\documentclass[mathserif]{beamer}
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\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}
\Teachtrue

\newenvironment{cframed}[1][blue]
  {\begin{tcolorbox}[colframe=#1,colback=gray!20]}
  {\end{tcolorbox}}
  
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  {\begin{tcolorbox}[colframe=#1,colback=gray!20]}
  {\end{tcolorbox}}

\usepackage{framed}

\begin{document}

\titreCours{6}{Equations et Inéquations}{}{}

\begin{frame}{1. Equations }

\underline{Exemple 1.1} Résoudre l'équation $15 + 3x = 1 - 4x$ \\
\hunc{1}{
\begin{equa}
15 + 3x &=& 1 - 4x & \uncover<2->{\bl{+ 4x}}\\  
\uncover<3->{\LRq 15 + 3x \bl{+ 4x} \uncover<3->{ &=& 1 - 4x \bl{+ 4x}} & \uncover<4->{\mbox{CL}^*} }\\  
\uncover<5->{\LRq 15 + 7x  \uncover<6->{&=& 1 } & \uncover<7->{\bl{-15}} }\\  
\uncover<8->{\LRq 15 + 7x \bl{-15}  \uncover<8->{&=& 1 \bl{-15} } & \uncover<9->{\mbox{CL}}}\\  
\uncover<10->{\LRq 7x  \uncover<11->{&=& -14} \uncover<12->{& \ve{\div 7} \uncover<13->{= \cdot \ve{\dfrac{1}{7}}}}}\\  
\uncover<14->{\LRq \ve{\dfrac{1}{7}}\cdot 7 \cdot x  \uncover<14->{&=& \ve{\dfrac{1}{7}}\cdot (-14)} 
\uncover<15->{& \mbox{CL}}}\\  
\uncover<16->{\LRq \dfrac{7}{7}\cdot x  \uncover<17->{&=& \dfrac{-14}{7} \uncover<18->{& \mbox{CL}}}}\\  
\uncover<19->{\LRq x  \uncover<20->{&=& -2} \uzero}
\end{equa}
\uncover<21->{
$$\Rightarrow S = \{- 2 \}$$
}

\uncover<22->{

\ro{\underline{Important}} Un seul signe égal par ligne! \\[0.2cm]}

\uncover<4->{$^*$ CL = calcul littéral}}
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.2} Résoudre $5x + 3 = 4 + 5x$ 

\hunc{1}{
\begin{equa}
5x + 3 &=& 4 + 5x & \uncover<2->{\bl{- 5x}}\\  
\uncover<3->{\LRq 5x \bl{- 5x} + 3 \uncover<3->{ &=& 4 + 5x \bl{- 5x}} & \uncover<4->{\mbox{CL}} }\\  
\uncover<5->{\LRq 0\cdot x + 3 \uncover<6->{ &=& 4 + 0\cdot x} & \uncover<7->{\mbox{CL}} }\\  
\uncover<8->{\LRq 3 \uncover<8->{ &=& 4} &  }\\  
\end{equa}
\uncover<9->{
\vi{Cette équation n'a pas de solution! \uncover<10->{ On note  $S = \emptyset$}}\\[0.2cm]
}}

\vfill
\uncover<11->{
\underline{Exemple 1.3} Résoudre $x - 1 = x - 1$

\hunc{11}{
\begin{equa}
x - 1 &=& x - 1 & \uncover<12->{\bl{- x}}\\  
\uncover<13->{\LRq x \bl{- x} - 1 \uncover<14->{ &=& x \bl{- x} -1} & \uncover<15->{\mbox{CL}} }\\  
\uncover<16->{\LRq 0 \cdot x -1 \uncover<17->{ &=& 0 \cdot x -1} & \uncover<18->{\mbox{CL}} }\\  
\uncover<19->{\LRq -1 \uncover<20->{ &=& -1} & }\\  
\end{equa}
\uncover<21->{
\vi{Cette équation est vraie quel que soit $x$! \uncover<22->{ On note  $S = \mathbb{R}$}}\\[0.2cm]
}}}


\end{frame}

\begin{frame}{2. Equations du premier degré}

\underline{Définition 2.1} On appelle \bl{équation du premier degré} une équation dont le terme de plus haut degré est de degré (=puissance) 1. 


\vspace{0.5cm}

\uncover<2->{
\underline{Exemple 2.1}
\begin{itemize}
\item<3-> $x+1= 4x + 2$ \hunc{4}{est une équation du premier degré}
\item<5-> $x^2 + 2 = x$ \hunc{6}{\ve{n'est pas} une équation du premier degré (mais du deuxième). }
\end{itemize} 
}

\vspace{0.5cm}
\uncover<7->{
Un équation du premier degré peut avoir:
\begin{itemize}
\item<8-> \bl{Une solution} ($x=a$),
\item<9-> \bl{Aucune solution} ($1=0 \Rightarrow S = \emptyset$) ou
\item<10-> \bl{Une infinité de solutions} ($0=0 \Rightarrow S = \mathbb{R}$)
\end{itemize}

}
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Définition 2.2} Deux équations sont dites \bl{équivalentes} si elles ont le même ensemble de solutions. 

\vfill

\uncover<2->{
\underline{Exemple 2.2} Les équations $ x + 1 = 2$ et $3x= 3$ sont-elles équivalentes?}\\[0.2cm]

\hunc{3}{
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\uncover<3->{
\underline{Première équation}
\begin{eqnarray*}
x + 1 = 2 &\qquad |& \uncover<4->{\bl{-1}}\\  
\uncover<5->{\LRq x = 1 }& 
\end{eqnarray*}
\uncover<6->{et donc $S_1 = \{1\}$} }
\end{minipage}  \begin{minipage}{0.48\textwidth}
\uncover<7->{

\underline{Deuxième équation}
\begin{eqnarray*}
3x = 3 & \uncover<8->{\qquad |& \ve{\div 3}}\\  
\uncover<9->{\LRq x = 1 }&
\end{eqnarray*}
\uncover<10->{et donc $S_2 = \{1\}$} }
\end{minipage}

\vspace{0.5cm}

\uncover<11->{ 
Les deux équations ont donc le même ensemble de solution: $S_1 = S_2 = \{1\}$ et les équations sont donc équivalentes. \\}}

\vfill
\uncover<12->{\underline{Remarque 2.1} Le \bl{symbole "$\Leftrightarrow$"} placé entre deux équations indique que les équations sont \bl{équivalentes}.}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Liste des opérations équivalentes}

\begin{itemize}
\item<2-> \bl{Permutation des deux membres}: \hunc{3}{$2 = 3x \uncover<4->{\Leftrightarrow 3x = 2}$}
\item<5-> \bl{Calcul littéral}: \hunc{6}{$3x + x = 4 - 1 \uncover<7->{\Leftrightarrow 4x = 3} $}
\item<8-> \bl{Multiplication ou division} par un \ve{nombre différent de $0$}: \hunc{9}{$\dfrac{1}{3}x = 1 \uncover<10->{\Leftrightarrow x = 3}$}\\
\item<11-> \bl{Addition ou soustraction} d'un terme:\hunc{12}{ $5x - 2 = 0 \uncover<13->{\Leftrightarrow 5x = 2}$}
\end{itemize}

\vfill

\uncover<14->{\underline{Contre-exemple 2.1} Soit l'équation $x=1$. On a $ S=\{1\}$.\\[0.2cm]
\begin{minipage}{0.48\textwidth}
\hunc{15}{
\uncover<15->{
\ro{Multiplication par $x$}
\begin{equa}
x &=& 1 & \uncover<16->{\ro{\cdot x}}\\  
\uncover<17->{\ro{\Rightarrow}\quad x^2 &=& x }& 
\end{equa}
\uncover<18->{$\Rightarrow S_x = \{0, 1\} \uncover<19->{\;\ro{\neq}\; S=\{1\}}$} \\[0.2cm]
\uncover<20->{Equations \ro{non équivalentes}}}}
\end{minipage}  \begin{minipage}{0.48\textwidth}
\hunc{21}{
\uncover<21->{
\ro{Multiplication par $0$}
\begin{equa}
x &=& 1 & \uncover<22->{\ro{\cdot 0}\\}  
\uncover<23->{\ro{\Rightarrow}\quad 0 &=& 0 }& 
\end{equa}
\uncover<24->{$\Rightarrow S_0 = \mathbb{R} \uncover<25->{\;\ro{\neq}\; S=\{1\}}$ \\[0.2cm]}
\uncover<26->{Equations \ro{non équivalentes}}}}
\end{minipage}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 2.3} Résoudre l'équation  $ \dfrac{2(x+7)}{3} = \dfrac{38-7x}{4} $

\vfill
\hunc{2}{
\begin{equa}
\dfrac{2(x+7)}{3} &=& \dfrac{38-7x}{4} & \uncover<2->{\ve{\cdot 12}}\\  
\uncover<3->{\LRq  \dfrac{2(x+7)}{3} \cdot 12 \uncover<4->{ &=& \dfrac{38-7x}{4} \cdot 12 & \uncover<5->{\mbox{CL}} }}\\  
\uncover<6->{\LRq  2(x+7)\cdot 4 \uncover<7->{ &=& (38-7x) \cdot 3 & \uncover<8->{\mbox{CL}} }}\\  
\uncover<9->{\LRq  8(x+7) \uncover<10->{ &=& 114 - 21x &  \uncover<11->{\mbox{CL}} }}\\  
\uncover<12->{\LRq  8x+ 56 \uncover<13->{ &=& 114 - 21x &  \uncover<14->{\bl{+21x - 56}} }}\\  
\uncover<15->{\LRq  29x \uncover<16->{ &=& 58  &  \uncover<17->{\ve{\div 29}} }}\\  
\uncover<18->{\LRq  x \uncover<19->{ &=& 2  & }}\\
\end{equa}

\vfill
\uncover<20->{L'ensemble de solution est donc $S=\{2\}$}}

\end{frame}

\begin{frame}{3. Résolution de problèmes}

\underline{Exemple 3.1} Une bouteille de champagne et son bouchon coûtent 110.-. La bouteille coûte 100.- de plus que le bouchon. Quel est le prix de la bouteille et quel est le prix du bouchon?\\[0.2cm]


\hunc{2}{
La résolution d'un problème se déroule en quatre étapes: 
\begin{itemize}
\item<3-> \textbf{Choix de l'inconnue} \uncover<4->{ Posons $\bl{x}$ le \bl{prix de la bouteille}, le \ve{prix du bouchon} est donc donné par \uncover<5->{$\ve{110-x}$ }}\\
\item<6-> \textbf{Mise en équation} \uncover<7->{$\bl{x} = \uncover<8->{\ve{110 - x} + 100}$}\\
\item<9-> \textbf{Résolution de l'équation} 
\uncover<10->{
\begin{equa}
x &=& 110 - x + 100 & \uncover<11->{\mbox{CL}}\\  
\uncover<12->{\LRq x &=& 210 - x & \uncover<13->{\bl{+x}}}\\  
\uncover<14->{\LRq 2x &=& 210 & \uncover<15->{\ve{\div 2}}}\\  
\uncover<16->{\LRq x &=& 105 \uzero  \uncover<17->{\qqR S=\{105\}}}
\end{equa} }
\vspace{0.05cm}
\item<18-> \textbf{Solution du problème}  
\uncover<19->{
La bouteille vaut donc 105.- et le bouchon: \uncover<20->{110 - 105 = 5.-. }
}
\end{itemize}}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{4. Inéquations}

Lorsque l'on écrit $\boxed{x \,\ro{>}\,2}$, il s'agit d'une \ve{inéquation}. \hunc{2}{Tous les nombres \ro{strictement plus grands} que 2 sont des solutions de cette inéquation:}
\uncover<3->{
\def\a{2}
\def\b{4}
\def\max{11}
\def\min{-11}
\begin{center}\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
\draw[->] (-11,0) node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (11,0) node[right]{$+\infty$};
\foreach \x in {-10, -5, ..., 10}
     		\draw (\x,1pt) -- (\x,-3pt)
			node[anchor=north] {\x};

\hunc{4}{		
\uncover<4->{\draw[dred] (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\a};}			

\uncover<5->{	
\draw[dblue, very thick, ->] (\a, 0) -- (\max, 0);
\draw[dred, thick] (\a,0) circle (20pt);
}}

\end{tikzpicture}\end{center}}

\hunc{6}{ On note la solution $S = \ro{]} 2; +\infty[$ \uncover<7->{(2 \ro{n'est pas} compris)}\\}

\vfill
\uncover<8->{
Si l'on considère l'inéquation $\boxed{x \,\bl{\geq}\,2}$, \hunc{9}{tous les nombres \bl{plus grands ou égaux} à 2 sont des solutions:}
\uncover<10->{
\def\a{2}
\def\b{4}
\def\max{11}
\def\min{-11}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
\draw[->] (-11,0) node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (11,0) node[right]{$+\infty$};
\foreach \x in {-10, -5, ..., 10}
     		\draw (\x,1pt) -- (\x,-3pt)
			node[anchor=north] {\x};
		
\draw[dblue] (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\a};			

\hunc{11}{
\uncover<11->{	
\draw[dblue, thick, ->] (\a, 0) -- (\max, 0);
\fill[dblue] (\a,0) circle (20pt);}}

\end{tikzpicture}\end{center}}

\hunc{12}{ On note $S = \bl{[} 2; +\infty[$ \uncover<13->{(2 \bl{est} compris)}}}


\end{frame}

\begin{frame}

Si l'on considère l'inéquation $\boxed{x \,\ro{<}\, 2}$, \hunc{2}{tous les nombres \ro{strictement plus petits} que 2 sont des solutions:}
\uncover<3->{
\def\a{2}
\def\b{4}
\def\max{11}
\def\min{-11}
\begin{center}\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
\draw[->] (-11,0) node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (11,0) node[right]{$+\infty$};
\foreach \x in {-10, -5, ..., 10}
     		\draw (\x,1pt) -- (\x,-3pt)
			node[anchor=north] {\x};

\hunc{2}{		
\draw[dred] (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\a};			

\uncover<4->{	
\draw[dblue, very thick] (\min, 0) -- (\a, 0);
\draw[dred, thick] (\a,0) circle (20pt);}
}

\end{tikzpicture}\end{center}
}

\hunc{5}{ On note $S = ]-\infty; 2 \ro{[} $ (2 \ro{n'est pas} compris)\\}

\vfill

\uncover<6->{
Si l'on considère l'inéquation $\boxed{x \,\bl{\leq}\, 2}$, \hunc{7}{tous les nombres réels \bl{plus petits} que 2 sont des solutions:}
\uncover<8->{
\def\a{2}
\def\b{4}
\def\max{11}
\def\min{-11}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
\draw[->] (-11,0) node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (11,0) node[right]{$+\infty$};
\foreach \x in {-10, -5, ..., 10}
     		\draw (\x,1pt) -- (\x,-3pt)
			node[anchor=north] {\x};

\hunc{2}{		
\draw[dblue] (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\a};			

\uncover<9->{	
\draw[dblue, very thick] (\min, 0) -- (\a, 0);
\fill[dblue] (\a,0) circle (20pt);}}

\end{tikzpicture}\end{center}}

\hunc{10}{ On note $S = ]-\infty; 2 \bl{]}$ (2 \bl{est} compris)}}


\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 4.1} Résoudre l'équation $2x - 6 =  -2 $.
\hunc{2}{
\begin{equa}
2x - 6 &=&  -2  & \uncover<3->{\bl{+6}}\\  
\uncover<4->{\LRq 2x - 6 \bl{\,+\, 6} &=&  -2 \bl{\,+\, 6}  & \uncover<5->{\mbox{ CN }}}\\
\uncover<6->{\LRq 2x &=&  4  & \uncover<7->{\bl{\div 2}}}\\
\uncover<8->{\LRq x  &=&  2  \uzero \uncover<9->{\qqR S=\{2\}  }}
\end{equa}}

\vfill

\uncover<10->{
\underline{Exemple 4.1} Résoudre l'inéquation $2x - 6 >  -2 $.
\hunc{11}{
\begin{equa}
2x - 6 &>&  -2  & \uncover<12->{\bl{+6}}\\   
\uncover<13->{\LRq 2x - 6 \bl{\,+\, 6} &>&  -2 \bl{\,+\, 6}  & \uncover<14->{\mbox{ CN }}}\\
\uncover<15->{\LRq 2x &>&  4  & \uncover<16->{\bl{\div 2}}}\\
\uncover<17->{\LRq x  &>&  2 } \uzero  \uncover<18->{\qqR S= \,\ro{]}\, 2; \infty \mbox{[} } 
\end{equa}} }

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 4.2} Résoudre l'inéquation $-x > 16$.\\[0.2cm]

\vfill
\hunc{2}{
\textbf{Première méthode}
\begin{equa}
-x &>&  16  & \uncover<2->{\bl{+x-16}}\\  
\uncover<3->{\LRq -x \,\bl{+ x -16} &>&  16 \, \bl{+ x -16} & \uncover<4->{CL}}\\  
\uncover<5->{\LRq -16 &>&  x  & \uncover<6->{\ve{\leftrightarrow}}}\\
\uncover<7->{\LRq x  &\ve{<}&  -16  \uzero \uncover<8->{\qqR  S=]-\infty, -16[}}
\end{equa}

\uncover<9->{
\textbf{Deuxième méthode}
\begin{equa}
-x &>&  16  & \uncover<10->{\ro{\cdot (-1)}}\\  
\uncover<11->{\LRq x &\ro{<}&  -16  \uzero \uncover<12->{\qqR  S=]-\infty, -16[} }
\end{equa}}}

\vfill
\uncover<13->{
\underline{Règle 4.1} Lorsque l'on multiplie par un \ro{nombre négatif} une inégalité, il faut \ro{changer le sens du signe d'inégalité.} }

\end{frame}



\begin{frame}{5. Intervalles dans $\mathbb{R}$}

\def\a{2}
\def\b{5}
\def\max{11}
\def\min{-11}

\underline{Exercice 5.1} Dessiner les solutions des ces inéquations et les écrire sous forme d'intervalle.
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $x \ro{>} 2 \hunc{3}{\Rightarrow S=\ro{]}2,\infty[}$
\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
\scriptsize
\draw[->] (-7,0) node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (7,0) node[right]{$+\infty$};
\draw (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.05cm] {\a};			
\hunc{2}{\draw[dblue, very thick, ->] (\a, 0) -- (7, 0);
\draw[dred] (\a,0) circle (20pt);}
\end{tikzpicture}

\item<4-> $x \bl{\geq} 2 \hunc{6}{\Rightarrow S=\bl{[} 2,\infty[}$
\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
\scriptsize
\draw[->] (-7,0) node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (7,0) node[right]{$+\infty$};
\draw (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.05cm] {\a};			
\hunc{5}{\draw[dblue, very thick, ->] (\a, 0) -- (7, 0);
\fill[dblue] (\a,0) circle (20pt);}
\end{tikzpicture}

\item<7-> $x \ro{<} 2 \hunc{9}{\Rightarrow S=]-\infty, 2 \ro{[}}$
\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
\scriptsize
\draw[->] (-7,0) node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (7,0) node[right]{$+\infty$};
\draw (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.05cm] {\a};			
\hunc{8}{\draw[dblue, very thick] (-7, 0) -- (\a, 0);
\draw[dred] (\a,0) circle (20pt);}
\end{tikzpicture}

\item<10-> $x \bl{\leq} 2 \hunc{12}{\Rightarrow S=]-\infty, 2\bl{]}}$
\begin{tikzpicture}[scale=0.2]
\scriptsize
\draw[->] (-7,0) node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (7,0) node[right]{$+\infty$};
\draw (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.05cm] {\a};			
\hunc{11}{\draw[dblue, very thick] (-7, 0) -- (\a, 0);
\fill[dblue] (\a,0) circle (20pt);}
\end{tikzpicture}
\end{itemize}
\end{multicols}

\vspace{0.5cm}

\uncover<13->{\underline{Exemple 5.1} Ecrire sous forme d'intervalle l'expression \only<13-15>{$$-2 < x \leq 5$$}\hunc{16}{\only<16->{$$-2 \,\ro{<}\, x \,\bl{\leq}\, 5$$}}.}

\hunc{14}{
\def\a{-2}
\def\b{5}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
\draw[->] (-11,0)node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (11,0) node[right]{$+\infty$};
\foreach \x in {-10, -5, ..., 10}
     		\draw (\x,1pt) -- (\x,-3pt)
			node[anchor=north] {\x};
		
\draw (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\a};			
\draw (\b,5pt) -- (\b,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\b};			

\uncover<15->{	
\draw[dblue, very thick] (\a, 0) -- (\b, 0);}

\uncover<17->{\draw[dred] (\a,0) circle (20pt);}
\uncover<18->{\fill[dblue] (\b,0) circle (20pt);}

\end{tikzpicture}\end{center}}

\hunc{19}{On a donc \Large $S= \uncover<11->{\,\ro{]}\, -2; 5 \,\bl{]}}$.}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 5.2} Noter sous forme d'intervalle l'ensemble illustré ci-dessous:

\vfill
\def\a{1.9}
\def\b{7.2}
\def\max{11}
\def\min{-11}
\def\c{-7.7}
\def\d{-2.4}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\draw[->] (-11,0)node[left]{$-\infty$} -- coordinate (x axis mid) (11,0) node[right]{$+\infty$};
\foreach \x in {-10, -5, ..., 10}
     		\draw (\x,1pt) -- (\x,-3pt)
			node[anchor=north] {\x};
		
\draw (\a,5pt) -- (\a,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\a};			
\draw (\b,5pt) -- (\b,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\b};			
\draw (\c,5pt) -- (\c,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\c};			
\draw (\d,5pt) -- (\d,-5pt) node[anchor=south, yshift=0.2cm] {\d};			

\draw[dblue, very thick] (\a, 0) -- (\b, 0);
\draw[dred] (\a,0) circle (10pt);
\fill[dblue] (\b,0) circle (10pt);

\draw[dblue, very thick] (\c, 0) -- (\d, 0);
\fill[dblue] (\c,0) circle (10pt);
\draw[dred] (\d,0) circle (10pt);

\end{tikzpicture}
\end{center}

\vfill
\hunc{2}{
\uncover<2->{On utilise le symbole $\ve{\cup}$ ("union") pour dénoter \ve{la réunion de deux intervalles}:}

\Large
\uncover<3->{$$S=\bl{[} \c; \d \ro{[} \,\ve{\cup}\, \ro{]} \a; \b \bl{]}$$}}


\end{frame}


\end{document}










