GYMNASE DE BURIER

Chapitre 4 - Calcul Différentiel

Sarah Dégallier Rochat

Références H. Bovet, ”Analyse”, Polymaths, 2002 J-Ph Javet, ”Introduction à la notion de dérivée”, Polycopié du Gymnase de Morges J-Ph Javet, ”Dérivée d’une fonction et règles de calculs”, Polycopié du Gymnase de Morges Notes du cours donné par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

1. La notion de dérivée

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.

\begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (3, 0) \\ (1.8, 4.1) \\ (1, −3) \\ (−1.1, 2.1) \\ (−2, 0) \\ m = 7.5 \\ m = 0 \\ m = −2.5 \\ m = 0 \\ m = 5 \end{matrix}

On peut schématiser la fonction précédente comme suit

\begin{matrix}x \\ m \\ f(x) \\ −∞ \\ −1.1 \\ 1.8 \\ +∞ \\ + \\ 0 \\ − \\ 0 \\ + \\ −∞ \\ −∞ \\ 2.03 \\ 2.03 \\ −4.1 \\ −4.1 \\ +∞ \\ +∞ \end{matrix}

\underline{Définition 1.1} La dérivée d’une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la fonction en ce point. La dérivée nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’équation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m > 0) ou ”descend” (m < 0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m = 0)

\begin{matrix}x \\ m \\ f(x) \\ −∞ \\ −1.1 \\ 1.8 \\ +∞ \\ + \\ 0 \\ − \\ 0 \\ + \\ −∞ \\ −∞ \\ 2.03 \\ 2.03 \\ −4.1 \\ −4.1 \\ +∞ \\ +∞ \end{matrix}

\underline{Définition 1.1} La dérivée d’une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la fonction en ce point. La dérivée nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’équation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m > 0) ou ”descend” (m < 0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m = 0)

\begin{matrix}x \\ m \\ f(x) \\ −∞ \\ −1.1 \\ 1.8 \\ +∞ \\ + \\ 0 \\ − \\ 0 \\ + \\ −∞ \\ −∞ \\ 2.03 \\ 2.03 \\ −4.1 \\ −4.1 \\ +∞ \\ +∞ \end{matrix}

\underline{Définition 1.1} La dérivée d’une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la fonction en ce point. La dérivée nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’équation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m > 0) ou ”descend” (m < 0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m = 0)

\begin{matrix}x \\ m \\ f(x) \\ −∞ \\ −1.1 \\ 1.8 \\ +∞ \\ + \\ 0 \\ − \\ 0 \\ + \\ −∞ \\ −∞ \\ 2.03 \\ 2.03 \\ −4.1 \\ −4.1 \\ +∞ \\ +∞ \end{matrix}

\underline{Définition 1.1} La dérivée d’une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la fonction en ce point. La dérivée nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’équation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m > 0) ou ”descend” (m < 0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m = 0)

\begin{matrix}x \\ m \\ f(x) \\ −∞ \\ −1.1 \\ 1.8 \\ +∞ \\ + \\ 0 \\ − \\ 0 \\ + \\ −∞ \\ −∞ \\ 2.03 \\ 2.03 \\ −4.1 \\ −4.1 \\ +∞ \\ +∞ \end{matrix}

\underline{Définition 1.1} La dérivée d’une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la fonction en ce point. La dérivée nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’équation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m > 0) ou ”descend” (m < 0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m = 0)

\begin{matrix}x \\ m \\ f(x) \\ −∞ \\ −1.1 \\ 1.8 \\ +∞ \\ + \\ 0 \\ − \\ 0 \\ + \\ −∞ \\ −∞ \\ 2.03 \\ 2.03 \\ −4.1 \\ −4.1 \\ +∞ \\ +∞ \end{matrix}

\underline{Définition 1.1} La dérivée d’une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la fonction en ce point. La dérivée nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’équation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m > 0) ou ”descend” (m < 0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m = 0)

\begin{matrix}x \\ m \\ f(x) \\ −∞ \\ −1.1 \\ 1.8 \\ +∞ \\ + \\ 0 \\ − \\ 0 \\ + \\ −∞ \\ −∞ \\ 2.03 \\ 2.03 \\ −4.1 \\ −4.1 \\ +∞ \\ +∞ \end{matrix}

\underline{Définition 1.1} La dérivée d’une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la fonction en ce point. La dérivée nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’équation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m > 0) ou ”descend” (m < 0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m = 0)

\begin{matrix}x \\ m \\ f(x) \\ −∞ \\ −1.1 \\ 1.8 \\ +∞ \\ + \\ 0 \\ − \\ 0 \\ + \\ −∞ \\ −∞ \\ 2.03 \\ 2.03 \\ −4.1 \\ −4.1 \\ +∞ \\ +∞ \end{matrix}

\underline{Définition 1.1} La dérivée d’une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la fonction en ce point. La dérivée nous sera utile pour

1. Tangente : Calculer l’équation de la tangente d’une courbe en un point

2. Croissance de la droite : Savoir si la courbe ”monte” (m > 0) ou ”descend” (m < 0)

3. Optimisation : Trouver les minima et les maxima de la fonction (m = 0)

2. Calcul de la dérivée

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes :

x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (2,4) ; 4 2 ; m = \frac{4}{2} = 2  x ; y ; 1 ; 1 ; (0,0) ; (1,1) ; 1 1 ; m = \frac{1}{1} = 1  \begin{matrix}x \\ y \\ 1 \\ 1 \\ (0,0) \\ (0.5,0.25) \end{matrix} ; m = \frac{0.25}{0.5} = 0.5

On sait que la pente de la tangente en (0 ;0) est m = 0. On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente. Nous allons utiliser cette propriété pour calculer la dérivée.

\underline{Exemple 2.2} Calculer la pente de la droite passant par les deux points donnés.

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) f(x) − f(a) (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) \begin{matrix}f(x) − f(a) \\ x − a \end{matrix} (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) \begin{matrix}f(x) − f(a) \\ x − a \end{matrix} (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) \begin{matrix}f(x) − f(a) \\ x − a \end{matrix} (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) \begin{matrix}f(x) − f(a) \\ x − a \end{matrix} (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) \begin{matrix}f(x) − f(a) \\ x − a \end{matrix} (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) \begin{matrix}f(x) − f(a) \\ x − a \end{matrix} (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) \begin{matrix}f(x) − f(a) \\ x − a \end{matrix} (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

x y a x f(a) f(x) (a; f(a)) (x; f(x)) \begin{matrix}f(x) − f(a) \\ x − a \end{matrix} (a′; f(a′)) (a′′; f(a′′))

\underline{Définition 2.1} La dérivée d’une fonction f(x) en un point a, notée f′(a), est définie comme la limite suivante :

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

f′(a) = lim_{x→a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Par extension, on définit la dérivée d’une fonction comme sa dérivée en chaque point et on la note f′(x).

\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

1. x^{2} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{2} − a^{2}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x + a)}{x − a}
= lim_{x→a}(x + a) = 2a
2. x^{3} : f′(a) = lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x − a} = ”\frac{0}{0}” = lim_{x→a} \frac{(x − a)(x^{2} + ax + a^{2})}{x − a}
= lim_{x→a}(x^{2} + ax + a^{2}) = a^{2} + a^{2} + a^{2} = 3a^{2}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

3. Règles de calcul

On a vu que

1. (x^{2})′ = 2x = 2x^{2−1}

2. (x^{3})′ = 3x^{2} = 3x^{3−1} On peut généraliser cette règle à n’importe quelle puissance.

\underline{Règle 3.1} (kx^{n})′ = nkx^{n−1} avec k ∈ ℝ, n ∈ ℚ.

\underline{Rappel 3.1} On a que x^{−n} = \frac{1}{x^{n}} et x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}

\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes

1. (5x^{8})′ = 5 · (x^{8})′ = 5 · 8 · x^{8−1} = 40x^{7}

2. (\frac{6}{x^{3}} )′ = 6·(\frac{1}{x^{3}} )′ = 6·(x^{−3})′ = 6·3·x^{−3−1} = 18x^{−4} = \frac{18}{x^{4}}

3. (2\sqrt[3]{x})′ = 2 · (\sqrt[3]{x})′ = 2 · (x^{\frac{1}{3}} )′ = 2 · \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{2}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

\underline{Exercice 3.1} Calculer les dérivées suivantes

f(x) f′(x) Détail du calcul
3  0 (3)′ = (3x^{0})′ = 3 · 0 · x^{0−1} = 0
k ∈ ℝ 0 (k)′ = (kx^{0})′ = k · 0 · x^{0−1} = 0
x  1 (x)′ = (x^{1})′ = 1 · x^{1−1} = 1
3x  3 (3x)′ = 3 · (x^{1})′ = 3 · 1 = 3
x^{2}  2x (x^{2})′ = 2x^{2−1} = 2x
x^{3}  3x^{2} (x^{3})′ = 3x^{3−1} = 3x^{2}
\frac{1}{x} −\frac{1}{x^{2}} (\frac{1}{x})′ = (x^{−1})′ = −1 · x^{−1−1} = −\frac{1}{x^{2}}
\sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} (\sqrt{x})′ = (x^{\frac{1}{2}} )′ = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} −1} = \frac{1}{2}x^{− \frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\sqrt[3]{x} \frac{1}{3\sqrt{x}} (\sqrt[3]{x^{2}})′ = (x^{\frac{1}{3}} )′ = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{1}{3}x^{− \frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}