%\documentclass[mathserif,t]{beamer}
\documentclass[mathserif, handout,t]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}

\def\mySample{100}
\Teachtrue

\begin{document}

\titreCours{4}{Limites et Asymptotes}{}{
H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002\\
Notes du cours donné par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier 
}

\begin{frame}{1. Valeurs interdites et asymptotes verticales}

\underline{Exemple 1.1} Etudier la fonction $f(x)=\dfrac{x^3-2x^2}{x-2}$.\\[0.5cm]

\hunc{2}{
La fonction est rationnelle et $ED(f)= \mathbb{R}\backslash\{2\}$. Calculons les zéros de cette fonction:
$$x^3 -2x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x-2) = 0$$
Les solutions de cette équation sont 0 et 2, mais 2 n'est pas dans l'ensemble de définition, le seul zéro est donc 0. On fait le tableau de signes:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1, $x^2$/1, $x-2$/1, $x-2$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $0$, $2$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z, +, d , +,}
\tkzTabLine{,-,t, -, d , +,}
\tkzTabLine{,-,t, -, d , +,}
\tkzTabLine{,+,z, +, d , +,}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{minipage}{0.29\textwidth}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c| c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-3 & \hunc{2}{9}\\
\hline
-2 & \hunc{3}{4}\\
\hline
-1 & \hunc{4}{1}\\
\hline
0 & \hunc{5}{0}\\
\hline
1 & \hunc{6}{1}\\
\hline
2 & \hunc{7}{\ro{indéfini}}\\
\hline
3 & \hunc{8}{9}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.7\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[gray, very thin] (-4.9,-0.9) grid (4.9,9.9);
\draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-1) -- (0,10) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
%\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\hunc{9}{
\draw[dred, dashed] (2, -1) -- (2,10);
\clip (-5,-1) rectangle (5,10);
\uncover<10->{
\draw[ dblue, thick, samples=\mySample, domain=-6:1.95, smooth] plot(\x,{(\x)^2});
\draw[ dblue, thick, samples=\mySample, domain=2.05:6, smooth] plot(\x,{(\x)^2)});
\uncover<11->{\draw[dred] (2,4) circle (0.2cm);}
}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{minipage}{0.29\textwidth}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c| c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
1.5 & \hunc{2}{2.25}\\
\hline
1.9 & \hunc{3}{3.61}\\
\hline
1.99 & \hunc{4}{3.9601}\\
\hline
2.001 & \hunc{5}{4.004001}\\
\hline
2.5 & \hunc{6}{6.25}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}\quad\begin{minipage}{0.65\textwidth}
\hunc{7}{En résumé, plus on s'approche de 2, plus la fonction s'approche de 4. \uncover<8->{On le notera 
$$\lim_{x\rightarrow 2} \dfrac{x^3-2x^2}{x-2} = 4$$
On dit que la fonction admet un \bl{trou} en $x=2$. }}
\end{minipage}

\hunc{9}{
\vfill
Par calcul, on a 
\begin{eqnarray*}
\lim_{\ve{x\rightarrow 2}} \dfrac{x^3-2x^2}{x-2} 
\uncover<10->{&=&   \dfrac{\ve{2}^3-2\cdot \ve{2}^2}{\ve{2}-2} }
\uncover<11->{= \underbrace{"\dfrac{0}{0}"}_{\mbox{indéterminé}}}\\
\uncover<12->{&=& }\only<12>{\lim_{\ve{x\rightarrow 2}} \dfrac{x^2(x-2)}{x-2}}
\only<beamer>{
\only<13->{\lim_{\ve{x\rightarrow 2}} \dfrac{x^2\cancel{(x-2)}}{\cancel{x-2}}}}
\uncover<14->{= \lim_{\ve{x\rightarrow 2}} x^2}\uncover<15->{ = 4}\\
\end{eqnarray*}}

\end{frame}

\begin{frame}

La limite à droite de la valeur interdite n'est pas toujours la même que celle à gauche. On distingue donc les deux limites:\\

\begin{enumerate}
\item<2-> limite \ro{à gauche}: $$\limg{2} \dfrac{x^3-2x^2}{x-2} = 4$$
\item<3-> limite \bl{à droite}: $$\limd{2} \dfrac{x^3-2x^2}{x-2} = 4$$\\
\end{enumerate}

\uncover<4->{
Si les limites à gauche et à droite sont identiques, on note simplement 
$$\limn{2} \dfrac{x^3-2x^2}{x-2} = 4$$}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 1.1} Calculer les limites suivantes: \\[0.5cm]

\begin{lequa}
1. & \lim_{\ve{x\rightarrow 3}} (x^2 - 5x + 2)
\hunc{2}{
&=& \ve{3}^2 - 5 \cdot \ve{3} + 2
\uncover<3->{= -4}}\\[0.5cm]
\end{lequa}
\begin{lequa}
\uncover<5->{
2. & \lim_{\ve{x\rightarrow -1}} \dfrac{x^2-1}{x+1} &=& 
\hunc{6}{\dfrac{(\ve{-1})^2 -1}{\ve{-1} +1} 
\uncover<7->{= "\dfrac{0}{0}"}\\[0.2cm]
\uncover<8->{& &=&}
\only<9>{ \lim_{\ve{x\rightarrow -1}} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1} }
\only<beamer>{\only<10->{ \lim_{\ve{x\rightarrow -1}} \dfrac{(x-1)\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+1}} }}\\[0.2cm]
\only<11->{& &=& \lim_{\ve{x\rightarrow -1}} (x-1) }
\only<12->{= (\ve{-1}-1)}
\only<13->{= -2}\\[0.2cm]
\uncover<14->{&&\Rightarrow& \mbox{Trou en \ve{$(-1, -2)$}}}
}}\\[0.5cm]
\end{lequa}
\begin{lequa}
\uncover<15->{
3. & \lim_{\ve{x\rightarrow -3}} \dfrac{x^2 +x -6}{x+3} &=& 
\hunc{16}{\dfrac{(\ve{-3})^2 + (\ve{-3}) - 6}{\ve{-3} +3} 
\uncover<17->{= "\dfrac{0}{0}"}\\[0.2cm]
\uncover<18->{& &=&}
\only<19>{ \lim_{\ve{x\rightarrow -3}} \dfrac{(x-2)(x+3)}{x+3} }
\only<beamer>{\only<20->{ \lim_{\ve{x\rightarrow -3}} \dfrac{(x-2)\cancel{(x+3)}}{\cancel{x+3}} }}\\[0.2cm]
\only<21->{& &=& \lim_{\ve{x\rightarrow -3}} (x-2) }
\only<22->{= (\ve{-3}-2)}
\only<23->{= -5}\\[0.2cm]
\uncover<24->{&&\Rightarrow& \mbox{Trou en \ve{$(-3, -5)$}}}
}}\\
\end{lequa}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.2} Etudier la fonction $f(x)=\dfrac{x}{x-3}$. 

\hunc{2}{
\begin{enumerate}
\item<2-> ED(f) = $\mathbb{R}\backslash\{ 3 \}$\\[0.2cm]
\item<3-> Zéros: $x=0 \Rightarrow Z(0;0)$\\[0.2cm]
\item<4-> Ordonnée à l'origine: $f(0)=0 \Rightarrow H(0;0)$\\[0.2cm]
\item<5-> Etude de signes
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\small
\tkzTabInit[color,espcl=1.5]{$x$/1, $x$/1, $x-3$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $0$, $3$, $+\infty$}
\only<6->{\tkzTabLine{,-,z, +, d , +,}}
\only<7->{\tkzTabLine{,-,t, -, d , +,}}
\only<8->{\tkzTabLine{,+,z, -, d , +,}}
\end{tikzpicture}
\vspace{3cm}
\end{center}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{center}
\uncover<9->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\small

\hunc{10}{
\uncover<12->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-5,-5) rectangle (0,0);}
\uncover<13->{\fill[gray,pattern=north west lines] (0,0) rectangle (3,5);}
\uncover<14->{\fill[gray,pattern=north west lines] (3,-5) rectangle (5,0);}
}

\draw[gray, very thin] (-4.9,-4.9) grid (4.9,4.9);
\draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-5) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
%\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
%\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\hunc{10}{
\uncover<10->{\draw[dred] (3,-5) -- (3,5);}
\uncover<10->{\draw[dred] (3,-5) -- (3,5);}
\uncover<11->{\fill[dgreen]  (0,0) circle (0.1cm);}
\uncover<15->{\node[dred, left]  at (3,-4) {$\downarrow$};}
\uncover<16->{\node[dred, right]  at (3,4) {$\uparrow$};}
\uncover<17->{\draw[ dblue, thick, samples=\mySample, domain=-6:2.95, smooth] plot(\x,{(\x)/(\x-3)});
\draw[ dblue, thick, samples=\mySample, domain=3.05:6, smooth] plot(\x,{(\x)/(\x-3)});}
\node[left, very thick, dred, fill=white] at (3,4) {\only<18->{Asymptote en $x=3$}};
\end{tikzpicture}}}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
}
\end{frame}

\begin{frame}
Etudier le comportement de la fonction $f(x) = \dfrac{x}{x-3}$ autour de 3.

\hunc{2}{
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item<2-> $f(2) = \hunc{3}{ -2}$
\item<4-> $f(2.5) = \hunc{5}{ -5}$
\item<6-> $f(2.9) = \hunc{7}{ -29}$
\item<8-> $f(2.99) = \hunc{9}{ -299}$
\item<10-> $f(4) = \hunc{11}{4}$
\item<12-> $f(3.5) = \hunc{13}{7}$
\item<14-> $f(3.1) = \hunc{15}{31}$
\item<16-> $f(3.01) = \hunc{17}{301}$
\end{itemize}
\end{multicols}}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\hunc{18}{$$\limg{3} \dfrac{x}{x-3} = \uncover<19->{-\infty}$$}
\hunc{22}{\centering \ro{Limite à gauche}}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\hunc{20}{$$\limd{3} \dfrac{x}{x-3} = \uncover<21->{\infty}$$}
\hunc{23}{\centering \bl{Limite à droite}}
\end{minipage}
\vspace{0.5cm}
\hunc{24}{
Par calcul:
$$\limg{\ve{3}} \dfrac{x}{x-3} 
\uncover<25->{= "\dfrac{3}{0_{\ro{-}}}"}
\uncover<26->{= - \infty}  \qquad 
\limd{\ve{3}} \dfrac{x}{x-3} 
\uncover<25->{= "\dfrac{3}{0_{\bl{+}}}"}
\uncover<26->{= \infty}$$
\uncover<27->{Pour trouver le signe de la limite, on peut s'aider du tableau de signes.}\uncover<28->{ On dit que $f(x)$ admet une \ve{asymptote verticale} en $\ve{x=3}$.}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Synthèse 1.1} Lorsque l'on étudie le comportement d'une fonction rationnelle en \textbf{ses valeurs interdites}, deux cas sont possibles:
\begin{enumerate}
\item<2-> le \ro{trou}:  la limite tend vers \ro{un nombre}.
\item<3-> l'\ve{asymptote}: la limite tend vers $\ve{\pm\infty}$. 
\end{enumerate}

\uncover<4->{
Graphiquement, \\
\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\small
\draw[gray, very thin] (-4.9,-4.9) grid (4.9,4.9);
\draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-5) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
%\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};

\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[dred, very thick, dashed] (2, -5) -- (2,5);
\draw[ dblue, thick, samples=\mySample, domain=-6:1.95, smooth] plot(\x,{(\x)^2-3});
\draw[ dblue, thick, samples=\mySample, domain=2.05:6, smooth] plot(\x,{(\x)^2-3});
\draw[dred, thick] (2,1) circle (0.2cm) node[above left]{\only<5->{Trou en (2,1)}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{minipage} \begin{minipage}{0.49\textwidth}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\small
\draw[gray, very thin] (-4.9,-4.9) grid (4.9,4.9);
\draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-5) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
%\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
%\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[ dblue, thick, samples=\mySample, domain=-6:2.95, smooth] plot(\x,{(\x)/(\x-3)});
\draw[ dblue, thick, samples=\mySample, domain=3.05:6, smooth] plot(\x,{(\x)/(\x-3)});
\draw[dgreen, very thick] (3,-5) -- (3,5);
\node[left, dgreen] at (3,4) {\only<6->{Asymptote en $x=3$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}


}


\end{frame}


\begin{frame}

\only<beamer>{\small}
\underline{Exercice 1.2} Déterminer le domaine de définition de la fonction $f(x)=\dfrac{x+4}{(x+4)(x-4)}$. Calculer sa limite en $-4_{+}$, $0_{+}$ et  $4_{+}$. Indiquer les asymptotes et les trous le cas échéant. \\

\hunc{2}{On observe que $ED(f)=\mathbb{R}\backslash\{-4,4\}$.\uncover<3->{Calculons la limite en $-4_+$:
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -4_{+}} \dfrac{x+4}{(x+4)(x-4)} 
\uncover<4->{&=& "\dfrac{0}{0}"} 
\only<5>{=\lim_{x\rightarrow -4_{+}} \dfrac{x+4}{(x+4)(x-4)} }
\only<beamer>{\only<6->{=\lim_{x\rightarrow -4_{+}} \dfrac{\cancel{x+4} \,\; \ro{1}}{\cancel{(x+4)}(x-4)} }}\\
\uncover<7->{&=& \lim_{x\rightarrow -4_{+}} \dfrac{1}{(x-4)}} 
\uncover<8->{= -\dfrac{1}{8}} 
\end{eqnarray*}
\uncover<9->{ On a un trou en $\left(-4;-\dfrac{1}{8}\right)$.}
\uncover<10->{
Calculons la limite en $0_+$:
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0_{+}} \dfrac{x+4}{(x+4)(x-4)} 
\uncover<11->{&=& \dfrac{4}{-16}} 
\uncover<12->{= -\dfrac{1}{4}} 
\end{eqnarray*}
\uncover<13->{ C'est un point normal du graphe (0 \textbf{n'est pas} une valeur interdite).}}
\uncover<14->{
Calculons la limite en $4_+$:
\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 4_{+}} \dfrac{x+4}{(x+4)(x-4)} 
\uncover<15->{&=& "\dfrac{8}{0_+}"} 
\uncover<16->{= \infty} 
\end{eqnarray*}
\uncover<17->{ On a une asymptote verticale d'équation $x=4$.}}
}


}

\end{frame}

\begin{frame}
\underline{Exercice 1.3} Indiquer sur le graphe suivant les trous et les asymptotes de la fonction représentée. En déduire une expression possible de la fonction.  
\begin{minipage}{0.59\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\small
\draw[gray, very thin] (-4.9,-4.9) grid (4.9,4.9);
\draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-5) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
%\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
%\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[ dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-5:-3.1, smooth] plot(\x,{(\x-2)/(\x-3)*3/(\x+3)});
\draw[ dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-2.9:-1.1, smooth] plot(\x,{(\x-2)/(\x-3)*3/(\x+3)});
\draw[ dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-0.9:2.9, smooth] plot(\x,{(\x-2)/(\x-3)*3/(\x+3)});
\draw[ dblue, very thick, samples=\mySample, domain= 3.1:3.9, smooth] plot(\x,{(\x-2)/(\x-3)*3/(\x+3)});
\draw[ dblue, very thick, samples=\mySample, domain= 4.1:5, smooth] plot(\x,{(\x-2)/(\x-3)*3/(\x+3)});

\hunc{2}{
\small
\draw[dred] (-1, 9/8) circle (0.2cm) node[left]{Trou $(-1, \frac{9}{8})$};  
\draw[dred] (4, 6/7) circle (0.2cm) node[left]{Trou $(4, \frac{6}{7})$};  
\uncover<3->{
\draw[dgreen, very thick] (-3,-5) -- (-3,5);
\node[right, dgreen] at (-3,-4.5) {Asymptote $x=-3$};
\draw[dgreen, very thick] (3,-5) -- (3,5);
\node[left, dgreen] at (3,4.5) {Asymptote $x=3$};
}
}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\hunc{4}{Les trous et les asymptotes apparaissent aux valeurs interdites: $$ED(f)=\uncover<5->{ \mathbb{R}\backslash\{-3, -1, 3, 4 \}}$$ \\
\uncover<6->{De plus, $-1$ et $4$ étant des trous, ce sont aussi des zéros du numérateur. }
}
\end{minipage}
\vspace{0.25cm}
\hunc{7}{On a donc $f(x)=\dfrac{(x+1)(x-4)}{(x+1)(x-4)(x-3)(x+3)}$}
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.3} Etudier la fonction $f(x)=\dfrac{4-x^2}{x^2+3x+2}$ et esquisser son graphe.

\hunc{2}{

On commence par factoriser la fonction:
$$ f(x)=\dfrac{4-x^2}{x^2+3x+2} \uncover<3->{= \dfrac{(2-x)(2+x)}{(x+2)(x+1)}}$$
\vspace{-0.2cm}
\begin{enumerate}
\item<4-> $ED(f) \uncover<5->{= \mathbb{R}\backslash\{\ro{-2};\ro{-1}\}}$
\item<6-> Zéros: \uncover<7->{\bl{$2 \Rightarrow Z(2;0) $}} \uncover<8->{ ($-2\notin ED(f)$)}
\item<9-> Ordonnée à l'origine: \uncover<10->{$f(0) 
%\uncover<11->{= \dfrac{4-0^2}{0^2+3\cdot 0 +2}}
\uncover<12->{ = \dfrac{4}{2}}
\uncover<13->{ = 2} \uncover<13->{\Rightarrow}$} \uncover<13->{\bl{$H(0;2)$}}
\item<14-> Etude de signes
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\tkzTabInit[color,espcl=1.5]
{$x$/1, $2-x$/1, $2+x$/1, $x+2$/1, $x+1$/1, $f(x)$/1}
{$-\infty$, $-2$, $-1$, $2$, $+\infty$}
\only<15->{\tkzTabLine{,+, d, +, d, +, z , -,}}
\only<16->{\tkzTabLine{,-, z, +, d, +, t , +,}}
\only<17->{\tkzTabLine{,-, z, +, d, +, t , +,}}
\only<18->{\tkzTabLine{,-, d, -, z, +, t , +,}}
\only<19->{\tkzTabLine{,-, d, -, d, +, z , -,}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\only<beamer>{\small}
Vérifions le comportement de la fonction en ses valeurs interdites\\


\hunc{2}{
%\begin{lequa}
%1. & \limg{-2} \dfrac{4 -x^2}{x^2 + 3x +2} 
%\hunc{3}{&=& \dfrac{4-4}{4-6+2}
%\hunc{4}{= "\dfrac{0}{0}"}\\
%&\hunc{5}{&=&}
%\only<5>{\limg{-2} \dfrac{(2-x)(2+x)}{(x+2)(x+1)}}
%\only<6->{\limg{-2} \dfrac{(2-x)\cancel{(2+x)}}{\cancel{(x+2)}(x+1)}}\\
%&\hunc{7}{&=& \limg{-2} \dfrac{(2-x)}{(x+1)}}\\
%&\hunc{8}{&=& \limg{-2} \dfrac{(2-(-2))}{((-2)+1)}}
%\hunc{9}{= -4}}\\
%\hunc{10}{2. & \limd{-2} \dfrac{4 -x^2}{x^2 + 3x +2} &=& -4}\\
%\hunc{11}{3. & \limg{-1} \dfrac{4 -x^2}{x^2 + 3x +2}
%\hunc{12}{&=& \dfrac{4-1}{1-3+2}}
%\hunc{13}{= "\dfrac{3}{0_{-}}"}
%\hunc{14}{= -\infty}}\\
%\hunc{15}{4. & \limd{-1} \dfrac{4 -x^2}{x^2 + 3x +2}
%\hunc{16}{&=& \dfrac{4-1}{1-3+2}}
%\hunc{17}{= "\dfrac{3}{0_{+}}"}
%\hunc{18}{= \infty}}\\
%\end{lequa}
\begin{lequa}
1. & \limn{-2} \dfrac{4 -x^2}{x^2 + 3x +2} 
\hunc{3}{&=& \dfrac{4-4}{4-6+2}
\hunc{4}{= "\dfrac{0}{0}"}\\
&\hunc{5}{&=&}
\only<5>{\limn{-2} \dfrac{(2-x)(2+x)}{(x+2)(x+1)}}
\only<beamer>{\only<6->{\limn{-2} \dfrac{(2-x)\cancel{(2+x)}}{\cancel{(x+2)}(x+1)}}}
\hunc{7}{ = \limn{-2} \dfrac{2-x}{x+1}}\\
&\hunc{8}{&=& \dfrac{(2-(-2))}{((-2)+1)}}
\hunc{9}{= -4}}\\[0.2cm]
\end{lequa} 

\hunc{10}{ \ro{$\Rightarrow$ Trou en (-2;-4)}}\\[0.2cm]
\begin{lequa}
\hunc{11}{2. & \limn{-1} \dfrac{4 -x^2}{x^2 + 3x +2}  \uncover<12->{&=& \limn{-1} \dfrac{2-x}{x+1}}
\hunc{13}{= "\dfrac{3}{0}"}\\
\end{lequa}

\hunc{14}{
Limite à gauche: $\limg{-1} \dfrac{2-x}{x+1} 
\hunc{15}{= \dfrac{2-(-1_{-})}{-1_{-}+1}}
\hunc{16}{= \dfrac{3_{+}}{0_{-}}}
\hunc{17}{= -\infty \quad \downarrow}$}

\hunc{18}{
Limite à droite: $\limd{-1} \dfrac{2-x}{x+1} 
\hunc{19}{= \dfrac{2-(-1_{+})}{-1_{+}+1}}
\hunc{20}{= \dfrac{3_{-}}{0_{+}}}
\hunc{21}{= +\infty \quad \uparrow}$}}

\vspace{0.2cm}
\uncover<22->{
$\Rightarrow$ \ro{Asymptote verticale d'équation $x=-1$}
}}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\draw[gray, very thin] (-4.9,-4.9) grid (4.9,4.9);

\hunc{2}{
\uncover<7->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-5,0) rectangle (-2,5);}
\uncover<8->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-2,0) rectangle (-1,5);}
\uncover<9->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-1,-5) rectangle (2,0);}
\uncover<10->{\fill[gray,pattern=north west lines]  (2,0) rectangle (5,5);}
}

\draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-5) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\hunc{2}{
\uncover<2->{ \draw[dred, very thick] (-2, -5) -- (-2,5);}
\uncover<3->{ \draw[dred, very thick] (-1, -5) -- (-1,5);}
\uncover<4->{ \draw[dblue, dashed, very thick] (2, -5) -- (2,5);}
\uncover<5->{ 
\node[above right, fill=white] {Zéro $(2;0)$}; \fill[dblue] (2,0) circle (2pt);}
\uncover<6->{ 
\node[above right, fill=white] at (0,2) {Ordonnée à l'origine $(0;2)$}; \fill[dblue] (0,2) circle (2pt);}
\uncover<11->{ 
\node[above right, fill=white] at (-2,-4) {Trou $(-2;-4)$}; \draw[thick, dred] (-2,-4) circle (10pt);}

\uncover<12->{\node[dred] at (-1.3,-4.5) {$\downarrow$}; }
\uncover<13->{\node[dred] at (-0.7,4.5) {$\uparrow$}; }
\uncover<14->{\node[left, dred, fill=white] at (-1,4.5) {AV d'équation $x=-1$}; }
\uncover<15->{
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-9:-2.1, smooth] 
plot(\x, {(4-(\x)^2)/((\x+2)*(\x+1))});
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-1.9:-1.1, smooth] 
plot(\x, {(4-(\x)^2)/((\x+2)*(\x+1))});
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-0.9:5, smooth] 
plot(\x, {(4-(\x)^2)/((\x+2)*(\x+1))});
}}

\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{2. Comportement à l'infini et asymptotes horizontales}

\underline{Exemple 2.1} Calculer la limite suivante

\begin{eqnarray*}
\limn{\infty} x^3 + x^2 + 2x -3 &=&
\hunc{2}{
\only<2>{\limn{\infty} x^3 \left( 1 + \dfrac{1}{x}+ \dfrac{2}{x^2} -\dfrac{3}{x^3}\right)}
\only<beamer>{\only<3>{\limn{\infty} x^3 
\left( 1 + \underbrace{\dfrac{1}{x}}_{\rightarrow 0}
+ \dfrac{2}{x^2} 
-\dfrac{3}{x^3}\right)}
\only<4>{\limn{\infty} x^3 \left( 1 + \underbrace{\dfrac{1}{x}}_{\rightarrow 0}+ 
\underbrace{\dfrac{2}{x^2}}_{\rightarrow 0} -\dfrac{3}{x^3}\right)}
\only<5>{\limn{\infty} x^3 \left( 1 + \underbrace{\dfrac{1}{x}}_{\rightarrow 0}
+ \underbrace{\dfrac{2}{x^2}}_{\rightarrow 0} -\underbrace{\dfrac{3}{x^3}}_{\rightarrow 0} \right)}
\only<6->{\limn{\infty} x^3 \left( 1 + \underbrace{\cancel{\dfrac{1}{x}}}_{\rightarrow 0}
+ \underbrace{\cancel{\dfrac{2}{x^2}}}_{\rightarrow 0} 
-\underbrace{\cancel{\dfrac{3}{x^3}}}_{\rightarrow 0} \right)}\\
\uncover<7->{&=& \limn{\infty} x^3 \cdot 1 }
\uncover<8->{= \limn{\infty} x^3}
\uncover<9->{ = \infty} }} 
\end{eqnarray*}

\vfill
\uncover<10->{
\underline{Remarque 1.1} A l'infini, une fonction polynomiale se comporte comme son \ve{terme de plus haut degré}. }
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.1} Calculer les limites suivantes\\[0.2cm]

\begin{enumerate}
\item $\limn{\infty} \dfrac{2x^3- 4x^2  -2}{5x^3 - 3x^2 + x}
\hunc{2}{= \limn{\infty} \dfrac{2x^3}{5x^3}}
\hunc{3}{= \limn{\infty} \dfrac{2}{5}}
\hunc{4}{= \dfrac{2}{5}}$ \\[0.1cm]
\hunc{15}{\ve{Asymptote horizontale (AH) d'équation $y=\dfrac{2}{5}$}}\\
\item<5-> $\limn{\infty} \dfrac{4x^4 + 7}{7x^5 - 12}
\hunc{6}{= \limn{\infty} \dfrac{4x^4}{7x^5}}
\hunc{7}{= \limn{\infty} \dfrac{4}{7x}}
\hunc{8}{= 0}$ \\[0.1cm] 
\hunc{16}{\ve{AH d'équation $y=0$}}\\
\item<9-> $\limn{-\infty} \dfrac{x^5 -3x +1}{12x^2 + 2} 
\hunc{10}{=\limn{-\infty} \dfrac{x^5}{12x^2} }
\hunc{11}{=\limn{-\infty} \dfrac{x^3}{12} }
\hunc{12}{= -\infty }$ \\[0.1cm] 
\hunc{17}{\ve{Pas d'asymptote horizontale}}
\end{enumerate}

\vfill
\uncover<13->{\underline{Remarque 2.2} Un fonction rationnelle $f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}$ a une \ve{asymptote horizontale} en $y=\ve{b}$ si $\limn{\infty} f(x) = b$, $b\in\mathbb{R}$.\uncover<14->{ Cette limite est la même à droite et à gauche.}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.1} Vérifier si la fonction de l'Exercice 1.3 possède une asymptote horizontale.\\

\hunc{2}{
On calcule  la limite $\limn{\infty} \dfrac{4-x^2}{x^2 + 3x + 2} 
\uncover<3->{= \limn{\infty} \dfrac{-x^2}{x^2}} 
\uncover<4->{= -1} $\\
\uncover<5->{La fonction possède une asymptote horizontale en \ve{$y=-1$}. }
\uncover<6->{
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]

\draw[gray, very thin] (-4.9,-4.9) grid (4.9,4.9);


\uncover<1->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-5,0) rectangle (-2,5);}
\uncover<1->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-2,0) rectangle (-1,5);}
\uncover<1->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-1,-5) rectangle (2,0);}
\uncover<1->{\fill[gray,pattern=north west lines]  (2,0) rectangle (5,5);}


\draw[-latex] (-5,0) -- (5,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-5) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};


\uncover<1->{ \draw[very thick, dred] (-2, -5) -- (-2,5);}
\uncover<1->{ \draw[thick, dred] (-2,-4) circle (10pt);}
\uncover<1->{ \draw[very thick, dred] (-1, -5) -- (-1,5);}
\uncover<1->{ \draw[dashed, very thick, dblue] (2, -5) -- (2,5);}
\uncover<1->{ \fill[dgreen, dblue] (2,0) circle (5pt);}
\uncover<1->{ \fill[dgreen, dblue] (0,2) circle (5pt);}
\uncover<1->{\node[very thick, dred] at (-1.3,-4.5) {$\downarrow$}; }
\uncover<1->{\node[very thick, dred] at (-0.7,4.5) {$\uparrow$}; }
\hunc{7}{
\draw[dgreen, thick] (-5,-1) -- (5,-1) node[pos=0.9, above] {\only<12->{$\rightarrow$}} node[pos=0.1, below] {\only<16->{$\leftarrow$}};
\node[dgreen, below] at (3.5,-1) {$y= -1$}; 
\uncover<17->{
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-9:-2.1, smooth] 
plot(\x, {(4-(\x)^2)/((\x+2)*(\x+1))});
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-1.9:-1.1, smooth] 
plot(\x, {(4-(\x)^2)/((\x+2)*(\x+1))});
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-0.9:5, smooth] 
plot(\x, {(4-(\x)^2)/((\x+2)*(\x+1))});
}}

\end{tikzpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.48\textwidth}

\uncover<8->{ On étudie la position relative de la courbe:
\begin{enumerate}
\item<9-> $f(1000) = -0.997 \uncover<10->{ > -1}$ \uncover<11->{$\Rightarrow$ A droite en dessus} 
\item<13-> $f(-1000) = -1.003 \uncover<14->{ < -1}$ \uncover<15->{$\Rightarrow$ A gauche en dessous} 
\end{enumerate}}

\end{minipage}}}

\end{frame}

\begin{frame}{3. Comportement à l'infini et asymptotes obliques}

Soit $f(x) = \dfrac{N(x)}{D(x)}$ une fonction rationnelle. Dans le cas où la fonction \underline{n'a pas} d'asymptote horizontale d'un côté ou d'un autre, elle peut avoir une \ve{asymptote oblique (AO)}. \uncover<2->{C'est le cas lorsque le \textbf{degré de $N(x)$} est égal au \textbf{degré de $D(x)$ + 1}.}\uncover<3->{ On trouve les asymptotes oblique en effectuant la division euclidienne.}

\uncover<4->{
\vfill
\underline{Exemple 3.1} Les fonctions suivantes admettent-elles une asymptote oblique? 
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac{x^{\bl{4}} + 5}{x^{\ro{2}} -1}$ \\
\hunc{5}{ Degré $N(x) = \bl{4} \neq \ro{2} + 1 = $ Degré $D(x) +1 \uncover<6->{\rightarrow$ pas d'AO.} }\\[0.2cm]
\item<7-> $f(x)=\dfrac{x^{\bl{3}} + 2x^2 + 1}{x^{\ro{2}}+ 1}$ \\
\hunc{5}{ Degré $N(x) = \bl{3} = \ro{2} + 1 = $ Degré $D(x) +1 \uncover<6->{\rightarrow$ AO!} }
\end{enumerate}}

\end{frame}

\begin{frame}
\underline{Exemple 3.2} Calculer l'asymptote oblique qu'admet la fonction 
$$f(x)=\dfrac{x^{\bl{3}} + 2x^2 + 1}{x^{\ro{2}}+ 1}$$

\hunc{2}{
\vspace{0.5cm}
On fait la division euclidienne: 
$$
\begin{array}{c c c c | c}
x^3 & +2x^2 & & +1 & x^2 + 1\\ \cline{5-5}
\uncover<4->{-x^3} & & \uncover<4->{-x} & & \uncover<3->{x} \uncover<6->{+ 2} \\ \cline{1-4}
\uncover<5->{0 & 2x^2 & -x  & +1 &  \\ }
\uncover<7->{0 & -2x^2 & & -2 & \\\cline{1-4}}
\uncover<8->{0 &  0 & -x & -1 & \\}
\end{array}
$$


\uncover<9->{On peut donc écrire $\dfrac{x^{\bl{3}} + 2x^2 + 1}{x^{\ro{2}}+ 1} = x+2 + \dfrac{-x-1}{x^2+1}$}\\  
\uncover<10->{Il y a donc une asymptote oblique d'équation $y=x +2$.}
}
\end{frame}

\begin{frame}{4. Etudes de fonction avec asymptotes}

\underline{Règle des degrés} Soit $f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}$ une fonction rationnelle. Soit de plus deg($N(x)$) le degré du numérateur et deg($D(x)$) le degré du dénominateur. Alors\\
\begin{enumerate}
\item Si \ve{deg($N(x)$) $<$ deg($D(x)$)}, la fonction admet une \bl{asymptote horizontale} en $y=0$. \\[0.2cm]
\item Si \ve{deg($N(x)$) $=$ deg($D(x)$)}, la fonction admet une \bl{asymptote horizontale} en $y=\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont les coefficients du terme de plus haut degré de $N(x)$ et $D(x)$ respectivement. \\[0.2cm]
\item Si \ve{deg($N(x)$) $=$ deg($D(x)$)+1}, la fonction admet une \bl{asymptote oblique} dont l'équation correspond au quotient de $\dfrac{N(x)}{D(x)}$. 
\item Si  \ve{deg($N(x)$) $>$ deg($D(x)$)+1}, la fonction n'admet \ro{pas d'asymptote}. 
\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}

\textbf{Plan d'étude d'une fonction}\\
\begin{enumerate}[a)]
\item ED($f$), zéros, ordonnée à l'origine et signes
\item<2-> Recherche des asymptotes
\begin{enumerate}[i)]
\item<3-> Asymptotes verticales ou trous aux valeurs interdites 
\item<4-> Asymptote horizontale lorsque $x\rightarrow \infty$
\item<5-> Asymptote oblique lorsque $x\rightarrow \infty$
\end{enumerate}
\item<6-> Hachurage des zones exclues de la fonction
\item<7-> Placement des asymptotes 
\item<8-> Placements de points trouvés (zéros, ordonnée à l'origine) 
\item<9-> Esquisse de la fonction
\end{enumerate}
\uncover<10->{
\vfill
\underline{Remarque 4.1} Contrairement aux asymptotes verticales qui sont "\ro{infranchissables}", la courbe de la fonction \bl{peut traverser les asymptotes horizontales et obliques}. }

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 4.1} Etudier la fonction $f(x) = \dfrac{x^3-1}{x^2-2x-3}$ et esquisser son graphe. 

\hunc{2}{
On commence par factoriser la fonction:
$$f(x) = \dfrac{x^3-1}{x^2-2x-3} \uncover<2->{= \dfrac{(x-1)\overbrace{(x^2+x+1)}^{\Delta=-3<0}}{(x-3)(x+1)}}$$
\begin{enumerate}
\item<3-> ED($f$) = $\mathbb{R} \backslash \{ -1;3\}$
\item<4-> Zéro: $S=\{1\}$ ($x^2+x+1$ pas plus factorisable)
\item<5-> Ordonnée à l'origine: $f(0) = \dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3}$. 
\item<6-> Tableau de signes:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\tkzTabInit[color,espcl=2,lgt=4]
{$x$/1, $x-1$/1, $x^2+x+1$/1, $x-3$/1, $x+1$/1, $f(x)$/1}
{$-\infty$, $-1$, $1$, $3$, $+\infty$}
\only<7->{\tkzTabLine{,-, d, -, z, +, d , +,}}
\only<8->{\tkzTabLine{,+, d, +, t, +, d , +,}}
\only<9->{\tkzTabLine{,-, d, -, t, -, d , +,}}
\only<10->{\tkzTabLine{,-, d, +, t, +, d , +,}}
\only<11->{\tkzTabLine{,-, d, +, z, -, d , +,}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{enumerate}

}

\end{frame}

\begin{frame}

\hunc{1}{
On vérifie s'il y a des asymptotes verticales aux valeurs interdites:\\

\begin{enumerate}
\item $\limg{3} \dfrac{x^3-1}{x^2-2x-3} 
\uncover<2->{= "\dfrac{26}{0_{-}}"}
\uncover<3->{ = -\infty$} \\
\uncover<4->{ $\Rightarrow$ AV en $x=3$ à gauche $\downarrow$}\\[0.2cm]
\item<5-> $\limd{3} \dfrac{x^3-1}{x^2-2x-3} 
\uncover<6->{= "\dfrac{26}{0_{+}}"}
\uncover<7->{ = \infty$} \\
\uncover<8->{ $\Rightarrow$ AV en $x=3$ à droite $\uparrow$}\\[0.2cm]
\item<9-> $\limg{-1} \dfrac{x^3-1}{x^2-2x-3} 
\uncover<10->{= "\dfrac{-2}{0_{+}}"}
\uncover<11->{ = -\infty$} \\
\uncover<12->{ $\Rightarrow$ AV en $x=-1$ à gauche  $\downarrow$}\\[0.2cm]
\item<13-> $\limd{-1} \dfrac{x^3-1}{x^2-2x-3} 
\uncover<14->{= "\dfrac{-2}{0_{-}}"}
\uncover<15->{ = \infty$} \\
\uncover<16->{ $\Rightarrow$ AV en $x=-1$ à droite  $\uparrow$}\\[0.2cm]
\end{enumerate}
}

\end{frame}


\begin{frame}

\hunc{1}{
Par la règle des degrés, il n'y a pas d'asymptote horizontale, 
mais il y a une asymptote oblique (\ve{deg($N(x)$) $=$ deg($D(x)$)+1}):\\

\uncover<2->{
$$
\begin{array}{c c c c | c}
x^3 &  &  & -1 & x^2 -2x - 3\\ \cline{5-5}
\uncover<4->{-x^3} & \uncover<4->{+2x^2}& \uncover<4->{+3x}&  & \uncover<3->{x} \uncover<6->{+ 2} \\ \cline{1-4}
\uncover<5->{0 & 2x^2 & +3x  & -1 &  \\ }
\uncover<7->{0 & -2x^2 & +4x& +6 & \\\cline{1-4}}
\uncover<8->{0 &  0 & 7x &  +5& \\}
\end{array}
$$
\uncover<9->{AO d'équation $y=x+2$}\\

\uncover<10->{
Position relative de la courbe:
\begin{enumerate}
\item<11-> $f(1000) = 1002.007 \uncover<13->{>} \uncover<12->{y = 1000+ 2 = 1002}$\\ \uncover<14->{$\Rightarrow$ A droite au-dessus! }
\item<15-> $f(-1000) = -998.006 \uncover<17->{<} \uncover<16->{y = -1000+ 2 = -998}$ \\ \uncover<18->{$\Rightarrow$ A gauche au-dessous!} 
\end{enumerate}}



}}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.36]

\draw[gray, very thin] (-10.9,-10.9) grid (10.9,10.9);

\hunc{2}{
\uncover<13->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-11,0) rectangle (-1,11);}
\uncover<14->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-1,-11) rectangle (1,0);}
\uncover<15->{\fill[gray,pattern=north west lines] (1,0) rectangle (3,11);}
\uncover<16->{\fill[gray,pattern=north west lines]  (3,-11) rectangle (11,0);}
}

\draw[-latex] (-11,0) -- (11,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-11) -- (0,11) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
%\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
%\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\clip (-11,-11) rectangle (11,11);
\hunc{2}{
\tiny
\uncover<2->{ \draw[very thick] (-1, -11) -- (-1,11); \node[left, fill=white] at (-2,9) {AV $x=-1$};}
\uncover<3->{ \draw[dashed,very thick, dgreen] (1, -11) -- (1,11);}
\uncover<3->{ \fill[dgreen] (1,0) circle (4pt) node[below right, fill=white]{Zéro $Z(1,0)$};}
\uncover<4->{ \fill[dred] (0,1/3) circle (4pt) node[above left, fill=white]{Ordonnée à l'origine $H(0;\frac{1}{3})$};}
\uncover<5->{ \draw[very thick] (3, -11) -- (3,11); \node[right, fill=white] at (3.5,9) {AV $x=3$};}
\uncover<6->{ \draw[dashed, very thick, dblue] (-11,-9) 
-- (9,11) node[pos=0.9, above, sloped] {\only<12->{$\rightarrow$}}
node[pos=0.1, below, sloped] {\only<11->{$\leftarrow$}}; \node[right, fill=white] at (5,6) {AO $y=x+2$};}
\uncover<7->{\node[very thick, dblue] at (-1.3,-9.9) {$\downarrow$}; }
\uncover<8->{\node[very thick, dblue] at (-0.7,9.9) {$\uparrow$}; }
\uncover<9->{\node[very thick, dblue] at (2.7,-9.9) {$\downarrow$}; }
\uncover<10->{\node[very thick, dblue] at (3.3,9.9) {$\uparrow$}; }
\uncover<17->{
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-11:-1.05, smooth] 
plot(\x, {((\x)^3-1)/((\x-3)*(\x+1))});
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-0.99:2.9, smooth] 
plot(\x, {((\x)^3-1)/((\x-3)*(\x+1))});
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=3.1:11, smooth] 
plot(\x, {((\x)^3-1)/((\x-3)*(\x+1))});
}}

\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}


\end{document}
