GYMNASE DE BURIER

Chapitre 1 - Calcul numérique

Mathématiques standard

1 L’ordre des opérations

\underline{Exemple 1.1} Résoudre les calculs suivants :

5 + 3 · 2 ▶ 5 + (3 · 2) = 5 + 6 = 11 ▶ (5 + 3) · 2 = 8 · 2 = 16

5 − 3/2 ▶ 5 − (3/2) = 5 − 1.5 = 3.5 ▶ (5 − 3)/2 = 2/2 = 1

Le résultat dépend de l’ordre dans lequel on résout les opérations ! Il nous faut définir la priorité donnée aux différentes opérations.

Les opérations se résolvent dans l’ordre suivant :

1. L’intérieur des parenthèses ;

2. Les puissances / racines ;

3. Les multiplications / divisions ;

4. Les additions / soustractions.

\underline{Exemple 2} Indiquer l’ordre des opérations et effectuer :

\begin{matrix}(6 − 4 · 2) \\ /2 \\ + 3 \\ = \\ −2/2−2/2 \\ + 3 \\ = −1 + 3 = 2 \end{matrix} \begin{matrix}6− \\ 4 · 24 · 2 \\ = 6 − 8 \\ = −2 \end{matrix} 1 \begin{matrix}4 · 2 \\ = 8 \end{matrix} 2 3 4  −2/2 = −1 5 6

On a donc : (6 − 4 · 2)/2 + 3 = 2 \underline{Exercice 1} Indiquer l’ordre des opérations et effectuer

1+ \sqrt{4^{2} − (2 − 5)^{2}} = 1+ \sqrt{4^{2} + (−3)^{2}}\sqrt{4^{2} + (−3)^{2}} = 1+ \sqrt{25}\sqrt{25} = 1 + 5 = 6 2 − 5 = −3 1 2 \begin{matrix}4^{2}+4^{2}+ \\ (−3)^{2}(−3)^{2} \\ = 16 + 9 = 25 \end{matrix} 34^{2} = 16 4(−3)^{2} = 9 5 6 \sqrt{25} = 5 7 8

On a donc : 1 + \sqrt{4^{2} − (2 − 5)^{2}} = 6

2. La règle de signes

Lors d’une multiplication (d’une division), les règles suivante s’appliquent

▶ + par + = + ”Les amis de mes amis sont mes amis” ▶ + par − = − ”Les amis de mes ennemis sont mes ennemis” ▶ − par + = − ”Les ennemis de mes amis sont mes ennemis” ▶ − par − = + ”Les ennemis de mes ennemis sont mes amis”

\underline{Exemple 2.1} Effectuer les opérations suivantes ▶ 3 · 5 = 3 · 5 = 15 ▶ 4 · (−2) = 4 · (−2) = −8 ▶ \frac{−9}{3} = \frac{−9}{3} = −3 ▶ \frac{−6}{−3} = \frac{−6}{−3} = 2

3. Les ensembles de nombres

\underline{Notation}

▶ L’ensemble de tous les nombres que nous utilisons se note ℝ.

▶ L’ensemble des nombres entiers naturels (= positifs) se note ℕ (ℕ = {0; 1; 2; 3; …})

▶ L’ensemble des nombres entiers relatifs (= positifs et négatifs) se note ℤ (ℤ = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …})

▶ Lorsque l’on veut exclure le nombre zéro d’un ensemble on utilise l’astérisque ^{∗} (ℕ privé de zéro se note ℕ^{∗})

\underline{Définition} Soit \frac{a}{b} une fraction avec b ∈ ℝ^{∗}. On appelle a le numérateur et b le dénominateur de la fraction.

4. Le calcul avec les fractions

\underline{Exercice 4.1} Jeanne et Robert font des lancers francs de basketball. Sur 5 lancers, Jeanne marque en moyenne 3 paniers. Sur 15 lancers, Robert marque en moyenne 9 paniers. Lequel a le plus grand taux de réussite ?

Jeanne marque 3 paniers sur 5, autrement dit, elle a un taux de réussite de

\frac{3}{5} = 0.6 = 60%

Robert marque 9 paniers sur 15, autrement dit, il a un taux de réussite de

\frac{9}{15} = 0.6 = 60%

Ils ont donc le même taux de réussite !

Remarques sur les fractions

Une fraction représente un nombre. Plusieurs fractions peuvent représenter le même nombre. Elles sont dites équivalentes. Par exemple,

\frac{3}{5} = \frac{9}{15} = 0.6

On peut passer d’une fraction équivalente à une autre en multipliant le numérateur et le dénominateur par le même terme. On parle d’amplification. Par exemple,

\frac{3}{5} = \frac{3 ·3}{5 ·3} = \frac{9}{15}

On peut passer d’une fraction équivalente à une autre en divisant le numérateur et le dénominateur par le même terme. On parle de simplification. Par exemple,

\frac{9}{15} = \frac{9 ÷3}{15 ÷3} = \frac{3}{5}  ou  \frac{9}{15} = \frac{3 · 3}{5 · 3} = \frac{3 · 3}{5 · 3} = \frac{3}{5}

\underline{Exercice 4.2}

1. Amplifier \frac{5}{7} par 6.

\frac{5}{7} = \frac{5·6}{7·6} = \frac{30}{42}

2. Simplifier \frac{24}{16} par 8.

\frac{24}{16} = \frac{24÷8}{16÷8} = \frac{3}{2} ou \frac{24}{16} = \frac{3·8}{2·8} = \frac{3·8}{2·8} = \frac{3}{2}

3. Est-ce que les fractions \frac{42}{36} et \frac{21}{18} sont équivalentes ?

Pour pouvoir comparer les fractions, on les simplifie au maximum.

\frac{42}{36} = \frac{7 · 3 · 2}{3 · 2 · 3 · 2} = \frac{7 · 3 · 2}{3 · 2 · 3 · 2} = \frac{7}{3 · 2} = \frac{7}{6} et \frac{21}{18} = \frac{3 · 7}{3 · 3 · 2} = \frac{3 · 7}{3 · 3 · 2} = \frac{7}{6}

Les fractions valent tout deux \frac{7}{6}, elles sont donc équivalentes.

\underline{Remarque} On écrit toujours les solutions sous forme réduite, c’est-a-dire simplifiée au maximum.

\underline{Exemple 4.1} Effectuer la multiplication suivante : \frac{15}{21} · \frac{1}{10}

1. Simplifier les fractions si possible :

\frac{15}{21} = \frac{5 · 3}{7 · 3} = \frac{5 · 3}{7 · 3} = \frac{5 · 3}{7 · 3} = \frac{5}{7} \frac{1}{10} = \frac{1}{5 · 2}

2. Mettre sur la même barre de fraction et simplifier :

\frac{15}{21} · \frac{1}{10} = \frac{5}{7} · \frac{1}{5 · 2} = \frac{5 · 1}{7 · 5 · 2} = \frac{5 · 1}{7 · 5 · 2} = \frac{5 · 1}{7 · 5 · 2} = \frac{1}{7 · 2}

3. Effectuer

\frac{1}{7 · 2} = \frac{1}{14}

\underline{Exercice 4.3} Effectuer les multiplications suivantes. La réponse doit être donnée sous forme réduite.

\begin{aligned}1. & \frac{4}{3} · \frac{5}{6} & = & \frac{4 · 5}{3 · 6} = \frac{2 · 2 · 5}{3 · 3 · 2} = \frac{10}{9} \\ 2. & \frac{18}{9} · \frac{4}{6} & = & \frac{9 · 2}{9} · \frac{2 · 2}{3 · 2} \frac{9 · 2}{9} · \frac{2 · 2}{3 · 2} = \frac{2}{1} · \frac{2}{3} = \frac{2 · 2}{1 · 3} = \frac{4}{3} \\ 3. & \frac{3}{2} · \frac{7}{6} · \frac{20}{3} & = & \frac{3 · 7 · 20}{2 · 6 · 3} = \frac{3 · 7 · 5 · 2 · 2}{2 · 3 · 2 · 3} = \frac{7 · 5}{3} = \frac{35}{3} \end{aligned}