\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Test.tex}

\serieatrue
\corrigetrue
%\pretesttrue
%\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{TE}{2}{Proportionnalité}{31.10.2013}{1E}{La calculatrice et le formulaire sont autorisés. Aucun point ne sera donné pour les réponses sans le détail des calculs. Les réponses non entières doivent être données avec deux chiffres après la virgule.  }

\textbf{Question 1. } Répondre aux deux questions suivantes pour les quatre problèmes proposés. 

\begin{enumerate}[a)]
\item Les relations suivantes sont-elles des relations de proportionnalité ou de proportionnalité inverse? Ou ni l'un ni l'autre? Justifier votre réponse. 
\item S'il s'agit d'un problème de proportionnalité (normale ou inverse), résoudre le problème.  \\ 
\end{enumerate}

\ifseriea

\underline{Problème 1} En dactylographie, un mot est défini comme une suite de 5 caractères. Gabriel tape en moyenne 33 mots à la minute. Il doit écrire un article de 390 mots. Combien d'heures cela lui prendra-t-il de taper l'article?\\

\ifcorrige
\begin{enumerate}[a)]
\item Il s'agit d'un problème de proportionnalité. Chaque mot prend le même temps et plus il y a de mots, plus le temps augmente.   
\item Il mettra $\dfrac{1}{33} \cdot 390 = 11.82 \mbox{ minutes} = 0.2 \mbox{ heures}$.\\
\end{enumerate}
\fi

\underline{Problème 2} Quand Tom rentre chez lui en vélo, il roule à 20 km/h et met 30 minutes. Au moment de rentrer, il se rend compte que son vélo a été volé. Sachant qu'il marche à 5 km/h, combien de temps prendra-t-il pour rentrer chez lui?\\

\ifcorrige
\begin{enumerate}[a)]
\item Il s'agit d'un problème de proportionnalité inverse.  La distance est constante  et plus la vitesse diminue, plus le temps augmente.   
\item La distance à parcourir est de $20\cdot 0.5 = 10 $ km. Il met donc $t = \dfrac{10}{5} = 2$ heures. \\ 
\end{enumerate}
\fi

\underline{Problème 3} Jim a acheté 56 tickets de loterie, qu'il a payé en tout 224 CHF. Jérémie a acheté les mêmes tickets de loterie, mais il en a eu pour 172 CHF. Combien de tickets de loterie Jérémie a-t-il acheté?\\

\ifcorrige
\begin{enumerate}[a)]
\item Il s'agit d'un problème de proportionnalité. Chaque ticket coûte le même prix et plus il y a de tickets, plus le prix augmente.    
\item Un ticket coûte $\dfrac{224}{56} = 4$ francs. Jérémie a donc acheté $\dfrac{172}{4}= 43$ tickets. \\
\end{enumerate}
\fi

\underline{Problème 4}  Pierre a 8 ans et Aline a 24 ans. Lorsque Pierre aura 32 ans, quel sera l’âge
d’Aline ?\\

\ifcorrige
\begin{enumerate}[a)]
\item Il ne s'agit pas d'un problème de proportionnalité. Si l'on multiplie l'âge d'Aline par 2, l'âge de Pierre ne sera pas multiplié par 2.    \\ 
\end{enumerate}
\fi

\else

\underline{Problème 1.} En dactylographie, un mot est défini comme une suite de 5 caractères. Gabriel tape en moyenne 47 mots à la minute. Il doit écrire un article de 425 mots. Combien d'heures cela lui prendra-t-il de taper l'article?\\

\ifcorrige
\begin{enumerate}[a)]
\item Il s'agit d'un problème de proportionnalité. Chaque mot prend le même temps et plus il y a de mots, plus le temps augmente.   
\item Il mettra $\dfrac{1}{47} \cdot 425 = 9.043 \mbox{ minutes} = 0.15\mbox{ heures}$.\\
\end{enumerate}
\fi

\underline{Problème 2.}  Pierre a 7 ans et Aline a 21 ans. Lorsque Pierre aura 28 ans, quel sera l’âge
d’Aline ?\\

\ifcorrige
\begin{enumerate}[a)]
\item Il ne s'agit pas d'un problème de proportionnalité. Si l'on multiplie l'âge d'Aline par 2, l'âge de Pierre ne sera pas multiplié par 2.      \\ 
\end{enumerate}
\fi

\underline{Problème 3.} Jim a acheté 56 tickets de loterie, qu'il a payé en tout 168 CHF. Jérémie a acheté les mêmes tickets de loterie, mais il en a eu pour 204 CHF. Combien de tickets de loterie Jérémie a-t-il acheté?\\


\ifcorrige
\begin{enumerate}[a)]
\item Il s'agit d'un problème de proportionnalité. Chaque ticket coûte le même prix et plus il y a de tickets, plus le prix augmente.    
\item Un ticket coûte $\dfrac{168}{56} = 3$ francs. Jérémie a donc acheté $\dfrac{204}{3}= 68$ tickets. \\
\end{enumerate}
\fi

\underline{Problème 4.} Quand Tom rentre chez lui en vélo, il roule à 18 km/h et met 30 minutes. Au moment de rentrer, il se rend compte que son vélo a été volé. Sachant qu'il marche à 6 km/h, combien de temps prendra-t-il pour rentrer chez lui?\\

\ifcorrige
\begin{enumerate}[a)]
\item Il s'agit d'un problème de proportionnalité inverse. La distance est constante et plus la vitesse diminue, plus le temps augmente.   
\item La distance à parcourir est de $18\cdot 0.5 = 9 $ km. Il met donc $t = \dfrac{9}{6} = 1.5 \mbox{ heure} = 1 \mbox{ heure } 30 \mbox{ minutes}$. \\ 
\end{enumerate}
\fi
\fi

\ifcorrige \clearpage \fi

\textbf{Question 2.} Un bouteille de 1 litre remplie de sirop pèse \ifseriea 1.440 kg \else 1.460 kg \fi. Une fois que la moitié du sirop a été bue, la bouteille ne pèse plus que 0.800 kg. 
 
\begin{enumerate}
\item Quel est le poids de la bouteille vide?

\ifcorrige  
\ifseriea
0.5 litre de sirop pèse 1440 - 800 = 640 grammes. 1 litre pèse donc 1280 grammes. La bouteille pèse donc 1440 - 1280 = 160 grammes. 
\else
0.5 litre de sirop pèse 1460 - 800 = 660 grammes. 1 litre pèse donc 1320 grammes. La bouteille pèse donc 1460 - 1320 = 140 grammes. 
\fi
\fi
\item Quelle est la masse volumique du sirop en kg/dm$^3$? 

\ifcorrige  \ifseriea
Un litre pèse 1280 grammes = 1.280 kg, la masse volumique est donc de $\dfrac{1.280}{1} = 1.28$ kg/dm$^3$.
\else
Un litre pèse 1320 grammes = 1.320 kg, la masse volumique est donc de $\dfrac{1.320}{1} = 1.32$ kg/dm$^3$.
\fi\fi
\item Pour diluer le sirop, on ajoute au sirop restant 0.3 litre d'eau. Quelle sera la masse volumique en kg/dm$^3$ du sirop ainsi obtenu?

\ifcorrige  \ifseriea
0.3 litres d'eau pèsent 0.3 kg, la masse volumique sera donc de $\dfrac{0.64 + 0.30}{0.5 + 0.3} = \dfrac{0.94}{0.8} = 1.18$  kg/dm$^3$
\else
0.3 litres d'eau pèsent 0.3 kg, la masse volumique sera donc de $\dfrac{0.66 + 0.30}{0.5 + 0.3} = \dfrac{0.96}{0.8} = 1.20$  kg/dm$^3$ 
\fi\fi\\
\end{enumerate}

\textbf{Question 3.} On a un capital de \ifseriea 28'000 \else 35'000 \fi. On place 10'000.- à un taux d'intérêt annuel simple de 3.5$\%$ et le reste à un taux d'intérêt de 4.25$\%$. 

\begin{enumerate}
\item Quel sera la somme totale touchée si l'on retire tout l'argent après 6 mois? 

\ifcorrige  
\ifseriea
Intérêts du premier capital: $10'000 \cdot 0.035 \cdot 0.5 = 175$\\  
Intérêts du deuxième capital: $18'000 \cdot 0.0425 \cdot 0.5 = 382.50$\\ 
Intérêts totaux après 6 mois: $175 + 382.50 = 557.50$ francs.\\
Somme retirée après 6 mois: 28'557.50 francs\\
\else
Intérêts du premier capital: $10'000 \cdot 0.035 \cdot 0.5 = 175$\\  
Intérêts du deuxième capital: $25'000 \cdot 0.0425 \cdot 0.5 = 531.25$\\ 
Intérêts totaux après 6 mois : $175 + 531.25 = 706.25$ francs.\\
Somme retirée après 6 mois: 35'706.25 francs\\
\fi\fi
\item A quel taux aurait-il fallu placer les \ifseriea 28'000 \else 35'000 \fi pour obtenir les mêmes intérêts après 1 année?

\ifcorrige  
\ifseriea
Intérets totaux après une annéé: $557.50 \cdot 2 = 1'115.-$\\
Taux correspondant: $\dfrac{1'115}{28'000} = 0.0398 = 3.98 \%$.  
\else
Intérets totaux après une annéé: $706.25 \cdot 2 = 1'412.50$\\
Taux correspondant: $\dfrac{1'412.50}{35'000} = 0.0403 = 4.03\%$.\\
\fi\fi
\item Quelle somme faut-il placer à un taux de 3$\%$ pour obtenir les mêmes intérêts? 

\ifcorrige  
\ifseriea
Somme à investir $\dfrac{1'115.-}{0.03} = 37'166.67$ francs.  \\
\else
Somme à investir $\dfrac{1'412.50}{0.03} = 47'083.33$ francs.  \\
\fi
\fi
\end{enumerate}




\end{TE}

\end{document}
