\documentclass[mathserif]{beamer}
%\documentclass[mathserif, handout]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}

\begin{document}

\titreCours{2}{Proportionnalité}{}


\begin{frame}{1. Grandeurs proportionnelles}


\underline{Exemple 1.1} \\[0.2cm]

\MP{0.2}{0.78}{

\begin{tikzpicture}

\draw (0,0) node[below right] {\only<1-2 | handout:0>{1cm}} rectangle (0.5,0.5) ;

\uncover<3->{\draw[rline] (0,0)  rectangle (1,1);
\node[below, dred] at (0.5,0) {\only<3-4 | handout:0>{2cm}};}

\uncover<5->{\draw[gline] (0,0) rectangle (1.5,1.5);
\node[below, dgreen] at (0.75,0) {\only<5->{3cm}}; }	
	
\end{tikzpicture}

}{

On nous donne un carré de côté $x$ = 1 cm, que vaut son périmètre $y$ ? \hunc{2}{$y$ = 4 cm}

\uncover<3->{Et si le côté vaut \ro{$x$ = 2 cm}? \hunc{4}{\ro{$y$ = 8 cm}} }

\uncover<5->{Et si le côté vaut \ve{$x$ = 3 cm}? \hunc{6}{\ve{$y$ = 12 cm}} }\\

}	

\vspace{0.4cm}

\hunc{6}{
\MP{0.68}{0.3}{

\begin{center}
\begin{tikzpicture}

	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
	{
		\mbox{Côté} \&  1 \& \ro{2} \& \ve{3} \& \only<11->{\vi{5}} \& \only<13->{\bl{x}} \\
		\mbox{Périmètre} \& 4 \& \ro{8} \& \ve{12} \& \only<11>{?}\only<12->{\vi{20}}\& \only<13>{\bl{y = ?}}\only<14->{\bl{4x}} \\
	};
	
	\uncover<15->{\draw[->, dblue] (A-1-6.east) to [bend left=45] node[right]{$\cdot 4$} (A-2-6.east);}
		
	\uncover<11->{\draw[->, violet] (A-1-2.north) to [bend left=80] node[above]{$\cdot 5$} (A-1-5.north);}
	\uncover<12->{\draw[->, violet] (A-2-2.south) to [bend right=80] node[below]{$\cdot 5$} (A-2-5.south);}
	
	\uncover<9->{\draw[->, dgreen] (A-1-2.north) to [bend left=70] node[above]{$\cdot 3$} (A-1-4.north);}
	\uncover<10->{\draw[->, dgreen] (A-2-2.south) to [bend right=70] node[below]{$\cdot 3$} (A-2-4.south);}

	\uncover<7->{\draw[->, dred] (A-1-2.north) to [bend left=45] node[above]{$\cdot 2$} (A-1-3.north);}
	\uncover<8->{\draw[->, dred] (A-2-2.south) to [bend right=45] node[below]{$\cdot 2$} (A-2-3.south);}
 
\end{tikzpicture} 
\end{center}}{

\uncover<12->{C'est une \vi{situation de proportionnalité}.}\\

\uncover<15->{Cela arrive quand il existe $\ve{k} \in \mathbb{R}^*$ tel que  $ \bl{y = \ve{k} \cdot x}$}\\[0.2cm]
}}

%\uncover<17->{Si l'on considère le côté d'un carré et son aire, est-ce une solution de proportionnalité?
%\uncover<18->{\ve{Non}}}


\end{frame}

\begin{frame}{Change}

\underline{Exercice 1.1} A l'achat de 100 euros, on paie 120 francs suisse. \\[0.2cm]
\begin{enumerate}
	\item Jacques a payé 800 euros une oeuvre d'art; quel est son prix en francs suisses?\\
	\hunc{2}{
	\MP{0.4}{0.49}{
	\begin{tikzpicture}
		\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
		{
			\mbox{euros} \& \mbox{CHF}\\
			100 \& 120\\
			800 \& \only<2-4>{y = ?}\only<5->{\bl{960}}\\
		};
		
		\onslide<3->{\draw[dblue] (A-2-1.west) to [bend right=45] node[left]{$\cdot 8$} (A-3-1.west);}
		\onslide<4->{\draw[dblue] (A-2-2.east) to [bend left=45] node[right]{$\cdot 8$} (A-3-2.east);}
		
		\onslide<6->{\draw[->, dgreen, thick] (A-3-1) to (A-2-2);}
		\onslide<7->{\draw[->,dred, thick] (A-2-2) to (A-2-1);}
		\onslide<8->{\draw[->,violet, thick] (A-2-1) to (A-3-2);}
	\end{tikzpicture}}{
	\uncover<6->{$\left(\ve{800 \cdot 120}\right) \uncover<7->{\ro{\div 100}} \uncover<8->{\vi{ = 960}}$}	
	}}
	
	\item<9-> S'il a dépensé 60 CHF pour un menu, combien coûtait-il en euro? \\
	\hunc{10}{
	\MP{0.4}{0.49}{
	\begin{tikzpicture}
		\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
		{
			\mbox{euros} \& \mbox{CHF}\\
			100 \& 120\\
			\only<10-12>{y = ?}\only<13->{\bl{50}} \&  60\\
		};
		
		\onslide<12->{\draw[dblue] (A-2-1.west) to [bend right=45] node[left]{$\cdot 0.5$} (A-3-1.west);}
		\onslide<11->{\draw[dblue] (A-2-2.east) to [bend left=45] node[right]{$\cdot 0.5$} (A-3-2.east);}
		
		\onslide<14->{\draw[->,dgreen, thick] (A-3-2) to (A-2-1);}
		\onslide<15->{\draw[<-,dred, thick] (A-2-2) to (A-2-1);}
		\onslide<16->{\draw[<-,violet, thick] (A-3-1) to (A-2-2);}
	\end{tikzpicture}}{
	\uncover<14->{$\left(\ve{60 \cdot 100}\right) \uncover<15->{\ro{\div 120}} \uncover<16->{\vi{ = 50}}$}	
	}}
	
\end{enumerate}
	
	
\end{frame}


\begin{frame}


\underline{{Contre-exemple 1.1 (Aire et Côté)}}\\[0.2cm]

\MP{0.2}{0.79}{

\begin{tikzpicture}

\draw (0,0) node[below right] {\only<1-2 | handout:0>{1cm}} rectangle (0.5,0.5) ;

\uncover<3->{\draw[rline] (0,0)  rectangle (1,1);
\node[below, dred] at (0.5,0) {\only<3-4 | handout:0>{2cm}};}

\uncover<5->{\draw[gline] (0,0) rectangle (1.5,1.5);
\node[below, dgreen] at (0.75,0) {\only<5-| handout:0>{3cm}}; }	
	
\end{tikzpicture}

}{

On nous donne un carré de côté $x$ = 1 cm, que vaut son aire $y$ ? \hunc{2}{$y$ = 1 cm$^2$}

\uncover<3->{Et si le côté vaut \ro{$x$ = 2 cm}? \hunc{4}{\ro{$y$ = 4 cm$^2$}} }

\uncover<5->{Et si le côté vaut \ve{$x$ = 3 cm}? \hunc{6}{\ve{$y$ = 9 cm$^2$}} }

}	

\vfill
\uncover<6->{\vi{S'agit-il d'une situation de proportionalité?}}
\vfill
\hunc{6}{
\MP{0.5}{0.45}{

\begin{center}
\begin{tikzpicture}

	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
	{
		\mbox{Côté} \&  1 \& \ro{2} \& \ve{3} \\
		\mbox{Aire} \&  1 \& \ro{4} \& \ve{9} \\
	};

	\uncover<8->{\draw[->, dred] (A-1-2.north) to [bend left=45] node[above]{$\cdot 2$} (A-1-3.north);}
	\uncover<9->{\draw[->, dred] (A-2-2.south) to [bend right=45] node[below]{$\cdot 4$} (A-2-3.south);}
	
	\uncover<11->{\draw[->, dblue] (A-1-4.east) to [bend left=45] node[right]{$?$} (A-2-4.east);}
 
\end{tikzpicture} 
\end{center}}{

\uncover<10->{Ce n'est \ro{pas} une situation de proportionalité!}\\

\uncover<12->{On a $y= x^{2}= x \cdot x$, il n'existe donc pas de nombre \ro{$k$} tel que \bl{$y = \ro{k} \cdot x$}.}

}}

	
\end{frame}

\begin{frame}{Unités de mesure}



\bl{Rappel:} \quad 
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
km & hm & dam & \bl{m} & dm & cm & mm & $\mu$m\\
\hline
$0.001$ & $0.01$ & $0.1$ & \bl{$1$} & $10$ & $100$ & $1'000$  & $1'000'000$ \\
\hline
\end{tabular}

\vspace{0.2cm}

\uncover<2->{
\vi{Exercice 1.2:} La taille d'une mouche est de 7 mm.
\begin{itemize}
	\item Combien de mètres mesure une mouche? \uncover<7->{Une mouche mesure \vi{0.007 m}.}\\[0.1cm]
	\hunc{3}{
	\MP{0.4}{0.49}{
	\begin{tikzpicture}
		\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
		{
			\mbox{m} \& \mbox{mm}\\
			1 \& 1000 \\
			\only<3-5>{?}\only<6->{\vi{0.007}}  \&  7 \\
		};
				
		\onslide<4->{\draw[->, dgreen, thick] (A-3-2) to (A-2-1);}
		\onslide<5->{\draw[->,dred, thick] (A-2-1) to (A-2-2);}
		\onslide<6->{\draw[->,violet, thick] (A-2-2) to (A-3-1);}
	\end{tikzpicture}}{
	\uncover<4->{$\left(\ve{1 \cdot 7}\right) \uncover<5->{\ro{\div 1000}} \uncover<6->{\vi{ =0.007}}$}	
	}}\\
	
	\item<8-> Combien de mouches faut-il aligner pour obtenir au moins 1 m ? \uncover<14->{\vi{143 mouches}}\\[0.2cm]
	\hunc{9}{
	\MP{0.4}{0.49}{
	On sait que 1 m = 1000 mm.\\
	\uncover<10->{
	\begin{tikzpicture}
		\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
		{
			\mbox{nbre} \& \mbox{mm}\\
			1 \& 7 \\
			\only<10-12>{?}\only<13->{\vi{143}}  \&  1000 \\
		};
				
		\onslide<11->{\draw[->, dgreen, thick] (A-3-2) to (A-2-1);}
		\onslide<12->{\draw[->,dred, thick] (A-2-1) to (A-2-2);}
		\onslide<13->{\draw[->,violet, thick] (A-2-2) to (A-3-1);}
		
	\end{tikzpicture}}}{
	\uncover<11->{$\left(\ve{1000 \cdot 1}\right) \uncover<12->{\ro{\div 7}} \uncover<13->{\vi{= 142.8\hdots \approx 143}}$}	
	}}
	
	 
\end{itemize}}
	
\end{frame}


\begin{frame}{Pente et échelle}

\MP{0.4}{0.58}{

\begin{tikzpicture}

\coordinate (O) at (1,0);
\coordinate (H) at (4,0);
\coordinate (S) at (4,2);
	

\draw[thick] (O) -- (S);

\uncover<2->{	
\draw[rline] (S) -- node[right]{dénivel.} (H);
\draw[gline] (O) -- node[below]{dist. horizontale} (H);}
	
\end{tikzpicture}


}{

\uncover<2->{
La \bl{pente} est égale à  
$$\boxed{\mbox{\bl{Pente}} = \frac{\mbox{\ro{Dénivellation}}}{\mbox{\ve{Distance horizontale}}}}$$}\\[0.2cm]

}

\vspace{1cm}
\uncover<3->{
\underline{Échelle d'une carte}\\
Lorsque l'on parle d'une \bl{carte au 1:100'000}, cela signifie que \bl{1 cm sur la carte} correspond à \bl{100'000 cm} (0,1 km) \bl{en réalité}. }
	
\end{frame}


\begin{frame}



\underline{Exemple 1.3} Sur une carte au 1:25'000 deux points sont séparés de 3 cm. Le premier point a une altitude de 241 m et le deuxième de 491 m. Quelle est la pente moyenne entre ces deux points? \\[0.5cm]

\MP{0.35}{0.6}{


\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\coordinate (O) at (1,0);
\coordinate (H) at (2.5,0);
\coordinate (S) at (2.5,1.5);
	

\draw[thick] (O) -- (S);

\draw[rline] (S) node[black, right]{491 m} -- node[right]{\only<8-| handout:0>{250 m}} (H);
\draw[gline] (O) node[black, left]{241 m} -- node[below]{\only<2-6 | handout:0 >{3cm sur carte}\only<7-| handout:0>{750 m}} (H);
	
\end{tikzpicture}



}{

\hunc{2}{
On décide d'utiliser le mètre comme unité. }\\

\hunc{3}{
\begin{tikzpicture}
	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
	{
		\mbox{carte [cm]} \& \mbox{réalité [cm]} \\
		1 \& 25'000 \\
		3  \& \only<3-4>{?}\only<5->{\ro{75'000}} \\
	};
	\uncover<4->{\draw[->, dred] (A-2-1.west) to [bend right=45] node[left]{$\cdot 3$} (A-3-1.west);}
	\uncover<5->{\draw[->, dred] (A-2-2.east) to [bend left=45] node[right]{$\cdot 3$} (A-3-2.east);}
\end{tikzpicture}}
}

\hunc{6}{
\uncover<6->{
On transforme en mètres: 75'000 cm = 750 m. \uncover<7->{ La \ve{distance horizontale} sera donc de \bl{750 m}.}}

\uncover<8->{La \ro{dénivellation} est de 491 - 241 = \ro{250 m}.}\\[0.1cm]

\uncover<9->{La pente moyenne vaut donc 
$$\frac{\ro{250}}{\ve{750}} \uncover<10->{= \frac{1}{3} \uncover<11->{\approx 0.33} \uncover<12->{ = \vi{33 \%}}}$$}}
\end{frame}


\begin{frame}{Titre}

Un \bl{alliage} est un mélange de métal précieux et d'un autre métal. La \ve{proportion de métal précieux} d'un alliage est indiquée par son \bl{titre}.

\vfill

\uncover<2->{
Par exemple, un \bl{titre de 900} indique que \ve{dans 1'000 g} d'alliage, on a \bl{900 g de métal précieux} et 100 g d'autres métaux. }

\vfill

\uncover<3->{Lorsque l'on parle d'un lingot d'or ou d'argent, il est le plus souvent composé d'or ou d'argent pur et d'un autre métal. \uncover<4->{On précise la quantité de métal précieux pur en donnant le \bl{titre} du lingot.}}

	
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.4} Une cuillère en argent a une masse de 50 g et un titre de 800. Quelle masse d'argent pur contient la cuillère?

\MP{0.39}{0.59}{
\hunc{2}{
\begin{tikzpicture}
	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
	{
		\mbox{alliage} \& \mbox{argent} \\
		1000 \& 800 \\
		50  \& \only<2-3>{?}\only<4->{\vi{40}} \\
	};
	\onslide<3->{\draw[->, dgreen, thick] (A-3-1) to (A-2-2);}
	\onslide<3->{\draw[->,dred, thick] (A-2-2) to (A-2-1);}
	\onslide<3->{\draw[->,violet, thick] (A-2-1) to (A-3-2);}
\end{tikzpicture}}
}{

\hunc{3}{
\uncover<3->{$ \ve{(50 \cdot 800)}\ro{ \div 1000} \uncover<4->{= 40} $}\\

\uncover<5->{\vi{La cuillère contient 40 g d'argent.}}}

}	

\vspace{1cm}

\uncover<6->{Une fourchette de 50 g contient 30 g d'argent, quel est sont titre?}

\MP{0.39}{0.59}{
\hunc{7}{
\begin{tikzpicture}
	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
	{
		\mbox{alliage} \& \mbox{argent} \\
		50 \& 30 \\
		1000  \& \only<6-7>{?}\only<8->{\vi{600}} \\
	};
	\onslide<8->{\draw[->, dgreen, thick] (A-3-1) to (A-2-2);}
	\onslide<8->{\draw[->,dred, thick] (A-2-2) to (A-2-1);}
	\onslide<8->{\draw[->,violet, thick] (A-2-1) to (A-3-2);}
\end{tikzpicture}}
}{

\hunc{8}{
\uncover<8->{$\ve{(1000 \cdot 30)}\ro{ \div 50} \uncover<9->{= 600} $}\\

\uncover<10->{La fourchette a un titre de 600.}
}
}
	
\end{frame}

\begin{frame}{Masse volumique}

La \bl{masse volumique} d'un corps est la masse de ce corps pour un volume donné:
$$\boxed{\mbox{\bl{Masse volumique}} = \frac{\mbox{\ro{Masse}}}{\mbox{\ve{Volume}}}}$$\\[0.5cm]

\uncover<2->{Elle est exprimée en \bl{kg/dm$^{3}$} ou \bl{g/cm$^{3}$} (unités équivalentes)}
\uncover<3->{$$\frac{1 \mbox{ kg}}{1 \mbox{ dm}^{3}} = \frac{1000 \mbox{ g}}{1000 \mbox{ cm}^{3}} = \frac{1 \mbox{ g}}{1 \mbox{ cm}^{3}}$$}

\uncover<4->{\underline{Exercice 1.3} Quelle est la masse volumique du marbre sachant qu'une plaque de 153,6 cm$^{3}$ a une masse de 414,72 g.}\\[0.2cm]

\hunc{5}{La masse volumique du marbre vaut $\frac{414,72}{153,6} = 2,7$ g/cm$^{3} = \vi{2.7}$ \vi{kg/dm$^{3}$}. }
	
\end{frame}

\begin{frame}{Vitesse}

La \bl{vitesse} (moyenne) est donnée par la relation
$$\boxed{\mbox{\bl{Vitesse}} = \frac{\mbox{\ro{Distance}}}{\mbox{\ve{Temps}}}}$$


\uncover<2->{La vitesse s'exprime en général en \bl{km/h} ou en \bl{m/s}. }\\[0.2cm]

\vfill
\uncover<3->{
\underline{Exemple 1.5} Un cycliste fait un tour de 24 km en 40 minutes, quelle est sa vitesse en km/h? \\[0.2cm]

\hunc{4}{
On a 40 minutes = 2/3 d'heures. \uncover<5->{On a donc  $\frac{24}{\frac{2}{3}} = 24\cdot\frac{3}{2} = \vi{36} $ \vi{km/h}.}
}

\vfill
\uncover<6->{
Que vaut cette vitesse en m/s?\\[0.2cm]

\hunc{7}{
$$36 \mbox{ km/h } = \uncover<8->{36 \cdot \frac{1000 \mbox{ m}}{3600 \mbox{ s}} = \uncover<9->{\vi{10 \mbox{ m/s}}}}$$ }

}}
	
\end{frame}

\begin{frame}{2. Grandeurs inversément proportionnelles}


 
La \ve{vitesse} et la \ro{durée} d'un parcours sont des \bl{grandeurs inversement proportionnelles}: \ve{plus} la vitesse sera \ve{grande}, \ro{plus} la durée sera \ro{petite}.\\[0.4cm]

\vfill

\uncover<2->{
\underline{Exemple 2.1} On effectue un parcours de \ro{240 km} sur une autoroute. Indiquez la durée du parcours en fonction de la vitesse.\\[0.2cm]

\hunc{3}{

\MP{0.45}{0.49}{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}

	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 2mm, ampersand replacement=\&] 
	{
		\mbox{Vitesse} \&  \bl{60} \& \bl{80} \& \bl{120} \\
		\mbox{Durée} \& \only<5->{\ve{4}} \& \only<6->{\ve{3}} \& \only<7->{\ve{2}} \\
	};
	 
\end{tikzpicture} 
\end{center}}{
\uncover<4->{
\vspace{-0.2cm}
$$\mbox{\bl{Vitesse}} = \frac{\mbox{\ro{Distance}}}{\mbox{\ve{Temps}}} \Rightarrow \mbox{\ve{Temps}} = \frac{\mbox{\ro{Distance}}}{\mbox{\bl{Vitesse}}}$$
}

}

}}


\vspace{0.5cm} 

\uncover<8->{
\vfill

\underline{Définition 2.1} Deux grandeurs $\bl{x}$ et $\ve{y}$ sont \bl{inversement proportionnelles} lorsque il existe un nombre $\ro{m}$ tel que $\boxed{\ve{y} = \frac{\ro{m}}{\bl{x}}}$ }
	
\end{frame}

\begin{frame}
\underline{Exemple 2.1} Pour repeindre l’ensemble des barrières d’une exploitation, deux hommes
travaillent pendant 4 heures. Combien de temps auraient-ils pris s’ils étaient cinq au lieu
de deux ?

\vfill
\uncover<2->{C'est un problème de proportionnalité inverse, car plus le nombre d'hommes augmente, plus le temps de travail nécessaire pour chaque homme diminue. }

\vfill
\uncover<3->{
Un seul homme aurait pris \uncover<4->{ 8 heures.}\uncover<5->{ S'il y a 5 hommes, le travail durera
$$\uncover<6->{\frac{8}{5} \uncover<7->{= 1.6 \mbox{heures}}}$$}
}


\end{frame}


\end{document}










