%\documentclass[a4paper,12pt,addpoints, answers]{exam}
\documentclass[a4paper,12pt,addpoints]{exam}

\qformat{\textbf{Question \thequestion}\quad(\thepoints)\\[0.5cm]} % Pour définir le style des questions (facultatif)
% \framedsolutionPreTestProportionnalites % définit le style des réponses
\usepackage{color} % définit une nouvelle couleur
\shadedsolutions % définit le style des réponses
\definecolor{SolutionColor}{rgb}{0.8,0.9,1} % bleu ciel
\renewcommand{\solutiontitle}{} % Définit le titre des solutions

\newcommand\sol[1]{\begin{solution} #1 \end{solution}} % Définit le titre des solutions

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\begin{document}

\begin{flushright}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\hbox to \textwidth{Nom et Prénom:\enspace\hrulefill}
\end{minipage}
\end{flushright}


\begin{center}
{\Large \bf Prétest 2 - Proportionnalité}
\end{center}

\begin{center}
\fbox{\fbox{\parbox{5.5in}{\centering
Le test dure 45 minutes et doit être fait sur des feuilles séparées.\\
Le \textbf{détail des calculs} doit être précisé.}}}
\end{center}

\ifprintanswers\else\vfill\fi

\begin{questions} % Début de l'examen

\question[7] Répondre aux deux questions suivantes pour les quatre problèmes proposés. 

\begin{enumerate}[a)]
\item Les relations suivantes sont-elles des relations de proportionnalité ou de proportionnalité inverse? Ou ni l'un ni l'autre? Justifier votre réponse. 
\item S'il s'agit d'un problème de proportionnalité (normale ou inverse), résoudre le problème.   
\end{enumerate}

\paragraph{Problème 1.} Si 9 artisans boivent 12 brocs de vin en 8 jours, combien 24 artisans boiront-ils de vin en 30 jours? 
\sol{\begin{enumerate}[a)]
\item C'est une relation de proportionnalité car si le nombre d'artisans et/ou le nombre de jours augmente, le nombre de brocs augmente aussi. 
\item Un artisan boit par jour: $\frac{12}{9\cdot 8} = \frac{1}{6}$ broc, donc 36 artisans boiront en 18 jours:
$$\frac{1}{6} \cdot 24 \cdot 30 = 120 \mbox{ brocs}$$
\end{enumerate}}

\paragraph{Problème 2.} Une route fait 12 cm sur une carte au 1:25'000. Si vous marchez à une vitesse de 5 km/h, combien de temps mettrez-vous pour parcourir cette route?
\sol{\begin{enumerate}[a)]
\item C'est une relation de proportionnalité car il s'agit d'un problème de vitesse. C'est une proportionnalité normale puisque si la distance augmente, le temps augmente aussi. 
\item On cherche la distance réelle de la route:
$$12 \mbox{ [cm]} \cdot 25'000 = 300'000 \mbox{ [cm]} = 3 \mbox{ [km]}$$
On obtient donc 
$$\mbox{temps} = \frac{3}{5} = 0.6 \mbox{ [h]}$$
On mettra donc 0.6 heures, c'est-à-dire 36 minutes. 
\end{enumerate}}

\paragraph{Problème 3.} Bob vient de déménager plus près de son travail. Avant, il mettait 30 minutes pour aller au travail depuis sa maison. Quel temps mettra-t-il désormais sachant que le trajet est 1/6 fois plus petit que le trajet qu'il devait faire précédemment et qu'il se déplace toujours à la même vitesse? 
\sol{\begin{enumerate}[a)]
\item C'est une relation de proportionnalité car il s'agit d'un problème de vitesse. C'est une proportionnalité normale puisque si la distance diminue, le temps diminue aussi. 
\item Le trajet est 1/6 fois plus petit, il fait donc 5/6 du trajet original. Il mettra $30\cdot\frac{5}{6} = 25$ minutes. 
\end{enumerate}}

\paragraph{Problème 4.} Telma participe à un jeu télévisé dans lequel le gain double pour chaque réponse juste trouvée. Sachant qu'elle a répondu juste à 3 questions et que son gain s'élève à 3'200.-, quel était le gain de départ? 
\sol{\begin{enumerate}[a)]
\item Ce n'est pas un problème de proportionnalité: en effet le gain double à chaque fois, on ne gagne donc pas la même somme pour chaque bonne réponse. 
\end{enumerate}}

\vfill
\question[4] Une librairie fait des soldes pour vider son stock. Elle a commencé par baisser les prix des livres de poche de 20\% et celui des BDs de 30\%. Elle décide ensuite de faire une baisse supplémentaire de 30\% sur tous les prix baissés.
\begin{enumerate}[a)]
\item Combien paierez-vous au total si vous prenez un livre de poche vendu initialement $14.-$ et deux BDs dont les prix de base étaient respectivement de 12.- et de 15.-? 
\item Quel est, en pourcentage, le rabais total dont vous avez bénéficié?
\end{enumerate}

\sol{\begin{enumerate}[a)]
\item Si l'on a un solde de 20\% / 30\%, on doit payer 80\% / 70\% et donc
\begin{enumerate}[1)]
\item Prix du livre: $14 \cdot 0.8 \cdot 0.7 = 7.84$
\item Prix des BDs: $(12 + 15) \cdot 0.7 \cdot 0.7 = 13.23$
\item Prix total: 13.23 +  7.84 = 21.07.- 
\end{enumerate}
\item On a payé 21.07.- au lieu de 12 + 15 + 14 = 41. Et donc le rabais total est de:
$$\frac{41-21.07}{41} \approx 0.486$$
On a bénéficié d'un rabais de ~49\%. 
\end{enumerate}}


\vfill
\question[4] On possède un lingot d'or mélangé avec du cuivre pesant 3 kg. Le titre du lingot est de 850.
\begin{enumerate}[a)]
\item Quelle est la quantité de cuivre? 
\item Quelle est la quantité d'argent?
\item Combien faut-il ajouter de cuivre pour descendre le titre à 600?
\end{enumerate} 

\sol{\begin{enumerate}[a)]
\item S'il y a 0.85 kg d'or dans 1 kg d'alliage, dans 3 kg d'alliage, il y aura:
	$$0.85 \cdot 3 = 2.55 \mbox{ kg d'or}$$
et donc 3 - 2.55 = 0.45 kg de cuivre. 
\item Il y aura 2.55 kg d'or (voir réponse précédente). 
\item On veut que pour 1 kg d'alliage, il y ait 0.6 kg d'or. Sachant que l'on a 2.55 kg d'or, le lingot devra peser:
$$ \frac{2.55}{0.6} = 4.25 \mbox{ kg d'alliage}$$
On devra donc ajouter 4.25 - 3 = 1.25 kg de cuivre. 
\end{enumerate}}

\end{questions}

\end{document}
