-2)=\hunc{12}{-\frac{11}{15}}}}}{\mbox{\hunc{19}{\ve{PALIER}}}}$}}
\end{tikzpicture}
\end{center}}

\hunc{11}{$f(-2)= \frac{1}{5}\cdot(-2)^5 + \dfrac{1}{2}\cdot(-2)^4 - \frac{4}{3}\cdot(-2)^3 - 4\cdot(-2)^2 + 3 = -\frac{11}{15}$}

\hunc{14}{$f(0)= 3$}

\hunc{17}{$f(2)= \frac{1}{5}\cdot(2)^5 + \dfrac{1}{2}\cdot(2)^4 - \frac{4}{3}\cdot(2)^3 - 4\cdot(2)^2 + 3 = -\frac{139}{15}$}
}

\hunc{18}{
\href{run:./exemple2.ggb}{Graphique sur Geogebra}}

\end{frame}

\begin{frame}{3. Etude de fonctions}

Nous complétons notre plan d'étude d'une fonction avec l'étude de la croissance de la fonction. \\[0.5cm]

\uncover<2->{

\textbf{Plan d'étude d'une fonction}\\
\begin{enumerate}[a)]
\item Ensemble de définition
\item<2-> Zéros
\item<3-> Ordonnée à l'origine
\item<4-> Tableau de signes
\item<6-> Asymptotes verticales ou trous aux valeurs interdites 
\item<7-> Asymptote horizontale ou oblique ($x\rightarrow \infty$) 
\item<8-> Tableau de variation
\item<9-> Esquisse de la fonction
\end{enumerate}}

\end{frame}


\begin{frame}

\underline{Exemple 3.1} Etudier la fonction donnée par $f(x)= \dfrac{x^3}{(x-1)^2}$. 
\hunc{2}{
\small
\begin{enumerate}
\item ED(f) \hunc{3}{= $\mathbb{R}\backslash\{1\}$ }
\item<4-> Zéro en $x=0$ ($\mathcal{Z}(0; 0)$)
\item<5-> Ordonnée à l'origine $f(0)=0$ ($H=\mathcal{Z}$)
\item<6-> Tableau de signes
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\footnotesize
\tkzTabInit[espcl=4]
{ $x$/1, $x^3$/1,$(x-1)^2$/1, $f(x)$/1}%
{ $-\infty$, $0$ , $1$, $+\infty$ }%
\hunc{7}{\tkzTabLine {, - , z , + , d, + }}%
\hunc{8}{\tkzTabLine {, + , t , + , d, + }}%
\hunc{9}{\tkzTabLine {, -, z , + , d, + }}%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\item<11-> AV ou trou: $\limn{1} \dfrac{x^3}{(x-1)^2} \hunc{12}{= "\dfrac{1}{0}"}\hunc{13}{ = \infty$}  
\hunc{14}{AV d'équation $x=1$ $\uparrow | \uparrow$}
\end{enumerate}
}
\end{frame}

\begin{frame}
\hunc{1}{\small
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5}
\item AO \hunc{2}{(Deg(N) = Deg(D)+1):}\hunc{3}{ $f(x)=\dfrac{x^3}{(x-1)^2}\hunc{4}{= \dfrac{x^3}{x^2-2x+1}}$}
\hunc{5}{
$$\begin{array}{r r r r | l}
x^3 & & & & x^2-2x+1 \\ \cline{5-5}
\hunc{7}{-x^3 & +2x^2 & -x & &}\hunc{6}{x}\hunc{9}{ +2} \hunc{7}{\\ \cline{1-3}}
\hunc{8}{    &  2x^2 & -x & &  \\ }
\hunc{10}{    &  -2x^2 & +4x & -2&  \\ \cline{2-4}}
\hunc{11}{    &   & 3x & -2&  \\ }
\end{array}$$}
\hunc{12}{
AO d'équation $y=x+2$, placement}
\begin{itemize}
\item<13-> $f(1000) \hunc{14}{= 1002.003} \hunc{16}{>} \hunc{15}{y=1000+2 = 1002}$
\item<17-> $f(-1000) \hunc{18}{= -998.003} \hunc{20}{<} \hunc{19}{y=-1000+2 = -998}$
\end{itemize}
\item<21-> On calcule la dérivée
\begin{eqnarray*}
\left[\dfrac{x^3}{(x-1)^2}\right]' 
 \hunc{22}{&=& \dfrac{3x^2(x-1)^2 - x^3\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}} \\
 \hunc{23}{&=& \dfrac{x^2(x-1)[3(x-1) - x\cdot 2]}{(x-1)^4} }\\
 \hunc{24}{&=& \dfrac{x^2[3x-3-2x]}{(x-1)^3} }
 \hunc{25}{= \dfrac{x^2(x-3)}{(x-1)^3} }
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}}
\end{frame}

\begin{frame}
\hunc{1}{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\footnotesize
\tkzTabInit[espcl=4]
{ $x$/1, $x^2$/1, $x-3$/1, $(x-1)^3$/1, $f'(x)$/1 , $f(x)$/3}%
{ $-\infty$, $0$ , $1$, $3$, $+\infty$ }%
\hunc{2}{\tkzTabLine {, + , z , + , d, + , t, + }}%
\hunc{3}{\tkzTabLine {, - , t , - , d, - , z, + }}%
\hunc{4}{\tkzTabLine {, - , t , - , d, + , t, + }}%
\hunc{5}{\tkzTabLine {, + , t , + , d, - , t, + }}%
\hunc{6}{\tkzTabVar{- / , R / ,  +D+/ , - /$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\hunc{9}{\frac{27}{4}}}{\mbox{\hunc{10}{\ora{MIN}}}}$ , + / }
\tkzTabIma{1}{3}{2}{$\genfrac{}{}{0pt}{0}{\hunc{7}{0}}{\mbox{\hunc{8}{\ve{PALIER}}}}$}}
\end{tikzpicture}
\end{center}}

\end{frame}

\begin{frame}

\myTikz{0.65}{-5}{10}{-5}{10}{

\hunc{2}{\draw[dred, very thick] (1,\ymin) -- (1,\ymax) node[below left]{$\uparrow$} node[below right]{$\uparrow$};}
\hunc{3}{\draw[dred, very thick] (\xmin,{\xmin+2}) 
-- node[pos=0.1, below, sloped]{$\leftarrow$} 
node[pos=0.75, above, sloped]{$\rightarrow$}
(\xmax,{\xmax+2});}
\hunc{4}{\fill[dgreen] (0,0) circle (3pt) node[below]{$(0,0)$}; 
\draw[very thick, dgreen, dashed] (-1, 0) -- (1,0);}
\hunc{5}{\fill[dorange] (3,27/4) circle (3pt) node[below]{$(3,\frac{27}{4})$};
\draw[very thick, dorange, dashed] (2, 27/4) -- (4,27/4);}


\hunc{6}{\draw[samples=100, domain=\xmin:0.8, dblue, very thick] plot(\x, {((\x)^3)/((\x-1)^2)}); }
\hunc{7}{\draw[samples=100, domain=1.2:\xmax, dblue, very thick] plot(\x, {((\x)^3)/((\x-1)^2)}); }

}{ }


\end{frame}

\begin{frame}{4. Optimisation} 

\underline{Exemple 4.1} On désire construire une boîte à partir d'un carton de dimension 30 cm $\times$  48 cm. 
Trouver les dimensions de la boîte de volume maximal. \\[0.2cm]

\hunc{1}{
\begin{minipage}{0.55\textwidth}

\def\x{1}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]

\draw[thick] (0,0) -- (4.8,0) -- (4.8,3) -- node[above]{48cm}(0,3) -- node[left]{30cm} (0,0);
\uncover<2->{
\filldraw[thick, pattern=north west lines] (0,0) -- + (\x, 0) -- +(\x,\x) -- +(0, \x) -- +(0,0);
\filldraw[thick, pattern=north west lines] (0,3) -- + (\x, 0) -- +(\x,-\x) -- +(0, -\x) -- +(0,0);
\filldraw[thick, pattern=north west lines] (4.8,3) -- +(-\x, 0) -- +(-\x,-\x) -- +(0, -\x) -- +(0,0);
\filldraw[thick, pattern=north west lines] (4.8,0) -- +(-\x, 0) -- +(-\x,\x) -- +(0, \x) -- +(0,0);}
\uncover<3->{\draw[thick, dashed] (\x,\x) -- ({\x+2.8},\x)  -- ({\x+2.8},{\x+1}) -- (\x,{\x+1}) -- (\x,\x); }


\uncover<4->{\draw[dred, very thick] (0,0) -- node[left]{x}(0,\x);}
\uncover<5->{\draw[dblue, very thick] (\x,0) -- node[below]{y}({4.8-\x},0);}
\uncover<6->{\draw[dgreen, very thick] (4.8,\x) -- node[right]{z}(4.8,{3-\x});}

\end{tikzpicture}

\end{minipage}\begin{minipage}{0.45\textwidth}

\def\x{1}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1]

\uncover<7->{
\draw[thick, fill=gray!50] (0,0) -- ({4.8-2*\x},0) -- ({4.8-2*\x},\x) -- (0,\x) -- (0,0);
\draw[thick, fill=gray!50] ({4.8-1.5}, 0.5) --  ({4.8-1.5}, {\x+0.5}) -- ({4.8-2*\x},\x) -- ({4.8-2*\x}, 0);
\draw[thick] ({4.8-1.5}, {\x+0.5}) -- (0.5,{\x+0.5}) -- (0,\x);
\draw[thick, dashed] (0,0) -- (0.5, 0.5) -- (0.5,{\x+0.5});
\draw[thick, dashed] (0.5, 0.5) -- ({4.8-1.5},0.5);
\draw[thick, dblue] (0,0) -- node[below, dblue]{y}({4.8-2*\x},0); 
\draw[thick, dred ](0,\x) -- node[left, dred]{x} (0,0);
\draw[thick, dgreen] ({4.8-2*\x},0)  -- node[right, dgreen]{z}({4.8-1.5}, 0.5);}

\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{minipage}
\small
\uncover<8->{On cherche à maximiser le volume $\mathcal{V} = \ro{x}\cdot \bl{y} \cdot \ve{z}$ avec $\overbrace{\ro{x},\bl{y}, \ve{z} >0}^{\mbox{contraintes}}$.}\uncover<9->{ On peut exprimer les variables $\bl{y}$ et $\ve{z}$ en fonction de $\ro{x}$:

$$ \begin{rcases*} 
\bl{y} = \uncover<8->{48-2\ro{x}}  \uncover<10->{\mbox{ et }\bl{y}>0}\uncover<11->{ \Rightarrow \ro{x}<24}\\
\ve{z} = \uncover<9->{30-2\ro{x}} \uncover<12->{\mbox{ et } \ve{z}>0}\uncover<13->{ \Rightarrow \ro{x}<15}
\end{rcases*} \uncover<14->{ \Rightarrow 0<x<15 \mbox{ (contrainte)} }$$
}

\uncover<15->{ Le volume est donné par: 
$\mathcal{V} = \ro{x}\cdot \bl{y} \cdot \ve{z} \uncover<16->{= \ro{x}(48-2\ro{x})(30-2\ro{x})}$}

}

\end{frame}

\begin{frame}
\small
\hunc{1}{
On cherche donc les valeurs de $\ro{x}$ pour lesquelles la fonction $V(\ro{x})=\ro{x}(48-2\ro{x})(30-2\ro{x})$ est maximisée, c'est-à-dire les maxima de $V$. \uncover<2->{On développe la fonction:
\begin{eqnarray*}
V(x) 
&=& x(48-2x)(30-2x)
\uncover<3->{=  (48x-2x^2)(30-2x)\\}
\uncover<4->{&=&  1440x - 96x^2 -60x^2 +4x^3\\}
\uncover<5->{&=&  4x^3 - 156x^2 +1440x}
\end{eqnarray*}}
\uncover<6->{On calcule la dérivée: $$V'(x)\uncover<7->{= 12x^2 - 312x + 1440}$$}
\uncover<8->{On cherche les zéros
\begin{equa}
12x^2 - 312x + 1440 &=& 0 & \uncover<9->{\mbox{MEE}}\\
\uncover<10->{\LRq 12(x^2 - 26x + 120) &=& 0 & \uncover<11->{\mbox{SP}}\\}
\uncover<12->{\LRq 12(x-20)(x-6) &=& 0 \uzero \qqR S=\{6, 20\} }
\end{equa}}
\uncover<13->{Mais $0<x<15$ (contrainte), on a donc $x=6$.}\uncover<14->{ Il nous reste à vérifier s'il s'agit bien d'un maximum.}

}

\end{frame}

\begin{frame}

\hunc{1}{
On fait le tableau de signes
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\footnotesize
\tkzTabInit[espcl=4]
{ $x$/1, $x-20$/1, $x-6$/1,$V'(x)$/1 , $V(x)$/2}%
{$0$, $6$ , $15$}%
\hunc{2}{\tkzTabLine { ,- , t , - ,}}%
\hunc{3}{\tkzTabLine { ,- , z , +, }}%
\hunc{4}{\tkzTabLine { ,+ , z , -, }}%
\hunc{5}{\tkzTabVar{-/ , +/$V(6)\only<11->{=3888}$ , - /}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\hunc{6}{C'est bien un maximum. \uncover<7->{Le volume est maximal pour:
\begin{itemize}
\item $\ro{x}=\ro{6}$ cm
\item<8-> $\bl{y}=48-2\cdot\ro{6} = \bl{36}$ cm
\item<9-> $\ve{z}=30-2\cdot \ro{6} = \ve{18}$ cm
\end{itemize}}}

\hunc{10}{Le volume maximal vaut $V = \ro{6} \cdot \b{36} \cdot \ve{18} = 3888$ cm$^2$. }

}

\end{frame}

\end{document}
