%\documentclass[mathserif, t]{beamer}
\documentclass[mathserif, handout, t]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}
\Teachtrue

\def\mySample{100}

\begin{document}

\titreCours{4}{Fonctions}{}{
H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002\\
Notes du cours donné par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier 
}

\begin{frame}{1. La notion de fonction}

\underline{Définition 1.1} Une \bl{fonction $f$ } d'un \ve{ensemble $D$} dans un \ro{ensemble $A$} est une correspondance qui associe \textbf{à chaque élément de \ve{$D$} un et un seul élément de \ro{$A$}}. 


\uncover<2->{
On note
\begin{eqnarray*}
\bl{f}:  \tikzmark{D};\ve{D} & \rightarrow & \tikzmark{A};\ro{A}\\
    x & \mapsto &  \tikzmark{f};\bl{f}(x)
\end{eqnarray*}


\uncover<3->{
où l'on appelle
\begin{itemize}
\item \ve{D}: \uncover<4->{ l'ensemble de \ve{départ}} 
\item<5-> \ro{A}: \uncover<6->{ l'ensemble d'\ro{arrivée}} 
\item<7-> \bl{f}(x): \uncover<8->{ l'\bl{expression fonctionnelle} de f} \\[0.2cm]
\end{itemize}}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.1}  Des élèves de Burier prennent le train pour rentrer chez eux. Jacques et Simone descendent à La Tour-de-Peilz, Sophie, Vanessa et Pierre à Vevey et Francis à Rivaz. Personne ne descend à Saint-Saphorin.

\vfill

\hunc{2}{
\small
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
\draw[dgreen] (0,0) ellipse (1.8cm and 4cm);
\draw[dred] (5,0) ellipse (1.8cm and 3cm);

\uncover<13->{
\draw (-2.2,0) node[above, rotate=90]{DIAGRAMME SAGITTAL};
}

\uncover<14->{\node[dgreen,above] at (0,4.2) {Ensemble de départ};}
\fill[dgreen]  (0,2.2) circle (1.5pt) 	node (a){}	node[above]{Jacques};
\fill[dgreen]  (0,1.2) circle (1.5pt) 	node (b){}	node[above]{Simone};
\fill[dgreen]  (0,0.2) circle (1.5pt) 	node (c){}	node[above]{Sophie};
\fill[dgreen]  (0,-0.8) circle (1.5pt) 	node (d){}	node[above]{Vanessa};
\fill[dgreen]  (0,-1.8) circle (1.5pt) 	node (e){}	node[above]{Pierre};
\fill[dgreen]  (0,-2.8) circle (1.5pt) 	node (f){}	node[above]{Francis};

\uncover<3->{
\uncover<15->{\node[dred,above] at (5,3.2) {Ensemble d'arrivée};}
\fill[dred]  (5,1.2) circle (1.5pt) 	node (A){}	node[above]{Tour-de-Peilz};
\fill[dred]  (5, 0.2) circle (1.5pt) 	node (B){}	node[above]{Vevey};
\fill[dred]  (5,-0.8) circle (1.5pt) 	node (C){}	node[above]{Saint-Saphorin};
\fill[dred]  (5,-1.8) circle (1.5pt) 	node (D){}	node[above]{Rivaz};}

\uncover<4->{\draw[dblue,-latex] (a) -- (A);}
\uncover<5->{\draw[dblue,-latex] (b) -- (A);}
\uncover<6->{\draw[dblue,-latex] (c) -- (B);}
\uncover<7->{\draw[dblue,-latex] (d) -- (B);}
\uncover<8->{\draw[dblue,-latex] (e) -- (B);}
\uncover<9->{\draw[dblue,-latex] (f) -- (D);}

\end{tikzpicture}

\end{minipage}\begin{minipage}{0.33\textwidth}
\hunc{10}{
La relation associant les passagers à leur destination est une \ro{fonction}. \uncover<11->{En effet, tous les passagers descendent à \textbf{un et un seul arrêt}. \uncover<12->{Toutes les personnes \underline{doivent descendre du train} et elles ne peuvent descendre qu'\underline{à un seul arrêt}.}}   
}
\end{minipage}}

\end{frame}

\begin{frame}
\underline{Définition 1.2} Soit la fonction f donnée par
\begin{eqnarray*}
\bl{f}:  \tikzmark{D};\ve{D} & \rightarrow & \tikzmark{A};\ro{A}\\
    x & \mapsto &  \tikzmark{f};\bl{f}(x)
\end{eqnarray*}
\begin{enumerate}
\item<2-> \ro{$y=f(x)$} est l'\ro{image} de \ve{$x$} par \bl{$f$}.
\item<3-> \ve{$x$} est la \ve{préimage} de \ro{$y$}. 
\item<4-> L'image de f, notée \ro{Im($f$)}, est l'ensemble des éléments de $\ro{A}$ qui ont une \ve{préimage}.
\item<5-> L'image réciproque de \ro{$y$}, notée \ve{$^rf(\ro{y})$} ou \ve{$f^{-1}(\ro{y})$}, est l'\textbf{ensemble} des éléments de $\ve{D}$ qui ont $\ro{y}$ pour image. 
\end{enumerate}
\uncover<6->{
Une fonction peut aussi être donnée par son \bl{graphe G(f)}  
$$\bl{G}(\bl{f})= \{ (\ve{x};\ro{f(x)}) | \ve{x\in D} \}$$}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 1.1} Dans l'exemple du train, donner
\vfill
\begin{enumerate}
\item l'image de \ve{Pierre}: 
\hunc{2}{$f$(\ve{Pierre}) =  \ro{Vevey}}\\[0.5cm]
\item<3-> l'image de la fonction: \\
\hunc{4}{\ro{Im($f$)} = $\{$ \ro{La Tour-de-Peilz}, \ro{Vevey}, \ro{Rivaz} $\}$}
\item<5-> la préimage de \ro{Rivaz}: 
\hunc{6}{\ve{Francis}} \\[0.5cm]
\item<7-> l'image réciproque de la \ro{Tour-de-Peilz}: \\
\hunc{8}{$^rf$(\ro{La Tour-de-Peilz}) = $\{$ \ve{Jacques}, \ve{Simone} $\}$}
\item<9-> l'image réciproque de \ro{Saint-Saphorin}: \\
\hunc{10}{$^rf$(\ro{Saint-Saphorin}) = $\emptyset$}
\item<11-> le graphe de la fonction : \\
\hunc{12}{$\bl{G(f)} = \{$ (\ve{Jacques}, \ro{La Tour-de-Peilz}); \\
(\ve{Simone}, \ro{La Tour-de-Peilz}); (\ve{Sophie}, \ro{Vevey}); \\
(\ve{Vanessa}, \ro{Vevey}); (\ve{Pierre}, \ro{Vevey}); (\ve{Francis}, \ro{Rivaz}) $\}$}
\end{enumerate}

\end{frame}


\begin{frame}{2. Les fonctions réelles}

Lorsque les ensembles de \ve{départ D} et d'\ro{arrivée A} d'une fonction sont des \bl{sous-ensembles de $\mathbb{R}$}, on dit que la fonction est \bl{réelle}. \uncover<2->{L'\bl{analyse} est la discipline des maths qui étudie les fonctions réelles.}

\vfill

\uncover<3->{Pour représenter le graphe $G(f)=\{(\ve{x};\ro{f(x)}) | \ve{x\in D}\}$ d'une fonctions réelle, on utilse un \bl{système d'axes} perpendiculaires. }

\begin{minipage}{0.53\textwidth}
\uncover<5->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[->, dgreen] (-5, 0) -- (5,0)node[right]{D};
\draw[->, dred] (0,-5) -- (0,5) node[above]{A};
\draw (1,-0.1) node[below]{1} -- (1,0.1);
\draw (-0.1,1) node[left]{1} -- (0.1,1);
\hunc{6}{
\uncover<6->{\fill (3,2) circle (1.5pt) node[above]{$(\ve{x};\ro{f(x)})$};}
\uncover<7->{\draw[dgreen, dashed] (3,2) -- (3,0) node[below]{$\ve{x}$};
\draw[dgreen] (3,-0.1) -- (3,0.1);}
\uncover<8->{\draw[dred, dashed] (3,2) -- (0,2) node[left]{$\ro{f(x)}$};
\draw[dred] (-0.1,2) -- (0.1,2);}}
\end{tikzpicture}}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\uncover<4->{
On place l'\ve{ensemble de départ D} sur l'axe horizontal (abscisse) et l'\ro{ensemble d'arrivée A} sur l'axe vertical (ordonnées). }

\end{minipage}
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 2.1} Dessiner le graphe de la fonction 
\begin{eqnarray*}
\bl{f}:  \ve{\mathbb{R}} & \rightarrow & \ro{\mathbb{R}}\\
    \ve{x} & \mapsto &  \ro{x^2}
\end{eqnarray*}
et répondre aux questions suivantes.

\uncover<2->{
\begin{minipage}{0.53\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray, very thin] (-4.9,-4.9) grid (4.9,4.9);
\draw[->, dgreen] (-5, 0) -- (5,0)node[right]{D};
\draw[->, dred] (0,-5) -- (0,5) node[above]{A};
\only<1-12>{\draw (1,-0.1) node[below]{1} -- (1,0.1);}
\only<1-10>{\draw (-0.1,1) node[left]{1} -- (0.1,1);}
\hunc{2}{\uncover<3->{\fill (1,1) circle (1.5pt) node[right]{$(\ve{1};\ro{1})$};}
\uncover<4->{\fill (2,4) circle (1.5pt) node[right]{$(\ve{2};\ro{4})$};}
\uncover<5->{\fill (-1,1) circle (1.5pt) node[left]{$(\ve{-1};\ro{1})$};}
\uncover<6->{\fill (-2,4) circle (1.5pt) node[left]{$(\ve{-2};\ro{4})$};}
\uncover<7->{
\clip (-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[dblue, samples=\mySample, domain=-5:5, smooth] plot(\x, {(\x)^2});}}
\uncover<7->{\draw[dgreen] (-2,-0.1) node[below]{-2} -- (-2,0.1);}
\uncover<8->{\draw[dgreen] (-2, 0)  -- (-2,4);}
\uncover<9->{\draw[dred] (0, 4) node[right]{4} -- (-2,4);}
\uncover<11->{\draw[dred] (-0.1,1) node[above right]{1} -- (0.1,1);}
\uncover<12->{\draw[dred] (-1, 1)  -- (1,1);}
\uncover<13->{
\draw[dgreen] (-1, 1) -- (-1,0) node[below]{-1};
\draw[dgreen] (1, 1) -- (1,0) node[below]{1};
}

\end{tikzpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{enumerate}
\item $f(\ve{-2})=\hunc{10}{\ro{4}}$\\[1cm]
\item $^rf(\ro{1})=\hunc{14}{\{\ve{-1}; \ve{1}\}}$\\[1cm]
\item $Im(f)= \hunc{15}{\ro{\mathbb{R}_+}}$\\[1cm]
\end{enumerate}

\end{minipage}}

\end{frame}


\begin{frame}

\underline{Exercice 2.1} Estimer les valeurs suivantes en observant le graphe.\\

\vfill

\begin{minipage}{0.49\textwidth}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]

\coordinate (O) at (0,0);

\def\max{6};
\def\min{-4};

\def\qmax{5};
\def\qmin{-3};


%quadrillage

\foreach \x in {\qmin, ..., \qmax}{
\draw[black!50, very thin] (\x, \min) -- (\x, \max);}

\foreach \y in {\qmin, ..., \qmax}{
\draw[black!50,very thin]  (\min , \y) -- (\max, \y );}

%origine
\node[below left] at (O) {O};
\node[left] at (0,1) {1};
\node[below] at (1,0) {1};
\draw[thick] (-0.1, 1) -- (0.1, 1); 
\draw[thick] (1,-0.1) -- (1, 0.1); 

%axes

\draw[->, dred] (0:\min) --  (0:\max) node[right]{$x$};
\draw[->, dblue] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{$y$};

\begin{scope}
\clip (\min,\min) rectangle (\max,\max);   
\draw[dgreen, thick, smooth,samples=100,domain=\min:\max] plot(\x,{0.5*\x^3-1.5*\x^2-1});
\end{scope}

\hunc{6}{
%f(0)=-1
\uncover<3-6>{\fill[dred] (0,0) circle (3pt) ;}
\uncover<4-6>{\draw[dred, thick] (0,0) -- (0,-1);}
\uncover<5-6>{\fill[dblue] (0,-1) circle (3pt) ;}

%f(1)=-2
\uncover<7-12>{\fill[dred] (1,0) circle (3pt) ;}
\uncover<8-12>{\draw[dred, thick] (1,0) -- (1,-2);}
\uncover<9-12>{\fill[dgreen] (1,-2) circle (3pt);}
\uncover<10-12>{\draw[dblue, thick] (1,-2) -- (0,-2);}
\uncover<11-12>{\fill[dblue] (0,-2) circle (3pt) ;}

%f(x)= 2
\uncover<14-19>{\fill[dblue] (0,2) circle (3pt) ;}
\uncover<15-19>{\draw[dblue, thick] (0,2) -- (3.5,2);}
\uncover<16-19>{\fill[dgreen] (3.5,2) circle (3pt);}
\uncover<17-19>{\draw[dred, thick] (3.5,0) -- (3.5,2);}
\uncover<18-19>{\fill[dred] (3.5,0) circle (3pt);}

%f(x)= -1
\uncover<21->{\fill[dblue] (0,-1) circle (3pt) ;}
\uncover<22->{\draw[dblue, thick] (-3,-1) -- (3,-1);}
\uncover<23->{\fill[dgreen] (-3,-1) circle (3pt);}
\uncover<24->{\draw[dred, thick] (-3,0) -- (-3,-1);}
\uncover<25->{\fill[dred] (-3,0) circle (3pt);}
\uncover<26->{\fill[dgreen] (3,-1) circle (3pt);}
\uncover<27->{\draw[dred, thick] (3,0) -- (3,-1);}
\uncover<28->{\fill[dred] (3,0) circle (3pt);}
\uncover<29->{\fill[dgreen] (0,-1) circle (3pt);}
\uncover<30->{\draw[dred, thick] (0,0) -- (0,-1);}
\uncover<31->{\fill[dred] (0,0) circle (3pt);}}

\end{tikzpicture}

\end{minipage}\begin{minipage}{0.48\textwidth}

\begin{enumerate}
\item<2->  $f(\ve{0}) =  \hunc{6}{\ro{-1}}$\\[1cm]
\item<7-> $f(\ve{1}) = \hunc{12}{\ro{-2}}$\\[1cm]
\item<13-> $^rf(\ro{2})= \hunc{19}{\{\bl{\frac{7}{2}}\}}$\\[1cm]
\item<20-> $^rf(\ro{-1})= \hunc{32}{\{\bl{-3; 0; 3}\}}$\\[1cm]
\end{enumerate}

\end{minipage}
\end{frame}

\begin{frame}{3. La composition de fonctions}

\underline{Définition 3.1} Soit deux fonctions $f: \ve{E} \rightarrow \ro{F}$ et $g: \ro{F} \rightarrow \bl{G}$, on définit la \bl{composée} de $g$ avec $f$ comme $g \circ f (\ve{x}) = g(\ro{f(x)})$. 

\uncover<2->{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[dgreen] (-3,0) ellipse (1cm and 1.2cm);
\draw[dred] (0,0) ellipse (1cm and 1.2cm);
\draw[dblue] (3,0) ellipse (1cm and 1.2cm);

\node[above, dgreen] at (-3,1.2) {E};
\node[above, dred] at (0,1.2) {F};
\node[above, dblue] at (3,1.2) {G};

\hunc{3}{
\draw[-latex] (-3,1.2) to [bend left=20] node[above]{$f$} (0,1.2);
\node[dgreen] at (-3,0) {$x$};
\node[dred] at (0,0) {$f(x)$};
\uncover<4->{
\draw[-latex] (0,1.2) to [bend left=20] node[above]{$g$} (3,1.2);
\node[dblue] at (3,0) {$g(f(x))$};}
\uncover<5->{
\draw[-latex] (-3,-1.2) to [bend right=20] node[below]{$g\circ f$} (3,-1.2);}}
\end{tikzpicture} 
\end{center}

\uncover<6->{
\underline{Remarque 3.1} Dans l'expression $g \circ f$, c'est toujours la \textbf{dernière fonction} (ici $f$) qui s'applique en premier, contrairement au sens de lecture.}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 3.1} Soit les fonctions 
\vspace{-0.5cm}
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\centering
\begin{eqnarray*}
f: \ve{\mathbb{R}} & \rightarrow & \ro{\mathbb{R}}\\
    \ve{x} & \mapsto &  \ro{x^2}
\end{eqnarray*}
\end{minipage} et \begin{minipage}{0.4\textwidth}
\centering
\begin{eqnarray*}
g:  \ro{\mathbb{R}} & \rightarrow & \bl{\mathbb{R}}\\
    \ro{x} & \mapsto &  \bl{3x -1}.
\end{eqnarray*}
\end{minipage}
\end{center}

Donner la valeur ou l'expression générale des termes suivants:\\

\begin{enumerate}
\item $g \circ f(\ve{-2}) \hunc{2}{
= g(\ro{f(\ve{-2})})
\uncover<3->{= g(\ro{(\ve{-2})^2})}
\uncover<4->{= g(\ro{4})}
\uncover<5->{= \bl{3\cdot \ro{4} -1} }
\uncover<6->{= \bl{11}}
}$\\[0.4cm]
\item<7-> $g \circ f(\ve{x}) \hunc{8}{
= g(\ro{f(\ve{x})})
\uncover<9->{= g(\ro{\ve{x}^2})}
\uncover<10->{= \bl{3\cdot \ro{\ve{x}^2} -1} }
\uncover<11->{= \bl{3x^2 -1} }
}$\\[0.4cm]
\item<12-> $g \circ f(\ve{5}) \hunc{13}{
= \bl{3\cdot \ve{5}^2 -1}
\uncover<14->{= \bl{3 \cdot 25 -1}}
\uncover<15->{= \bl{74}}
}$\\[0.4cm]
\item<16-> $f \circ g(-2) \hunc{17}{
= f(g(-2))
\uncover<18->{= f(3\cdot(-2)-1)}
\uncover<19->{= f(-7)}
\uncover<20->{= (-7)^2 }
\uncover<21->{= 49}
}$\\[0.4cm]
\item<22-> $f \circ g(x) \hunc{23}{
= f(g(x))
\uncover<24->{= f(3x-1)}
\uncover<25->{= (3x-1)^2}
}$\\[0.4cm]
\item<26-> $f \circ g(5) \hunc{27}{
= (3\cdot 5 -1)^2
\uncover<28->{=14^2}
\uncover<29->{=196}}$\\[0.4cm]
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{4. L'ensemble de définition ED(f)}

\underline{Exemple 4.1} Soit la relation $x \mapsto \frac{1}{x}$. Donner le plus grand ensemble de départ possible pour que cette relation soit une fonction (réelle).  

\vfill
\hunc{2}{
On sait que dans une fonction chaque élément de l'ensemble de départ doit avoir une image.\\

\vfill
\uncover<3->{Or,$\dfrac{1}{x}$ n'est pas défini lorsque $x=0$.}
\uncover<4->{ $0$ n'a donc pas d'image.}\uncover<4->{ On doit donc l'enlever de l'ensemble de départ pour que la relation soit une fonction.}
\uncover<5->{On a donc 
\begin{eqnarray*}
f: \mathbb{R}^{\ro{*}} & \rightarrow & \mathbb{R}\\
    x & \mapsto &  \dfrac{1}{x}
\end{eqnarray*}
}}


\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Définition 4.1} L'\bl{ensemble de définition} d'une fonction $f$ est composé de tous les éléments de $\mathbb{R}$ qui possèdent une image. \uncover<2->{Autrement dit, il s'agit de \ve{tous les nombres pour lesquels la fonction est définie}. }\uncover<3->{On le note \bl{$ED(f)$}.}

\vfill
\uncover<4->{
\underline{Exercice 4.1} Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes. 
\begin{enumerate}
\item $f: x \mapsto 3x^2 -7x + 3$ \hunc{5}{$\quad ED(f)= \mathbb{R}$}\\[0.5cm]
\item<6-> $f: x \mapsto \dfrac{4}{x+3}$ \hunc{7}{ $\quad ED(f)= \mathbb{R}\backslash\{-3\}$}\\[0.5cm]
\item<8-> $f: x \mapsto \dfrac{4}{x^2-25}$ \hunc{9}{ $\quad ED(f)= \mathbb{R}\backslash\{-5;5\}$}\\[0.5cm]
\item<10-> $f: x \mapsto \sqrt{x}$ \hunc{11}{ $\quad ED(f)= \mathbb{R}_{+}$}\\[0.5cm]
\item<12-> $f: x \mapsto \log(x)$ \hunc{13}{ $\quad ED(f)= \mathbb{R}^{*}_{+}$}\\[0.5cm]
\end{enumerate} 
}
\end{frame}

\begin{frame}

Plus généralement:
\begin{enumerate}
\item<1-> Si la fonction est \bl{polynomiale}: $$f(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0,$$ \uncover<2->{tous les nombres ont une image.}\\[0.1cm]
\uncover<3->{\underline{Exemple} $f(x) = 4x^7-3x + 7$ $\quad ED(f)=\hunc{4}{\mathbb{R}}$}\\[0.2cm]
\item<5-> Si la fonction est \bl{rationnelle}: $f(x)=\frac{N(x)}{D(x)}$, \uncover<6->{il faut enlever toutes les valeurs qui annulent le dénominateur \ro{$D(x)$}.} \\[0.1cm]
\uncover<7->{\underline{Exemple} $f(x) = \frac{x+1}{x-4}$ $\quad ED(f)=\hunc{8}{\mathbb{R}\backslash\{4\}}$}\\[0.2cm]
\item<9-> Si la fonction est \bl{irrationnelle}: $f(x) = \sqrt{R(x)}$, \uncover<10->{il faut enlever toutes les valeurs pour lesquelles \ro{$R(x)<0$}.}\\[0.1cm]
\uncover<11->{\underline{Exemple} $f(x) = \sqrt{x-7}$ $\quad ED(f)=\hunc{12}{[7;+\infty[$}}\\[0.2cm]
\item<13-> Si la fonction est \bl{logarithmique}: $f(x) = \log_a(P(X))$, \uncover<14->{il faut enlever toutes les valeurs pour lesquelle \ro{$P(x)\leq 0$}.}\\[0.1cm]
\uncover<15->{\underline{Exemple} $f(x) = \log_2{2-x}$ $\quad ED(f)=\hunc{16}{]-\infty; 2[$}}

\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}{5. Etudes de fonction}

Lorsque l'on \textbf{étudie une fonction $f$}, les premières étapes sont les suivantes:
\begin{enumerate}
\item<2-> Rechercher l'\bl{ensemble de défintion} $ED(f)$
\item<3-> Rechercher les \bl{zéros} de la fonction (les valeurs telles que $f(x)=0$) 
\item<4-> Rechercher l'\bl{ordonnée à l'origine} ($f(0)$) si $0\in ED(f)$
\item<5-> Etudier le \bl{signe} de la fonction (par un tableau de signes)\\
\end{enumerate}

\vfill
\uncover<6->{
L'étude de fonction nous renseigne sur sa \textbf{représentation graphique}.
\begin{enumerate}
\item<7-> L'ensemble de définition indique \ve{où la fonction est définie}
\item<8-> Les zéros indiquent \ve{où la courbe traverse l'axe des $x$}
\item<9-> L'ordonnée à l'origine indique \ve{où la courbe traverse l'axe des $y$}
\item<10-> Le signe de la fonction indique \ve{si la courbe est au-dessus (+) ou au-dessous (-) de l'axe des $x$}
\end{enumerate}}
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 5.1} Etudier la fonction $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ et esquisser son graphe.

\vfill
\hunc{2}{
On commence par chercher ED(f). \uncover<3->{La fonction est définie lorsque 
$$1-x^2\geq0 \uncover<4->{\Leftrightarrow (1-x)(1+x) \geq 0}$$}
\uncover<5->{Les zéros sont -1 et 1.}\uncover<6->{ On doit faire un tableau de signes:}
\uncover<7->{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzTabInit[color,espcl=1.5]{$x$/1, $1+x$/1, $1-x$/1, $1-x^2$/1}{$-\infty$, $-1$, $1$, $+\infty$}
\only<8->{\tkzTabLine{,-,z, +, t , +,}}
\only<9->{\tkzTabLine{,+,t, +, z , -,}}
\only<10->{\tkzTabLine{,-,z, +, z , -,}}
\end{tikzpicture}
\end{center}}
\uncover<11->{L'ensemble de définition est donc $ED(f) = [-1;1]$. }\uncover<12->{ L'ordonnée à l'origine vaut
$$\uncover<13->{f(0) \uncover<14->{=\sqrt{1-0^2}}\uncover<15->{=1}}$$}

}
\end{frame}

\begin{frame}

En résumé, l'ordonnée à l'origine vaut \hunc{2}{1} \uncover<3->{et l'on a : 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzTabInit[color,espcl=1.5]{$x$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $-1$, $1$, $+\infty$}
\only<4-| handout: 0>{\tkzTabLine{,h,z, +, z , h,}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\uncover<5->{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\draw[gray, very thin] (-2.9,-2.9) grid (2.9,2.9);

\hunc{10}{
\uncover<6->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-3,-3) rectangle (-1,3);}
\uncover<7->{\fill[gray,pattern=north west lines]  (1,-3) rectangle (3,3);}
\uncover<8->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-1,-3) rectangle (1,0);}}

\draw[-latex] (-3,0) -- (3,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-3) -- (0,3) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\hunc{10}{
\uncover<10->{ \node[below, fill=white] at (1,0) {zéro}; \fill[dgreen] (1,0) circle (1.5pt);}
\uncover<11->{\node[below, fill=white] at (-1,0) {zéro}; \fill[dgreen] (-1,0) circle (1.5pt);}
\uncover<12->{\node[right, fill=white] at (0,1) {ordonnée à l'origine};
\fill[dred] (0,1) circle (1.5pt); }
\uncover<13->{\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-1:1, smooth] plot(\x, {sqrt(1-(\x)^2)});}}
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 5.1} Etudier la fonction $f(x)=x^3-4x$ et esquisser son graphe.\\

\vfill
\hunc{2}{
\small
\uncover<2->{C'est une fonction polynomiale, donc \uncover<3->{$ED(f)=\mathbb{R}$}.}
\uncover<4->{On cherche les zéros (on résoud $f(x)=0$):
\begin{equa}
x^3 -4x &=& 0 & \uncover<5->{\mbox{MEE}}\\
\uncover<6->{\LRq x(x^2-4) &=& 0 & \uncover<7->{\mbox{PR} [A^2-B^2=(A-B)(A+B)]}}\\
\uncover<8->{\LRq x(x-2)(x+2) &=& 0  \uncover<9->{\uzero \qqR S=\{-2;0;2\} }\\
\end{equa}}
\uncover<10->{ On fait le tableau de signes:}
\uncover<11->{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzTabInit[color,espcl=1.5]{$x$/1, $x+2$/1, $x$/1, $x-2$/1, $f(x)$/1}{$-\infty$, $-2$, $0$, $2$, $+\infty$}
\only<12->{\tkzTabLine{,-,z, +, t , +, t, +,}}
\only<13->{\tkzTabLine{,-,t, -, z , +, t, +,}}
\only<14->{\tkzTabLine{,-,t, -, t , -, z, +,}}
\only<15->{\tkzTabLine{,-,z, +, z , -, z, +,}}
\end{tikzpicture}
\end{center}}
\uncover<16->{ L'ordonnée à l'origine vaut
$$\uncover<17->{f(0) \uncover<14->{= 0^3 - 4 \cdot 0}\uncover<15->{=0}}$$}

}}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\draw[gray, very thin] (-3.9,-3.9) grid (3.9,3.9);

\hunc{9}{
\uncover<9->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-4,0) rectangle (-2,4);}
\uncover<10->{\fill[gray,pattern=north west lines]  (-2,-4) rectangle (0,0);}
\uncover<11->{\fill[gray,pattern=north west lines] (0,0) rectangle (2,4);}
\uncover<12->{\fill[gray,pattern=north west lines] (2,-4) rectangle (4,0);}}

\draw[-latex] (-4,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-4) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\hunc{3}{
\uncover<3->{ \draw[dashed, very thick,dgreen] (-2, -4) -- (-2,4);}
\uncover<2->{ \node[below, fill=white] at (-2,0) {-2}; \fill[dgreen] (-2,0) circle (1.5pt);}
\uncover<5->{ \draw[dashed, very thick,dgreen] (0, -4) -- (0,4);}
\uncover<4->{\node[below, fill=white] at (0,0) {0}; \fill[dgreen] (0,0) circle (1.5pt);}
\uncover<7->{ \draw[dashed, very thick, dgreen] (2, -4) -- (2,4);}
\uncover<6->{\node[below, fill=white] at (2,0) {2}; \fill[dgreen] (2,0) circle (1.5pt);}
\uncover<8->{\fill[dred] (0,0) circle (1.5pt); }
\uncover<14->{
\clip (-4,-4) rectangle (4,4);
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-3:3, smooth] 
plot(\x, {(\x)^3-4*(\x)});}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 5.2} Etudier la fonction $f(x)=\dfrac{x^2+2}{x^2-1}$ et esquisser son graphe.\\


\vfill
\hunc{2}{
\small
On a $f(x) = \dfrac{x^2+2}{x^2-1} \uncover<3->{\dfrac{x^2+2}{(x+1)(x-1)}}$.
\uncover<4->{On a donc \uncover<3->{$ED(f)=\mathbb{R}\backslash\{-1;1\}$}.}
\uncover<4->{On cherche les zéros (on résoud $f(x)=0$):
\begin{equa}
x^2  + 2 &=& 0 & \uncover<5->{\Delta}\\
\uncover<6->{\LRq \underbrace{x^2 +2}_{\Delta < 0} &=& 0  \uncover<9->{\uzero \qqR S=\emptyset }\\
\end{equa}}
\uncover<10->{ On fait le tableau de signes:}
\uncover<11->{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]

\tkzTabInit[color,espcl=1.5]{$x$/1, $x^2+2$/1, $x+1$/1, $x-1$/1, $f(x)$/1}
{$-\infty$, $-1$, $1$, $+\infty$}
\only<12->{\tkzTabLine{,+,t, +, t , +, }}
\only<13->{\tkzTabLine{,-,t, +, t , +, }}
\only<14->{\tkzTabLine{,-,t, -, t , +, }}
\only<15->{\tkzTabLine{,-,t, -, t , +, }}
\end{tikzpicture}
\end{center}}
\uncover<16->{ L'ordonnée à l'origine vaut $\uncover<17->{f(0) \uncover<14->{= \dfrac{0^2+2}{0^2-1}}\uncover<15->{=-2}}$.}

}}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\draw[gray, very thin] (-3.9,-3.9) grid (3.9,3.9);

\hunc{6}{
\uncover<9->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-4,-4) rectangle (-1,0);}
\uncover<10->{\fill[gray,pattern=north west lines]  (-1,0) rectangle (1,4);}
\uncover<11->{\fill[gray,pattern=north west lines] (1,-4) rectangle (4,0);}}

\draw[-latex] (-4,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-4) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\hunc{3}{
\uncover<3->{ \draw[very thick] (-1, -4) -- (-1,4);}
\uncover<4->{ \node[below, fill=white] at (-1,0) {-1}; \fill (-1,0) circle (1.5pt);}
\uncover<5->{ \draw[very thick] (1, -4) -- (1,4);}
\uncover<6->{\node[below, fill=white] at (1,0) {1}; \fill (1,0) circle (1.5pt);}
\uncover<7->{\node[right, fill=white] at (0,-2) {-2}; \fill[dred] (0,-2) circle (1.5pt); }
\uncover<12->{
\clip (-4,-4) rectangle (4,4);
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-4:-1.1, smooth] 
plot(\x, {((\x)^2+2)/((\x)^2-1)});
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-0.9:0.9, smooth] 
plot(\x, {((\x)^2+2)/((\x)^2-1)});
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=1.1:4, smooth] plot(\x, {((\x)^2+2)/((\x)^2-1)});}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 5.2} Sur la base des informations suivantes, esquisser le graphe de $f$.
On sait que $ED(f) = ]-\infty; 7[$, $f(0) = -1$ et
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\tkzTabInit[color,espcl=1.5]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, $-3$, $-1$, $7$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z, +, z , -, d, h,}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]

\draw[gray, very thin] (-8.9,-4.9) grid (8.9,4.9);

\hunc{2}{
\uncover<9->{\fill[gray,pattern=north west lines] (7,-5) rectangle (9,5);}
\uncover<10->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-9,0) rectangle (-3,5);}
\uncover<11->{\fill[gray,pattern=north west lines] (-3,-5) rectangle (-1,0);}
\uncover<12->{\fill[gray,pattern=north west lines]  (-1,0) rectangle (7,5);}
}

\draw[-latex] (-9,0) -- (9,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-5) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\hunc{2}{
\uncover<2->{ \draw[dashed, very thick,dgreen] (-3, -5) -- (-3,5);}
\uncover<3->{ \node[below, fill=white] at (-3,0) {-3}; \fill[dgreen] (-3,0) circle (1.5pt);}
\uncover<4->{ \draw[dashed, very thick,dgreen] (-1, -5) -- (-1,5);}
\uncover<5->{\node[below, fill=white] at (-1,0) {-1}; \fill[dgreen] (-1,0) circle (1.5pt);}
\uncover<6->{ \draw[dashed, very thick] (7, -5) -- (7,5);}
\uncover<7->{\node[below, fill=white] at (7,0) {7}; \fill (7,0) circle (1.5pt);}
\uncover<8->{\node[right, fill=white] at (0,-1) {-1};\fill[dred] (0,-1) circle (1.5pt); }
\uncover<13->{
\clip (-9,-5) rectangle (7,5);
\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-9:4, smooth] 
plot(\x, {(\x+3)/(\x-7)*(\x+1)*7/3});}}

\end{tikzpicture}
\end{center}


\end{frame}

\begin{frame}{6. Continuité}

\underline{Définition 6.1} On dit qu'une fonction est \bl{continue en un point} si on peut la "dessiner sans lever le crayon" au voisinage de ce point.\uncover<2->{ Une fonction continue en tout point de son domaine de définition est dite \bl{continue}.}\\

\vfill


\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\centering
\uncover<2->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[-latex] (-4,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-4) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};
\clip (-4,-4) rectangle (4,4);
\draw[dblue, samples=\mySample, domain=-4:4, smooth] plot(\x,{0.5*\x+1});
\hunc{3}{\draw[dgreen, dashed] (2,2) -- (2,0) node[below]{a};
\fill[dred] (-2,0) circle (1.5pt) node[below]{b};}
\end{tikzpicture}}

\hunc{4}{$f$ est continue en $\ve{a}$ et en $\ro{b}$. }
\end{minipage}\begin{minipage}{0.49\textwidth}
\centering
\uncover<5->{
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[-latex] (-4,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-4) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};
\clip (-4,-4) rectangle (4,4);
\draw[dblue, samples=\mySample, domain=-4:2, smooth] plot(\x,{0.5*\x+1});
\draw[dblue, samples=\mySample, domain=2:4, smooth] plot(\x,{0.5*\x});

\hunc{6}{\draw[dgreen, dashed] (2,3) -- (2,0) node[below]{a}; \fill[dgreen] (2,2) circle (1.5pt);
\fill[dred] (-2,0) circle (1.5pt) node[below]{b};}
\end{tikzpicture}

\hunc{7}{$f$ est continue en $\ro{b}$\\ mais discontinue en $\ve{a}$. }}
\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Définition 6.2} La fonction "partie entière" pour une valeur $x$ est le nombre entier $n$ tel que $ n \leq x \leq n+1$. \uncover<2->{On note $f(x)=[x]$.}\uncover<3->{ Par exemple, 
$$ [2.7] = \hunc{4}{2} \qquad [-3.515] = \hunc{5}{-4}  \qquad [6]=\hunc{6}{6}$$}

\uncover<7->{
\underline{Exemple 6.1} Dessiner le graphe de la fonction réelle $f(x) = [x]$. Est-elle continue? \hunc{9}{Non, elle est \ro{discontinue} pour chaque $x\in \mathbb{Z}$. }

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\draw[gray, very thin] (-6,-6) grid (6,6);
\draw[-latex] (-6,0) -- (6,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-6) -- (0,6) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\hunc{8}{
\foreach \x in {-6, -5, ...,5}{
\draw[dblue, thick] (\x, \x) -- +(1,0);
}}
\end{tikzpicture}
\end{center} }
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Remarque 6.1} La notion de continuité n'a de sens que \ve{dans le domaine de définition} de la fonction. \uncover<2->{Il ne faut donc pas confondre \bl{discontinu en un point} et 
\ve{non-défini en un point}. }

\uncover<3->{
\underline{Exemple 6.2} Esquisser le graphe de la fonction $f(x)=\dfrac{3}{x-2}$. Est-elle continue? 
\hunc{6}{ Oui, elle est continue. En effet, elle n'est pas définie en $2$, mais elle \ve{continue en tous les points de son domaine de définition} ($ED(f)=\mathbb{R}\backslash\{2\}$). }

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\draw[gray, very thin] (-5.9,-5.9) grid (5.9,5.9);
\draw[-latex] (-6,0) -- (6,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex] (0,-6) -- (0,6) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[above]{1};
\draw (-1, -0.1) -- (-1, 0.1) node[above]{-1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\draw (0.1,-1) -- (-0.1,-1) node[left]{-1};

\hunc{4}{
\draw[black] (2, -6) -- (2,6);
\clip (-6,-6) rectangle (6,6);
\uncover<5->{
\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=-6:1.9, smooth] plot(\x,{3/(\x-2)});
\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=2.1:6, smooth] plot(\x,{3/(\x-2)});
}}
\end{tikzpicture}
\end{center}}

\end{frame}

\end{document}
