\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Test.tex}

\serieatrue
\rattrapagetrue
%\corrigetrue
%\pretesttrue
%\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{TE}{3}{Puissances et racines}{7.12.2013}{1E}{La calculatrice n'est pas autorisée. Les réponses doivent être écrites sur une feuille séparée. \underline{Les résultats écrits sur la feuille de données ne seront pas corrigés}.}


\begin{qst}
Réduire les puissances suivantes (toutes les puissances doivent être positives dans la réponse finale)
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $(-2^{-2m} \cdot 4^m)^{4}$  
\item $\left(\dfrac{2}{(3a^2b^3)^{-1}}\right)^{-1}\cdot\dfrac{a^3 b^2}{c^3}$ 
\item $\left(\dfrac{4a^4}{6b^{23}}\right)^{-1}\cdot(5b^{-14})$
\item $4xy \cdot \dfrac{3x^2}{2y^{-3}} $ 
\item $\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 \cdot 5^3 \cdot 3^{-3}$
\item $5^5 \cdot \dfrac{2^5}{10^4}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\sol{
\begin{enumerate}[a)]
\item $(-2^{-2m} \cdot 4^m)^{4}
= (-1 \cdot (2^{2})^{-m} \cdot 4^m)^{4}
= (-1 \cdot 4^{-m} \cdot 4^m)^{4}
= (-1 \cdot 4^0)^{5} =(-1)^{4} = 1$  
\item 
\item $\left(\dfrac{4a^4}{6b^{23}}\right)^{-1}\cdot(5b^{-14})
= \dfrac{6b^{23}}{4a^4}\cdot(5b^{-14})
= \dfrac{30b^{9}}{4a^4} = \dfrac{15b^{9}}{2a^4}$ 
\item $4xy \cdot \dfrac{3x^2}{2y^{-3}} 
= \dfrac{4\cdot x\cdot y\cdot 3\cdot x^2\cdot y^3}{2}
= \dfrac{12x^3y^4}{2} = 6x^3y^4$ 
\item $\left(\dfrac{3}{5}\right)^3 \cdot 5^3 \cdot 3^{-3}
= \dfrac{3^3}{5^3}\cdot 5^3 \cdot 3^{-3}
= 3^0\cdot 5^0 = 1$
\item $5^5 \cdot \dfrac{2^5}{10^4}
= \dfrac{10^5}{10^4} =10$
\end{enumerate}
}

\end{qst}

\vfill
\begin{qst}

Effectuer et réduire les expressions suivantes:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[a)]
\item $\sqrt{720}$
%\item $(- 5 + \sqrt{16})^6$
\item $\sqrt{3\sqrt{625}}$
\item $\sqrt{5-\sqrt{21}}\sqrt{5+\sqrt{15}}$
\item $ \sqrt{27}+\sqrt{18}+\sqrt{24}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\sol{
\begin{enumerate}[a)]
\item $\sqrt{720} 
= \sqrt{36 \cdot 4 \cdot 5}
= \sqrt{6^2 \cdot 2^2 \cdot 5}
= 6 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 12\sqrt{5}$
\item $(- 5 + \sqrt{16})^2
= (- 5 + 4)^2 = (-1)^2 = 1$
\item $\sqrt{3\sqrt{625}}
= \sqrt{3\sqrt{25^2}}
= \sqrt{3\cdot 25}
= \sqrt{3\cdot 5^2} = 5\sqrt{3}$
\item $\sqrt{5-\sqrt{21}}\sqrt{5+\sqrt{21}}
= \sqrt{(5-\sqrt{21})(5+\sqrt{21})}
= \sqrt{25- 21} = \sqrt{4} = 2$
\item 
\item $(1 - \sqrt{3})^2 
= (1 -\sqrt{3})(1-\sqrt{3})
= 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$
\end{enumerate}
}

\end{qst}

\vfill
\begin{qst}
Résoudre les problèmes suivants en utilisant la notation scientifique.
\begin{enumerate}
\item La galaxie M87 est située à 50 millions d’années-lumière de la Terre. Sachant qu’une année-lumière vaut environ $10^{13}$ km, calculer, en km, la distance de la Terre à cette galaxie.
\item Quelle est l'aire en cm$^2$ d'un terrain de $3 \cdot 10^{5}$ m sur $4 \cdot 10^{2}$ m?
\item Calculer $(0.000 000 01)^5$
\end{enumerate} 


\sol{
\begin{enumerate}
\item On a donc:
$$50 \cdot 10^6 \cdot 10^{13} = 50 \cdot 10^{19}= 5 \cdot 10^{20}$$
\item On commence par transformer en cm: $3 \cdot 10^5 \mbox{ [m] } = 3 \cdot 10^7 \mbox{ [cm] }$ et $4 \cdot 10^2 \mbox{ [m] } = 4 \cdot 10^4 \mbox{ [cm] }$. On obtient alors:
$$3 \cdot 10^7 \cdot 4 \cdot 10^4 = 12 \cdot 10^{11}  = 1.2 \cdot 10^{12} \mbox{ [cm$^2$] }$$
\item $(0.000 000 01)^5 = (1 \cdot 10^{-8})^5  = 1 \cdot 10^{-40}$
\end{enumerate} 

}
\end{qst}
\end{TE}

\end{document}
