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\author{Gymnase de Burier}
\date{Mathématiques}
\institute{S.Rochat}

\def\mySample{100}
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\begin{document}
	
\begin{frame}
\begin{center}
\Huge{Fonctions quadratiques} 
\end{center}
\end{frame}
%~ 
\begin{frame}{Objectifs}
\begin{enumerate}
\item Apprendre à utiliser la formule du discriminant
\item Distinguer les trois cas
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Fonctions quadratiques}

\small
Un fonction quadratique est une fonction de la forme $$\boxed{f(x)=\gn{a}x^2 + \gr{b}x + \gw{c}}$$ avec $\gn{a}\neq0$. \uncover<2->{La courbe représentative d'une fonction quadratique est une \textbf{parabole}.} \\

\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\uncover<3->{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.25]

\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{8};
\def\min{-8};
\def\qmax{7};
\def\qmin{-7};
\foreach \x in {\min,\qmin,..., \max}{
\draw[black] (\x, \min) -- (\x, \max);}
\foreach \y in{\min,\qmin,..., \max}{
\draw[black]  (\min , \y) -- (\max, \y );}

\node[below left] at (O) {O};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[below] at (1,0) {1};
\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 


\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample, violet] plot(\x,{(\x)^2-2*(\x)-3});
\end{tikzpicture}

Si $\gn{a}>0$ la parabole\\ est dite \textbf{convexe}}
\end{center}
\end{minipage} \begin{minipage}{0.49\textwidth}

\begin{center}
\uncover<4->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25]

\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{8};
\def\min{-8};
\def\qmax{7};
\def\qmin{-7};
\foreach \x in {\min,\qmin,..., \max}{
\draw[black] (\x, \min) -- (\x, \max);}
\foreach \y in{\min,\qmin,..., \max}{
\draw[black]  (\min , \y) -- (\max, \y );}

\node[below left] at (O) {O};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[below] at (1,0) {1};
\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample, violet] plot(\x,{-(\x)^2+2*(\x)+3});

\end{tikzpicture}

Si $\gn{a}<0$ la parabole\\ est dite \textbf{concave}}
\end{center}


\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}{Méthode du discriminant}

L'ensemble des solutions de l'équation $\gn{a}x^2 + \gr{b}x + \gw{c} = 0$ dépendent de la valeur de $\go{\Delta}= \gr{b}^2 - 4 \gn{a} \gw{c}$ (le discriminant):

\uncover<2->{
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
(1) Si $\boxed{\go{\Delta>0}}$, il y a deux solutions: 
$$\gv{x_1 = \frac{-\gr{b} + \sqrt{\go{\Delta}}}{2\gn{a}}} \mbox{ et } 
\gv{x_2 = \frac{-\gr{b} - \sqrt{\go{\Delta}}}{2\gn{a}}}$$
\end{minipage}\begin{minipage}{0.28\textwidth}

\uncover<3->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.17]
\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{6};
\def\min{-4};
\def\qmax{5};
\def\qmin{-3};

\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\uncover<4->{
\fill[violet] (3,0) circle (0.5cm) node[below right]{};
\fill[violet] (-1,0) circle (0.5cm) node[below left]{};}

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min-0.5) rectangle (\max,\max);
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{(\x)^2-2*(\x)-3});

\end{tikzpicture}}
\end{minipage}}

\uncover<5->{
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
(2) Si $\boxed{\go{\Delta=0}}$, il y a une seule solution: 
$$\gv{x_1 = \frac{-\gr{b}}{2\gn{a}}}$$
\end{minipage}\begin{minipage}{0.28\textwidth}
\uncover<6->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.17]
\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{6};
\def\min{-4};
\def\qmax{5};
\def\qmin{-3};

\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};

\uncover<7->{\fill[violet] (1,0) circle (0.5cm) node[below]{};}

\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{(\x)^2-2*(\x)+1});

\end{tikzpicture}}
\end{minipage}}

\uncover<8->{
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
(3) Si $\boxed{\go{\Delta<0}}$, il n'y a pas solutions.\\[0.5cm]
\end{minipage}\begin{minipage}{0.28\textwidth}
\uncover<9->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.17]
\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{6};
\def\min{-4};
\def\qmax{5};
\def\qmin{-3};

\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{(\x)^2-2*(\x)+3});

\end{tikzpicture}}
\end{minipage}}

\end{frame}

\begin{frame}{Méthode du discriminant}

Exemple: Résoudre l'équation suivante 
$$ \gn{3}x^2 \gr{+ 6}x \gw{- 24} = 0$$

\uncover<2->{On a donc $\gn{a=\uncover<3->{3}}$, $\gr{b=\uncover<4->{6}}$ et $\gw{c=\uncover<5->{-24}}$.}

\uncover<6->{ On calcule 
$\go{\Delta}= \gr{b}^2 - 4 \gn{a} \gw{c}
\uncover<7->{=(\uncover<8->{\gr{6}})^2 - 4\cdot(\uncover<9->{\gn{3}})\cdot(\uncover<10->{\gw{-24}})} 
\uncover<11->{= 36 - (-288) }\uncover<12->{= \go{324}}$}

\uncover<13->{$\go{\Delta} >0 \Rightarrow$\uncover<14->{ Il y a deux solutions:}}

\uncover<15->{$$\gv{x_1} = \frac{-\gr{b} + \sqrt{\go{\Delta}}}{2\gn{a}}
\uncover<16->{= \frac{-(\uncover<17->{\gr{6}}) + \sqrt{\uncover<18->{\go{324}}}}{2\cdot\uncover<19->{\gn{3}}}}
\uncover<20->{= \frac{-\gr{6} + 18}{6} }
\uncover<21->{= \frac{12}{6}}
\uncover<22->{= 2}
$$}

\uncover<23->{$$\gv{x_2} = \frac{-\gr{b} - \sqrt{\go{\Delta}}}{2\gn{a}}
\uncover<24->{= \frac{-(\uncover<25->{\gr{6}}) - \sqrt{\uncover<26->{\go{324}}}}{2\cdot\uncover<27->{\gn{3}}}}
\uncover<28->{= \frac{-\gr{6} - 18}{6} }
\uncover<29->{= \frac{-24}{6}}
\uncover<30->{= -4}
$$}

\uncover<31->{On a donc $S=\{\gv{-4};\gv{2}\}$}

\end{frame}
%~ 
\begin{frame}{Objectifs}

\begin{enumerate}
\item Savoir calculer le \textbf{sommet} d'une parabole\\
\item Savoir calculer les \textbf{intersections} d'une parabole avec les axes\\
\item Savoir \textbf{esquisser un graphe} à partir de ces points
\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}{Points caractéristiques d'une parabole}

Soit la parabole d'équation $y=x^2 + 4x - 5$
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
\footnotesize
\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{10};
\def\min{-10};
\def\qmax{9};
\def\qmin{-9};
\foreach \x in {\qmin,..., \qmax}{
\draw[black!60] (\x, \min) -- (\x, \max);}
\foreach \y in{\qmin,..., \qmax}{
\draw[black!60]  (\min , \y) -- (\max, \y );}

\node[below left] at (O) {O};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[below] at (1,0) {1};
\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};

\begin{scope}
\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\uncover<1-8>{\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{(\x+5)*(\x-1)});}
\uncover<10->{\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{(\x+5)*(\x-1)});}
\end{scope}
\uncover<2->{\fill[dblue] (-2,-9) circle (0.2cm) node[below left]{$\mathcal{S}\only<3->{(-2,-9)}$};}
\uncover<3->{
\draw[thick, dashed, dblue] (0,-9) node[right]{-9} -- (-2,-9);
\draw[thick, dashed, dblue] (-2,0) node[above]{-2} -- (-2,-9);}
\uncover<4->{\fill[dgreen] (0,-5) circle (0.2cm) node[below right]{$\mathcal{H}\only<5->{(0,-5)}$};}
\uncover<6->{\fill[dred] (1,0) circle (0.2cm) node[below right]{$\mathcal{Z}_1\only<7->{(1,0)}$};}
\uncover<6->{\fill[dred] (-5,0) circle (0.2cm) node[below left]{$\mathcal{Z}_2\only<8->{(-5,0)}$};}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{Sommet d'une parabole}

\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\footnotesize
\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{6};
\def\min{-6};
\def\qmax{5};
\def\qmin{-5};
%~ 

\node[below left] at (O) {O};
%~ 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\node at (-3,-6.5) {$y_1$}; 
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{-(\x)^2+2*(\x)+3});
\uncover<2->{\fill[violet] (1,4) circle (0.15cm) node[above]{$\mathcal{S}$};}

%~ 

\uncover<5->{
\draw[dashed] (1,0) node[below]{$-\frac{b}{2a}$} -- (1,4);
\draw[dashed] (0,4) node[left, fill=white]{$-\frac{\Delta}{4a}$} -- (1,4);}
\end{tikzpicture}

\end{minipage}\begin{minipage}{0.58\textwidth}

\uncover<3->{
Les coordonnée du sommet $\gv{\mathcal{S}(p;q)}$ d'une parabole  d'équation $y=\gn{a}x^2 + \gr{b}x + \gw{c}$ sont données par:
\uncover<4->{
$$\boxed{\mathcal{S}\left(-\frac{\gr{b}}{2\gn{a}}; -\frac{\go{\Delta}}{4\gn{a}}\right)}$$
où $\go{\Delta} = \gr{b}^2 - 4\gn{a}\gw{c}$.}}
\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}{Intersection avec l'axe des ordonnées (ordonnée à l'origine)}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.3]

\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{8};
\def\min{-8};
\def\qmax{7};
\def\qmin{-7};
%~ 

\node[below left] at (O) {O};
%~ 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\node at (-3,-6.5) {$y_1$}; 
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{-(\x)^2+2*(\x)+3});
\uncover<2->{\fill[violet] (0,3) circle (0.15cm) node[above left]{$\mathcal{H}\only<6->{(0;\gw{c})}$};}
\end{tikzpicture}

\end{minipage}\begin{minipage}{0.48\textwidth}

\uncover<3->{
L'intersection de la parabole correspondant à la fonction $$f(x)=\gn{a}x^2 + \gr{b}x + \gw{c}$$ avec l'axe des ordonnées est donnée par
$$\boxed{\gv{H\left(\uncover<4->{0};\uncover<4->{\gw{c}}\right)}}$$
\uncover<5->{car  $$f(\gv{0}) = \gn{a}\cdot(\gv{0})^2 + \gr{b}\cdot(\gv{0}) + \gw{c} = \gw{c}$$}}
\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}{Intersections avec l'axe des abscisses (zéros)}

Les points d'intersection avec l'axe $x$ correspondent aux zéros de la fonction $f(x)=\gn{a}x^2 + \gr{b}x + \gw{c}$ (= aux solutions de l'équation $\gn{a}x^2 + \gr{b}x + \gw{c} = 0$ ). On a que: \\

\uncover<2->{
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
(1) Si $\boxed{\go{\Delta>0}}$, il y a deux intersections: 
$$\gv{Z_1\left(\uncover<3->{\frac{-\gr{b} + \sqrt{\go{\Delta}}}{2\gn{a}} ; 0}\right)} \mbox{ et } 
\gv{Z_2\left(\uncover<4->{\frac{-\gr{b} - \sqrt{\go{\Delta}}}{2\gn{a}}; 0}\right)}$$
\end{minipage}\begin{minipage}{0.28\textwidth}

\begin{tikzpicture}[scale=0.17]
\footnotesize
\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{6};
\def\min{-4};
\def\qmax{5};
\def\qmin{-3};

\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 


\fill[violet] (3,0) circle (0.5cm) node[below right]{$Z_1\only<4->{(x_1;0)}$};
\fill[violet] (-1,0) circle (0.5cm) node[below left]{$Z_2\only<4->{(x_2;0)}$};

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min-0.5) rectangle (\max,\max);
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{(\x)^2-2*(\x)-3});

\end{tikzpicture}
\end{minipage}}

\uncover<5->{
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
(2) Si $\boxed{\go{\Delta=0}}$, il y a une seule intersection: 
$$\uncover<6->{\gv{Z_1\left(\frac{-\gr{b}}{2\gn{a}};0\right)}}$$
\end{minipage}\begin{minipage}{0.28\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.17]
\footnotesize
\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{6};
\def\min{-4};
\def\qmax{5};
\def\qmin{-3};

\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};

\uncover<7->{\fill[violet] (1,0) circle (0.5cm) node[below]{$Z_1(x_1;0)$};}

\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{(\x)^2-2*(\x)+1});

\end{tikzpicture}}
\end{minipage}

\uncover<8->{
\begin{minipage}{0.7\textwidth}
(3) Si $\boxed{\go{\Delta<0}}$, il n'y a pas intersections.\\[0.5cm]
\end{minipage}\begin{minipage}{0.28\textwidth}
\uncover<9->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.17]
\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{6};
\def\min{-4};
\def\qmax{5};
\def\qmin{-3};

\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample] plot(\x,{(\x)^2-2*(\x)+3});

\end{tikzpicture}}
\end{minipage}}

\end{frame}

\begin{frame}{Exemple: $f(x)=\gn{-}x^2 + \gr{2}x + \gw{3}$}

\small
\gv{Calculer les coordonnées du sommet de la parabole et ses intersections avec les axes $x$ et $y$. Esquissez le graphe de cette fonction à l'aide des points calculés.}\\[0.2cm]

\uncover<2->{On a  $\gn{a=\uncover<3->{-1}}$, $\gr{b=\uncover<4->{2}}$ et $\gw{c=\uncover<5->{3}}$.} 
\uncover<6->{On commence par calculer $\go{\Delta}$
$$\go{\Delta}= \gr{b}^2 - 4\gn{a}\gw{c} 
\uncover<7->{= \gr{(2)}^2 - 4\cdot\gn{(-1)}\cdot\gw{(3)}}
\uncover<8->{= 4 + 12 = 16}$$}
\uncover<9->{On calcule les coordonnées du sommet
$$S\left(-\frac{\gr{b}}{2\gn{a}}; -\frac{\go{\Delta}}{4\gn{a}}\right)
\uncover<10->{=\left(-\frac{\gr{2}}{2\cdot\gn{(-1)}}; -\frac{\go{16}}{4\cdot\gn{(-1)}}\right)}
\uncover<11->{=\left(1; 4\right)}$$}
\uncover<12->{On calcule les coordonnées de l'intersection avec l'axe des ordonnées:
$$\mathcal{H}\left(0;\gw{c}\right)\uncover<13->{=\left(0;\gw{3}\right)}$$}

\end{frame}

\begin{frame}{Exemple: $f(x)=\gn{-}x^2 + \gr{2}x + \gw{3}$}
\small
\gv{Calculer les coordonnées du sommet de la parabole et ses intersections avec les axes $x$ et $y$. Esquissez le graphe de cette fonction à l'aide des points calculés.}\\[0.2cm]

\uncover<2->{On calcule les solutions de l'équation $\gn{-}x^2 + \gr{2}x + \gw{3}=0$.}\uncover<3->{ On a vu que $\Delta=16>0$, il y a donc deux solutions:}

\def\a{-1}\def\b{2}\def\c{3}\def\del{16}
\uncover<5->{$$\gv{x_1} = \frac{-\gr{b} + \sqrt{\go{\Delta}}}{2\gn{a}}
\uncover<5->{= \frac{-(\uncover<6->{\gr{\b}}) + \sqrt{\uncover<7->{\go{\del}}}}{2\cdot\uncover<8->{\gn{(\a)}}}}
\uncover<9->{= \frac{-\gr{\b} + 4}{-2} }
\uncover<10->{= \frac{2}{-2}}
\uncover<11->{= \gv{-1}}$$}

\uncover<12->{$$\gv{x_2} = \frac{-\gr{b} - \sqrt{\go{\Delta}}}{2\gn{a}}
\uncover<13->{= \frac{-\gr{\b} - 4}{-2} }
\uncover<14->{= \frac{-6}{-2}}
\uncover<15->{= \gv{3}}$$}

\uncover<16->{Les coordonnées des intersections avec l'axe des abscisses sont donc
$$Z_1\left(\gv{x_1}; 0\right)\uncover<17->{=\left(\gv{-1}; 0\right)} \uncover<18->{\mbox{ et } 
Z_2\left(\gv{x_2}; 0\right)=\uncover<18->{\left(\gv{3}; 0\right)}}$$
}

\end{frame}


\begin{frame}{Exemple: $f(x)=\gn{-}x^2 + \gr{2}x + \gw{3}$}

\small
\gv{Calculer les coordonnées du sommet de la parabole et ses intersections avec les axes $x$ et $y$. Esquissez le graphe de cette fonction à l'aide des points calculés.}\\[0.2cm]

\uncover<2->{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]

\coordinate (O) at (0,0);
\def\max{8};
\def\min{-8};
\def\qmax{7};
\def\qmin{-7};
\foreach \x in {\qmin,..., \qmax}{
\draw[black!60] (\x, \min) -- (\x, \max);}
\foreach \y in{\qmin,..., \qmax}{
\draw[black!60]  (\min , \y) -- (\max, \y );}

\node[below left] at (O) {O};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[below] at (1,0) {1};
\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{y};


\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);
\uncover<7->{\draw[very thick, domain=\min:\max, samples=\mySample, dorange] plot(\x,{-(\x)^2+2*(\x)+3});}
\uncover<3->{\fill[violet] (1,4) circle (0.15cm) node[above right]{$\mathcal{S}(1;4)$};}
\uncover<4->{\fill[violet] (0,3) circle (0.15cm) node[left]{$\mathcal{H}(0;3)$};}
\uncover<5->{\fill[violet] (-1,0) circle (0.15cm) node[above left]{$Z_1(-1;0)$};}
\uncover<6->{\fill[violet] (3,0) circle (0.15cm) node[above right]{$Z_2(3;0)$};}
\end{tikzpicture}


\end{center}}

\end{frame}

\begin{frame}{Application pratique}

\small
\gv{Une balle est tirée en l'air à partir du sol. On mesure la hauteur $h$ (en mètres) de la balle en fonction du temps $t$ (en secondes). On peut montrer que la hauteur $h$ est une fonction quadratique $h(t) = at^2 + bt + c$.} 

\begin{minipage}{0.35\textwidth}

\uncover<3->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.3, y=1cm, x=1cm]

\coordinate (O) at (0,0);
\def\xmax{9};
\def\ymax{9};
\def\xmin{-1};
\def\ymin{-1};
\def\qxmax{8};
\def\qymax{8};
\def\qxmin{0};
\def\qymin{0};
\foreach \x in {\qxmin,..., \qxmax}{
\draw[black!60] (\x, \ymin) -- (\x, \ymax);}
\foreach \y in{\qymin,..., \qymax}{
\draw[black!60]  (\xmin , \y) -- (\xmax, \y );}

\node[below left] at (O) {O};
\node[left] at (0,1) {10};
\node[below] at (1,0) {1};
\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\xmin) -- (0:\xmax) node[right]{t [s]};
\draw[-latex, very thick] (90:\ymin) -- (90:\ymax) node[above]{h [m]};

\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);
\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=\mySample, very thick] plot(\x, {-0.4*(\x)^2+2.8*\x}); 

\uncover<5->{\fill[dorange] (3.5, 4.9) circle (0.2cm) node[above, fill=white, yshift=0.2cm]{\only<13->{S(3.5; 49)}};}

\end{tikzpicture}}


\end{minipage}\begin{minipage}{0.62\textwidth}

\uncover<2->{\gv{a) Supposons que $h(t) = \gn{-4}t^2 + \gr{28}t$. Calculer la hauteur maximale atteinte par la balle.}}\\

\uncover<4->{La hauteur maximale de la balle correspond au \gv{sommet} de la parabole.}\uncover<5->{On calcule donc les coordonnées du sommet $S\left(-\frac{\gr{b}}{2\gn{a}};-\frac{\Delta}{4\gn{a}}\right)$.} 

\end{minipage}

\uncover<6->{
La balle atteindra le sommet au temps $\go{t} = -\frac{\gr{b}}{2\gn{a}} \uncover<7->{= -\frac{\gr{28}}{2\cdot\gn{(-4)}} \uncover<8->{= -\frac{28}{-8} = \go{3.5}$ s.}}} 

\uncover<9->{Pour trouver la hauteur, on peut remplacer $\go{t=3.5}$ dans l'équation $h(t)$: 
\uncover<10->{$h(\go{3.5}) = \uncover<11->{\gn{-4}\cdot (\go{3.5})^2 + \gr{28}\cdot \go{3.5} \uncover<12->{= \go{49}$ }}}}

\uncover<14->{La hauteur maximale de la balle (atteinte après 3.5 secondes) sera donc de $\boxed{\go{49 \mbox{ mètres}}}$.}

\end{frame}

\begin{frame}{Application pratique}
\small
\gv{b) Calculer le temps que met la balle pour retomber au sol.}\\[0.2cm]

\uncover<2->{Nous devons calculer pour quelles valeurs de $t$ l'on a $h(t)= \gn{-4}t^2 +\gr{28}t = 0$.}\\
\uncover<3->{On calcule $\Delta$:}
\uncover<4->{$$\Delta = \gr{b}^2 - 4 \gn{a}\gw{c} \uncover<5->{= \gr{28}^2 - 4\cdot\gn{(-4)}\cdot\gw{0} }\uncover<6->{=784 >0}$$}

\vspace{-0.7cm}
\begin{minipage}{0.35\textwidth}

\begin{tikzpicture}[scale=0.35, y=1cm, x=1cm]

\coordinate (O) at (0,0);
\def\xmax{9};
\def\ymax{9};
\def\xmin{-1};
\def\ymin{-1};
\def\qxmax{8};
\def\qymax{8};
\def\qxmin{0};
\def\qymin{0};
\foreach \x in {\qxmin,..., \qxmax}{
\draw[black!60] (\x, \ymin) -- (\x, \ymax);}
\foreach \y in{\qymin,..., \qymax}{
\draw[black!60]  (\xmin , \y) -- (\xmax, \y );}

\node[below left] at (O) {O};
\node[left] at (0,1) {10};
\node[below] at (1,0) {1};
\draw[very thick] (-0.2, 1) -- (0.2, 1); 
\draw[very thick] (1,-0.2) -- (1, 0.2); 
\fill (0,0) circle (0.5pt); 

\draw[-latex, very thick] (0:\xmin) -- (0:\xmax) node[right]{x};
\draw[-latex, very thick] (90:\ymin) -- (90:\ymax) node[above]{y};

\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax);
\draw[domain=\xmin:\xmax, samples=\mySample, very thick] plot(\x, {-0.4*(\x)^2+2.8*\x}); 

\fill[dorange] (3.5, 4.9) circle (0.2cm) node[above, fill=white, yshift=0.2cm]{S(3.5; 49)};
\uncover<3->{\fill[dorange] (0,0) circle (0.2cm);}
\uncover<3->{\fill[dorange] (7,0) circle (0.2cm);}

\end{tikzpicture}

\end{minipage}\begin{minipage}{0.62\textwidth}

\uncover<7->{ On a donc deux solutions:
$$\go{x_1} = \frac{-\gr{b} + \sqrt{\Delta}}{2\gn{a}} \uncover<8->{= \frac{-\gr{28} + 28 }{2\cdot (-4)} }\uncover<9->{=\go{0}}$$
$$\go{x_2} = \frac{-\gr{b} - \sqrt{\Delta}}{2\gn{a}} \uncover<10->{= \frac{-\gr{28} - 28 }{2\cdot (-4)} }\uncover<11->{=\frac{-56}{-8}} \uncover<12->{= \go{7}}$$

}
\end{minipage}

\uncover<13->{La balle met donc $\boxed{\go{7 \mbox{ secondes}}}$ pour retomber sur le sol. }

\end{frame}

\begin{frame}{Optimisation: Exemple}
\small
Laura désire construire un enclos aussi spacieux que possible pour son lapin. Un des côtés de l'enclos sera collé contre une facade de sa maison. Sachant qu'elle dispose d'une clôture de 6 m de longueur, quelles dimensions de l'enclos garantissent une surface maximale?\\[0.1cm]

\uncover<2->{Soit $x$ et $y$ la longueur et la largeur de l'enclos et $\mathcal{A}$ son aire.} \uncover<3->{On a que:
$$\begin{cases}
2x + y = 6 (1)\\
\mathcal{A} = x \cdot y (2)
\end{cases}$$}
\uncover<4->{On résoud par substitution:
\begin{eqnarray*}
(1)\qquad 2x + y &=& 6 \quad \boxed{-2x}\\
\Leftrightarrow y & = & 6 -2x \quad (3)
\end{eqnarray*}}
On remplace dans l'équation (2)
\begin{eqnarray*}
(3)\rightarrow (2)\qquad \mathcal{A} &=& x\cdot(6-2x) \quad \boxed{-2x}\\
\Leftrightarrow \mathcal{A} & = & 6x -2x^2 \quad (3)
\end{eqnarray*}
La fonction donnant l'aire est concave ($a<0$), le maximum correspond donc au sommet de la parabole $S\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$
\end{frame}

\end{document}
