\documentclass[A4paper,10pt]{article}
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\usepackage{mathrsfs}          % pour le''C'' des cercles (police)
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\usepackage{vmargin}          % Pour fixer les marges du document
\setmarginsrb
{1.5cm} 	%marge gauche
{1cm} 	  %marge en haut
{1.5cm}     %marge droite
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{0.5cm}   %distance entre l'entête et le texte
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{0.5cm}     %distance entre le texte et le pied de page


\def\R{{\mathbb R}} % les réels
\def\Q{{\mathbb Q}} % les rationnels
\def\Z{{\mathbb Z}} % les entiers relatifs
\def\D{{\mathbb D}} % les décimaux
\def\N{{\mathbb N}} % les entiers naturels
\def\C{{\mathbb C}} % les complexes


\newtheoremstyle{monstyle}
  {\baselineskip}%      Espace vertical avant
  {\baselineskip}% Espace vertical après
  {\normalfont}%              Police texte
  {}%              Retrait horizontal
  {\bfseries}%     Police en-tête
  { : }%             Ponctuation après en-tête
  {0.5cm}%      Espace après en-tête
  {}% ???
\theoremstyle{monstyle}
\newtheorem{exo}{Exercice}      % numérotation des exos
\newtheorem{Ex}{Exemple}
\newtheorem{Regle}{Règle}
\newtheorem{Def}{Définition}
\newtheorem{Prop}{Propriété}
\newtheorem{Theo}{Théorème}
\newtheorem{Rq}{Remarque}



% Pour les algorithmes :
\usepackage[french,boxed,vlined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\def\entre{
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(0,0)(0.5,0.5)
\psline{->}(0.5,0.5)(0.5,0)(0,0)
\end{pspicture}} % Entrée Casio
\def\sort{
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.31cm} 
\begin{pspicture}(0,0)(0.5,0.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.5,0)(0.5,0.5)(0,0)
\end{pspicture}}%Casio sortie

%\setcounter{secnumdepth}{0}
\hyphenpenalty 10000 %supprime toutes les césures

\begin{document}
\setlength{\unitlength}{1mm}
\setlength\parindent{0mm}
%\setlength{\parskip}{2ex plus 1ex minus 1ex}
%\setlength{\parindent}{0cm} 


\begin{center}
{\manrotatedquadrifolium ~ ~\textbf{\LARGE
Probabilité
}~ ~ \manrotatedquadrifolium}
\end{center}
\hrulefill


\section{Expérience aléatoire}
\begin{Def} \textbf{Expérience aléatoire}

C'est une expérience ayant plusieurs issues possibles mais dont on ne peut ni prévoir, ni calculer laquelle de ces issues sera réalisée.
\end{Def}

\begin{Def} \textbf{Univers des résultats} \hspace{1cm}
Noté $\Omega$, c'est l'ensemble des issues (ou éventualités) de l'expérience aléatoire.
\end{Def}

\begin{Ex} Lancer une pièce de monnaie :  $\Omega$ = \{ P ; F \} \end{Ex}

\begin{Ex} Lancer un dé :  $\Omega$ = \{ 1; 2; 3; 4; 5; 6 \} \end{Ex}

\begin{Def} \textbf{Loi de probabilité} \hspace{1cm}

Définir une loi de probabilité sur  $\Omega = \{ ~x_1~;~x_2~;~\ldots~;~x_n \}$, c'est associer à chaque issue $x_i$ un nombre positif $p_i$ tel que $p_1~+~p_2~+~\ldots~+~p_n = 1 $.
Le nombre $p_i$ est appelé la probabilité de l'événement $x_i$.
\end{Def}

\section{Modéliser une expérience aléatoire}
Pour modéliser une expérience aléatoire, on choisit une loi de probabilité sur $\Omega$ qui représentera au mieux les chances de réalisation de chaque issue.

Les valeurs choisies pour la loi de probabilité doivent correspondre aux fréquences que l'on obtiendrait en faisant des simulations avec des échantillons de grande taille.
\bigskip

\begin{Ex} Lancer deux pièces de monnaie :  $\Omega$ = \{ PP ; PF ; FF \}\\

$p$( PP) = $0,25$ ~;~ $p$( PF) = $0,5$ ~;~ $p$( FF) = $0,25$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Simulation de 65000 lancers de deux pièces \vspace{0.4cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &PP&PF&FF \\\hline 
$f_i$&0,249&0,503&0,248\\\hline
\end{tabular}
&
Loi de probabilité \vspace{0.4cm}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
$x_i$ &PP&PF&FF \\\hline $p_i$&0,25&0,5&0,25\\\hline
\end{tabular} 
\end{tabularx} 


\end{Ex}

\begin{Rq} On a, pour tout $i$, $ 0 \leq p_i \leq 1$. \end{Rq}

\begin{Def} \textbf{équiprobabilité}

Dans le cas où l'on associe à toutes les éventualités la même probabilité $p$, on dit que la loi est équirépartie.

On a alors, pour tout $i$, $ p_i  = p = \dfrac{1}{n}$. 
\end{Def}


\section{Méthodes de dénombrement}

\subsection{Dénombrement avec un arbre }

\hspace{-0.5cm} \textbf{Retour sur l'exemple 3 :} On lance deux pièces de monnaies indiscernables :

\begin{multicols*}{2}
\begin{pspicture*}(0,-3)(8,3)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,-10)(20,10)
\psset{tpos=0.7,npos=0.6,treemode=R,showbbox=false} %treemode= D, U, R, or L
\pstree[linecolor=black,levelsep=3cm,treesep=0.8cm]{\Tp}{
\pstree{\Toval{Pile}}{ \Toval{Pile} 	\Toval{Face} }
\pstree{\Toval{Face}}{	\Toval{Pile} 	\Toval{Face} }
}
\end{pspicture*}

\columnbreak

Au vu de ce dessin, il apparaît clairement que, si les deux pièces sont indiscernables, 
nous avons :
\bigskip

\textbullet ~ $\Omega$ = \{ PP ; PF ; FF \}
\bigskip

et \bigskip

\textbullet ~ $p$( PP) = $0,25$ ~;~ $p$( PF) = $0,5$ ~;~ $p$( FF) = $0,25$.
\end{multicols*}

\subsection{Dénombrement avec un tableau à double entrée}

\begin{Ex}
On lance deux dés et on calcule la somme des deux nombres obtenus.
\bigskip

\begin{minipage}[c]{7cm}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}
{|c||*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
~&\textbf{1}&\textbf{2}&\textbf{3}&\textbf{4}&\textbf{5}&\textbf{6}\\\hline\hline
\textbf{1}&2&3&4&5&6&7\\\hline
\textbf{2}&3&4&5&6&7&8\\\hline
\textbf{3}&4&5&6&7&8&9\\\hline
\textbf{4}&5&6&7&8&9&10\\\hline
\textbf{5}&6&7&8&9&10&11\\\hline
\textbf{6}&7&8&9&10&11&12\\\hline
\end{tabularx} \end{center}
\vspace{1cm}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[c]{7cm}
\begin{spacing}{2}
d'où les probabilités :\\
$p(S=2) = p(S=12)=\dfrac{1}{36}$\\
$p(S=3) = p(S=11)=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$\\
$p(S=4) = p(S=10)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$\\
$p(S=5) = p(S=9)=\dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}$\\
$p(S=6) = p(S=8)=\dfrac{5}{36}$\\
$p(S=7) =\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$
\end{spacing}
\end{minipage}
\end{Ex}


\subsection{Diagramme de Venn, diagramme de Caroll}

John venn ( 1834-1923)  Lewis Caroll ( Charles Lutwidge Dodgon 1832-1898)

\begin{Ex}
Dans une classe de 35 élèves, 25 d'entre eux jouent au football, 13 d'entre eux jouent au handball, 7 d'entre eux jouent à la fois au football et au handball.
\begin{enumerate}
\item Représenter par un diagramme l'ensemble E des élèves de la classe et l'ensemble F des élèves qui jouent au handball.
\item Quel est le nombre d'élèves qui jouent seulement au football ?
\item Quel est le nombre d'élèves qui jouent seulement au handball ?
\item Quel est le nombre d'élèves qui jouent à l'un des deux sports ?
\item Quel est le nombre d'élèves qui ne jouent ni au football, ni au handball ?
\end{enumerate}

\begin{minipage}[c]{8cm}
\textbf{Réponses} :

\begin{enumerate}
\item 18 élèves jouent seulement au football.
\item 6 élèves jouent seulement au handball.
\item 31 élèves jouent à l'un des deux sports.
\item 4 élèves ne jouent ni au football, ni au handball.
\end{enumerate}

\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[c]{7cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(14,8)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(12,6)
\psellipse(4,3)(3.5,2)	\psellipse(8.5,3)(3,2) \psellipse(6,3)(7,4)
\pspolygon[fillstyle=hlines,linewidth=0.5\pslinewidth](6,1.9)(5.8,2.1)(5.7,2.2)(5.6,2.5)(5.5,3)(5.6,3.5)(5.7,3.8)
(6,4.1)(6.4,4.4)(6.8,4.2)(7,4)(7.3,3.6)(7.4,3.4)(7.5,3)(7.4,2.6)(7.3,2.4)(7,2)(6.8,1.8)(6.4,1.6)
\uput[u](4,4.8){F (25)}	\uput[ul](9,4.9){H (13) }	\uput[ul](14,5){E ( 35)}
\pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=white](6.1,2.6)(6.9,2.6)(7,3.3)(6,3.3)
\uput[d](6.5,3.5){( 7 )}
\uput[u](4,3){\color{red} 18} 	\uput[ul](9,3){\color{red} 6 }	\uput[d](6,1){\color{red} 4 }	

\end{pspicture*}
\end{minipage}

\end{Ex}

\begin{Ex}
206 élèves de seconde suivent des cours d'anglais (en première ou seconde langue). Ils suivent aussi des cours dans une ou deux autres langues :

128 font de l'allemand, 103 font de l'espagnol, 59 du latin, 21  du grec 25 de l'allemand et de l'espagnol, 37 de l'allemand et du latin et 11 de l'espagnol et du grec.
\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on ne s'intéresse qu'à l'allemand et à l'espagnol.
\begin{enumerate}
\item Faire un diagramme de venn.
\item Combien d'élèves ne font ni allemand, ni espagnol ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Faire un diagramme de Caroll incluant toutes les données.
\item Combien d'élèves font du latin et de l'espagnol ?
\item Combien d'élèves ne font que de l'allemand ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{minipage}[c]{8cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(14,14)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(14,14)
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none]
(0,0){A}(6,0){A1}(12,0){A2}
(0,6){B}(6,6){B1}(12,6){B2}
(0,12){C}(6,12){C1}(12,12){C2}
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A)(A2)(C2)(C)(A)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](B)(B2)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A1)(C1)
\uput[d](3,0){ \textbf{103}} \uput[r](12,9){ \textbf{128}}
\uput[l](0,9){D}  \rput(3,9){\textbf{ 25}}	\uput[l](0,3){$\overline{D}$} \rput(3,3){\color{red} 78}
\uput[u](3,12){E}  \rput(9,9){\color{red} 103}	\uput[u](9,12){$\overline{E}$} \rput(9,3){\color{red} 0}
\end{pspicture*}

\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[c]{7cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(15,14)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(14,14)
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none]
(0,0){A}(6,0){A1}(12,0){A2}
(0,6){B}(6,6){B1}(12,6){B2}
(0,12){C}(6,12){C1}(12,12){C2}
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A)(A2)(C2)(C)(A)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](B)(B2)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A1)(C1)
\psline[linewidth=2\pslinewidth, linecolor=blue]{->}(13,3)(10,4)	\uput[r](13,3){\color{blue} (G)}
\psline[linewidth=2\pslinewidth, linecolor=blue](2,4)(10,4)(10,8)(10,8)(2,8)(2,4)
\psline[linewidth=2\pslinewidth, linecolor=red]{->}(13,12)(8,10)   \uput[r](13,12){\color{red} (L)}
\psline[linewidth=2\pslinewidth, linecolor=red](4,2)(8,2)(8,10)(4,10)(4,2)
\uput[d](3,0){ \textbf{103}} \uput[r](12,9){ \textbf{128}}
\uput[l](0,9){D}  \rput(2,10){\textbf{ 25}}	\uput[l](0,3){$\overline{D}$} 
\uput[u](3,12){E} 	\uput[u](9,12){$\overline{E}$} 
\rput(3,7){\color{blue} 0} \rput(5,7){\color{blue} 0} \rput(7,7){\color{blue} 0}
\rput(5,9){\color{blue} 0} \rput(5,5){\color{blue} 0} \rput(7,5){\color{blue} 0} \rput(9,5){\color{blue} 0}
\rput(7,3){\color{blue} 0} \rput(10,2){\color{blue} 0} 
\rput(10,10){\color{red} 56} \rput(2,2){\color{red} 45} 
 \rput(3,5){\color{red} 11}  \rput(5,3){\color{red} 22}  \rput(9,7){\color{red} 10} 

\end{pspicture*}
\end{minipage}
\end{Ex}

\subsection{Intersection, réunion et contraire d'événements}

\begin{Def} ~

\hspace{0.5cm}L' événement contraire de l'événement A est formé des issues qui ne réalisent pas A.
On le note $\overline{\text{A}}$
\end{Def}

\hspace{-0.5cm}\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(17,16)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(14,14)
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none]%
(0,0){A}(6,0){A1}(12,0){A2}
(0,6){B}(6,6){B1}(12,6){B2}
(0,12){C}(6,12){C1}(12,12){C2}
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A)(A2)(C2)(C)(A)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](B)(B2)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A1)(C1)
\uput[u](3,12){A} \uput[u](9,12){$\overline{A}$}
%\uput[l](0,9){B} 	\uput[l](0,3){$\overline{B}$}
\pspolygon[fillstyle=hlines,linewidth=0.5\pslinewidth,hatchcolor=blue,linecolor=blue]
(0.25,0.25)(5.75,0.25)(5.75,11.75)(0.25,11.75)(0.25,0.25)
%\rput(3,9){\psframebox*{$\textbf{A} \cap \textbf{B}$}}
%\rput(9,9){$\overline{\textbf{A}}\cap \textbf{B}$}
%\rput(3,3){$\textbf{A} \cap \overline{\textbf{B}}$}
%\rput(9,3){$\overline{\textbf{A}}\cap \overline{\textbf{B}}$}
%\uput[d](3,0){\textbf{Prob(A)}}
%\uput[d](9,0){\textbf{Prob($\overline{\textbf{A}}$)}}
%\uput[r](12,9){\textbf{Prob(B)}}
%\uput[r](12,3){\textbf{Prob($\overline{\textbf{B}}$)}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(12,7)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(12,6)
\psellipse[fillstyle=hlines](6,3)(6,3) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](4,3)(3.5,2)
\uput[u](4,3){\Large A}	 \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=white](9,3)(10,3)(10,4.5)(9,4.5)
\uput[ul](10,3){\Large $\overline{\text{A}}$}	\uput[ul](11,5){$\Omega$}
%\psline[linewidth=2\pslinewidth,,arrowscale=2]{->}(6,0.8)(6.5,3)
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\bigskip

\begin{Def} \textbf{Intersection}

\hspace{0.5cm}L'intersection des événements A et B est l'événement noté A $\cap$ B, formé des issues qui réalisent à la fois l'événement A \underline{et} l'événement B, c'est à dire les deux.

\hspace{0.5cm}A $\cap$ B se lit " A inter B ".
\end{Def}
\hspace{-0.5cm}\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(17,16)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(14,14)
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none]
(0,0){A}(6,0){A1}(12,0){A2}
(0,6){B}(6,6){B1}(12,6){B2}
(0,12){C}(6,12){C1}(12,12){C2}
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A)(A2)(C2)(C)(A)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](B)(B2)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A1)(C1)
\uput[u](3,12){A} \uput[u](9,12){$\overline{A}$}
\uput[l](0,9){B} 	\uput[l](0,3){$\overline{B}$}
\pspolygon[fillstyle=hlines,linewidth=0.5\pslinewidth,hatchcolor=blue,linecolor=blue]
(0.25,6.25)(5.75,6.25)(5.75,11.75)(0.25,11.75)(0.25,6.25)
\rput(3,9){\psframebox*{$\textbf{A} \cap \textbf{B}$}}
%\rput(9,9){$\overline{\textbf{A}}\cap \textbf{B}$}
%\rput(3,3){$\textbf{A} \cap \overline{\textbf{B}}$}
%\rput(9,3){$\overline{\textbf{A}}\cap \overline{\textbf{B}}$}
%\uput[d](3,0){\textbf{Prob(A)}}
%\uput[d](9,0){\textbf{Prob($\overline{\textbf{A}}$)}}
%\uput[r](12,9){\textbf{Prob(B)}}
%\uput[r](12,3){\textbf{Prob($\overline{\textbf{B}}$)}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture*}(0,-2)(12,8)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(12,6)
\psellipse(4,3)(3.5,2)	\psellipse(8.5,3)(3,2) \psellipse(6,3)(6,3)
\pspolygon[fillstyle=hlines,linewidth=0.5\pslinewidth](6,1.9)(5.8,2.1)(5.7,2.2)(5.6,2.5)(5.5,3)(5.6,3.5)(5.7,3.8)
(6,4.1)(6.4,4.4)(6.8,4.2)(7,4)(7.3,3.6)(7.4,3.4)(7.5,3)(7.4,2.6)(7.3,2.4)(7,2)(6.8,1.8)(6.4,1.6)
\uput[u](4,3){A}	\uput[ul](9,3){B}	\uput[ul](11,5){$\Omega$}
\uput[d](6,0){A $\cap$ B}
\psline[linewidth=2\pslinewidth,,arrowscale=2]{->}(6,0)(6.5,3)
\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{Def} \textbf{Réunion}

\hspace{0.5cm}La réunion des événements A et B est l'événement noté A $\cup$ B, formé des issues qui réalisent  l'événement A \underline{ou} l'événement B, c'est à dire au moins l'un des deux.

\hspace{0.5cm}A $\cup$ B se lit " A union B ".
\end{Def}


\hspace{-0.5cm}\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
\begin{center}
\psset{unit=0.2cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(17,14)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(14,14)
\pstGeonode[PointName=none,PointSymbol=none]
(0,0){A}(6,0){A1}(12,0){A2}
(0,6){B}(6,6){B1}(12,6){B2}
(0,12){C}(6,12){C1}(12,12){C2}
\pspolygon[fillstyle=hlines,linewidth=0.5\pslinewidth,hatchcolor=blue,linecolor=blue]
(0.25,0.25)(0.25,11.75)(11.75,11.75)(11.75,6.25)(5.75,6.25)(5.75,0.25)(0.25,0.25)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A)(A2)(C2)(C)(A)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](B)(B2)
\psline[linewidth=2\pslinewidth](A1)(C1)
\uput[u](3,12){A} \uput[u](9,12){$\overline{A}$}
\uput[l](0,9){B} 	\uput[l](0,3){$\overline{B}$}
\rput(6,9){\psframebox*{$\textbf{A} \cup \textbf{B}$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture*}(0,-2)(12,8)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(12,6)
\psellipse[fillstyle=hlines](4,3)(3.5,2)	\psellipse[fillstyle=hlines](8.5,3)(3,2) \psellipse(6,3)(6,3)
%\pspolygon[fillstyle=hlines,linewidth=0.5\pslinewidth](6,1.9)(5.8,2.1)(5.7,2.2)(5.6,2.5)(5.5,3)(5.6,3.5)(5.7,3.8)
%(6,4.1)(6.4,4.4)(6.8,4.2)(7,4)(7.3,3.6)(7.4,3.4)(7.5,3)(7.4,2.6)(7.3,2.4)(7,2)(6.8,1.8)(6.4,1.6)
\uput[u](4,1.5){\psframebox*{A}}	\uput[ul](10,1.5){\psframebox*{B}}	\uput[ul](11,5){$\Omega$}
\uput[d](6,0){A $\cup$ B}
%\psline[linewidth=2\pslinewidth,,arrowscale=2]{->}(6,0.8)(6.5,3)
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\bigskip

\section{Calculs des probabilités}


\hspace{-0.5cm}\begin{minipage}[c]{10.5cm}
\begin{Def} ~

\hspace{0.5cm}Deux événements A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.

On a alors A $\cap$ B = $\emptyset$  et  $p$( A $\cap$ B ) = 0.
\end{Def}

\begin{Prop} ~

\hspace{0.5cm}Si A et B sont incompatibles alors $p$( A $\cup$ B ) =  $p$( A ) +  $p$( B )
\end{Prop}

\medskip

\begin{Prop} Dans le cas général
\medskip

\hspace{1cm}  $p$( A $\cup$ B ) +  $p$( A $\cap$ B ) =  $p$( A ) +  $p$( B )

\medskip

donc ~  $p$( A $\cup$ B ) =  $p$( A ) +  $p$( B ) -  $p$( A $\cap$ B ).
\end{Prop}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[c]{7cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(12,6)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(12,6)
\psellipse(3.5,3)(2.5,1.8)	\psellipse(9,3)(2,1.5) \psellipse(6,3)(6,3)
\uput[u](4,4.5){A}	\uput[ul](9,4.5){B}	\uput[ul](11,5){$\Omega$}
%\psline[linewidth=2\pslinewidth,,arrowscale=2]{->}(6,0.8)(6.5,3)
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\bigskip

\hspace{-0.5cm}\begin{minipage}[c]{10.5cm}
\begin{Def} ~

\hspace{0.5cm}L' événement contraire de l'événement A est formé des issues qui ne réalisent pas A.
On le note $\overline{\text{A}}$
\end{Def}

\begin{Prop}  $p$( $\overline{\text{A}}$ ) = $1 -  p$( A )
\end{Prop}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}[c]{7cm}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(0,0)(12,6)
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0](0,0)(12,6)
\psellipse[fillstyle=hlines](6,3)(6,3) \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=white](4,3)(3.5,2)
\uput[u](4,3){\Large A}	 \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=white](9,3)(10,3)(10,4.5)(9,4.5)
\uput[ul](10,3){\Large $\overline{\text{A}}$}	\uput[ul](11,5){$\Omega$}
%\psline[linewidth=2\pslinewidth,,arrowscale=2]{->}(6,0.8)(6.5,3)
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\end{document}