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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%
% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\{20 novembre 2014}}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{dérivation}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{1\textsuperscript{re} STI2D }}} %droit
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection} --}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
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  \stepcounter{nactivite} 
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%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%
\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}

\newrgbcolor{Rfond}{.99 0.94 .98} 
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=Rfond,linecolor=Rbord, linewidth=.25pt,framearc=.05]{
\begin{minipage}{\linewidth}{#1}\end{minipage}}}

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}
\newcommand{\encadreP}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth} #1\end{minipage}}}}

\hypersetup{
pdftitle={Dérivation.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Dérivée d'une fonction.}, 
pdfkeywords={nombre dérivé, fonction dérivée, dérivée et variations. cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/1sti2d_cours/index_cours_1sti2d.php}
}

\begin{document}

\section{Nombre Dérivé} 

 \subsection{Définition} 
 
\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a$ un réel appartenant à $I$.

Lorsque le rapport $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite réelle quand $x$ tend vers $a$ en restant dans $I$, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ et cette limite réelle, notée $f'(a)$, est appelée le nombre dérivé de $f$ en $a$. 

On note alors : \[f'(a)=\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
}

 \subsection{Tangente à une courbe} 
 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{9cm}@{\extracolsep{\fill}}X@{}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

La droite passant par le point $A\left( a ; f(a) \right)$ de la courbe $C_f$ et de coefficient directeur $f'(a)$ est appelée la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$.&
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(8,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.5*x+1)*Euler^(1-x^2/16)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(8,5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[d](7.8,0){$x$}
\uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.75}{8}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,5)(7.5,-.5)
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=red](0,3)(4,3)(4,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](4,3)
\uput[d](4,0){\red{$a$}}
\uput[l](0,3){\red{$f(a)$}}
\uput[ur](4,3){\red{$A$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\subsubsection{Propriété} 

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, dérivable en $a$ où $a$ est un réel de $I$, et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

L'équation réduite de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ est : 
 \[y=f'(a)\times(x-a)+f(a)\]
}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple}}}

La courbe $\mathcal{C}_f$ tracée ci-dessous est  la courbe représentative d'une fonction $f$  définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-3)(20,12)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{5-6*(x+2)/(x^2-3*x+6)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-3)(20,12)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt]{->}(0,0)(-5,-1.5)(10,6)
\rput(-0.2,-0.35){\footnotesize{0}}
\uput[d](9.8,0){$x$}
\uput[l](0,5.8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{10}{\f}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](-1.2,5.4)(1.2,0.6)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=vertf]{->}(0,3)(1,3)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=vertf]{->}(1,3)(1,1)
\uput[u](.5,3){\vertf $1$}
\uput[r](1,2){\vertf $-2$}
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](1,-1)(3,-1)
\psline[linewidth=.75pt, linecolor=prune](2,-1.5)(5.5,3.75)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (0,3)(1,1)(2,-1)(3,0)(5,3)
\uput[dl](10,4){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\uput[ul](-1.2,5.2){\prune\footnotesize{$T_1$}}
\uput[ur](5.5,3.5){\prune\footnotesize{$T_3$}}
\uput[dr](3,-1){\prune\footnotesize{$T_2$}}
\end{pspicture}
\end{center} 

Par lecture graphique, déterminer $f'(0)$, $f'(2)$ et $f'(3)$.

\begin{enumerate}
	\item Le nombre dérivé $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $T_1$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
	
	Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite $T_1$ est égal à $-2$.
	Ainsi, $\boxed{f'(0)=-2}$
	\item La tangente $T_2$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses. Donc $\boxed{f'(2)=0}$
	\item La droite $T_3$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3 passe par les points de coordonnées $(3;0)$ et $(5;3)$. Son coefficient directeur $a$ est  \[a=\dfrac{3-0}{5-3}=\dfrac{3}{2}\]
	Le nombre dérivé $f'(3)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 3. Donc $\boxed{f'(3)=\dfrac{3}{2}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{Remarque}

La courbe représentative d'une fonction $f$ peut avoir une tangente en un point $a$ sans que la fonction soit dérivable en $a$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{10.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}

La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d'équation $x = 0$ en $0$. 

Or la fonction racine carrée n'est pas dérivable en $0$ en effet : \[\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0} = \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x}}{x} = \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x}}= + \infty \]  ce n'est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.&
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{sqrt(x)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(6,3.5)
\psaxes[ticks=none,linewidth=1pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](5.8,0){$x$}
\uput[l](0,3.3){$y$}
\uput[d](.5,0){\red{$\vec i$}}
\uput[l](0,.5){\red{$\vec j$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{6}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

 
\section{Fonction dérivée} 

 \subsection{Définition} 
 

 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.

Lorsque pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f$ est dérivable en $x$, on dit que $f$ est dérivable sur $I$. 

\medskip
 
\cadreR{%
La fonction qui associe à tout réel $x$ appartenant à $I$ son nombre dérivé $f'(x)$ est appelée la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$. Elle est notée $f'$.
}
 
\subsection{Dérivées des fonctions de référence}


  \renewcommand{\arraystretch}{1.2} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
\rowcolor{Rfond}fonction définie et dérivable sur : & fonction $f$ définie par :  &	fonction dérivée $f'$ définie par :  \\ \hline
$\R$  & $f(x)=k$ & $f'(x)=0$  \\ \hline
$\R$  & $f(x)=ax+b$ & $a$  \\ \hline
$\R$ & $f(x)=x^n$ \; ($n$ entier $n \geqslant 1$)& $f'(x)=n x^{n-1}$	  \\ \hline
$]-\infty ; 0[$ ou $]0;+\infty[$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f(x)=\dfrac{1}{x}$ & $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$  \\ \hline
$]-\infty ; 0[$ ou $]0;+\infty[$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ \; ($n$ entier $n \geqslant 1$)& $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$  \\ \hline
$]0;+\infty[$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & $f(x)=\sqrt{x}$ & $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$  \\ \hline
$\R$  & $f(x)=\sin{x}$ & $f'(x)=\cos{x}$  \\ \hline
$\R$  & $f(x)=\cos{x}$ & $f'(x)=-\sin{x}$  \\ \hline
\end{tabularx}

\subsection{Dérivées et opérations}

$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{Rfond}}l!{\rule[-4mm]{0pt}{1cm}}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hhline{~|-|-}\noalign{\vskip.2pt}
\multicolumn {1}{>{\columncolor{white}}c|}{} &\cellcolor{Rfond}fonction $f$ définie par :  &\cellcolor{Rfond}fonction dérivée $f'$ :\\ \hhline{|-|-|-|}\noalign{\vskip.2pt}
Produit d'une fonction par un réel $k$  & $ku$ & $ku'$\\ \hhline{|-|-|-|}\noalign{\vskip.2pt}
Somme& $u+v$ & $u'+v'$  \\\hhline{|-|-|-|}\noalign{\vskip.2pt}
Produit & $u \times v$ & $u'v +uv'$	  \\ \hhline{|-|-|-|}\noalign{\vskip.2pt}
Quotient  ($v \ne 0$ sur $I$) & $\dfrac{u}{v}$ & $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$  \\ \hhline{|-|-|-|}\noalign{\vskip.2pt}
Inverse  ($v \ne 0$ sur $I$) & $\dfrac{1}{v}$& $-\dfrac{v'}{v^2}$  \\ \hhline{===}
\multirow{2}*{Composée avec une fonction circulaire}  & $\sin(u)$ & $u' \times \cos(u)$  \\ \hhline{|~|-|-}\noalign{\vskip.2pt}
  &  $\cos(u)$ & $-u' \times \sin(u)$\\ \hhline{|-|-|-|}\noalign{\vskip.2pt}
\end{tabularx}

\bigskip

\textsf {\textsc{\small{exemples}}}

\begin{enumerate}
	\item \textsf{Produit de deux fonctions}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x) = \left( 2+ \dfrac{x^2}{3}\right) \left( 1 -\dfrac{2}{x} \right)$. Calculer $f' (x)$.
	
	Sur $]0;+\infty [$ $f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables. 
	
	$f =u v$ d'où $f'= u'v + uv'$. Avec  pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 2+ \dfrac{x^2}{3} & \text{ d'où } & u'(x) = \dfrac{2x}{3}\\
	v(x) =  1 -\dfrac{2}{x} & \text{ d'où } & v'(x) = \dfrac{2}{x^2}  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} \\
	\end{array}
\]
Soit pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty [$, 
\[ \begin{split} 
f'(x) &= \dfrac{2x}{3} \times \left( 1 -\dfrac{2}{x} \right)  +\dfrac{2}{x^2} \times \left( 2+ \dfrac{x^2}{3}\right)\\
 &=  \dfrac{2x}{3} - \dfrac{4}{3} +\dfrac{4}{x^2} + \dfrac{2}{3}\\
 &= \dfrac{2x^3-2x^2+6}{3x^2} \\
 	\end{split}
 	\]
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f'(x)=\dfrac{2x^3-2x^2+6}{3x^2}$. 
 	
	\item \textsf{Quotient de deux fonctions}
	
	Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}$. Calculer $f' (x)$.
	
	Sur $\R$, $f$ est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. 
	
	$f =\dfrac{u}{v}$ d'où $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Avec  pour tout réel $x$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 4x-3 & \text{ d'où } & u'(x) = 4 \\
	v(x) = x^2+1 & \text{ d'où } & v'(x) = 2x \\
	\end{array}
\]
Soit pour tout réel $x$, 
\[ \begin{split} 
f'(x) &= \dfrac{4(x^2+1)-2x(4x-3)}{(x^2+1)^2} \\
 &=\dfrac{4x^2+4-8x^2+6x}{(x^2+1)^2} \\
 &= \dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2} \\
 	\end{split}
 	\]
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $\R$ par $f'(x)=\dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2}$.

\item Une particule est animée d'un mouvement rectiligne sinusoïdal d'équation $y(t)=0,08\sin(12t+0,3)$ où $y(t)$ est en mètres et $t$ en secondes.

La vitesse instantanée $v(t)$ est donnée par $y'(t)$ soit\[v(t)= 0,08 \times 12 \times \cos(12t+0,3)= 0,96\cos(12t+0,3)\]

\end{enumerate}



\section{Dérivée et variations d'une fonction}

\subsection{Théorème 1}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable et monotone sur un intervalle $I$ de $\R$.

\begin{itemize}
	\item Si $f$ est constante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)=0$.
	\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\geqslant 0$.
		\item Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f'(x)\leqslant 0$.
\end{itemize}
}

\medskip

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

\subsection{Théorème 2}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ et $f'$ la dérivée de $f$ sur $I$.

\begin{itemize}
	\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
	\item Si $f'$ est strictement négative sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\end{itemize}
}

\subsection{Théorème 3}

\cadreR{%
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ de $\R$ et $x_0$ un réel appartenant à $I$.

\begin{enumerate}
	\item Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$.
	\item Si la dérivée $f'$ s'annule en $x_0$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
\end{enumerate}
}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$-$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$+$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,0.2){\footnotesize{\emph {minimum}}}
\psline{->}(1.8,1.2)(4,0.2)  \psline{->}(5.4,0.2)(7.6,1.2)
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,1.4)(8,1.4) \psline(0,2.2)(8,2.2)\psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(0.75,2.6){$x$} \rput(1.8,2.6){$a$} \rput(4.7,2.6){$x_0$} \rput(7.6,2.6){$b$}
\rput (0.75,1.8){$f'(x)$} \rput(3.25,1.8){$+$} \rput(4.7,1.8){\footnotesize{$\underset{|}{\overset{|}{0}}$}}\rput(6.2,1.8){$-$}
\rput(0.75,0.7){$f(x)$} \rput(4.7,1.2){\footnotesize{\emph {maximum}}}
\psline{->}(1.8,0.2)(4,1.2)  \psline{->}(5.4,1.2)(7.6,0.2)
\end{pspicture}

\subsubsection{Remarques}

\begin{enumerate}
	\item Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse \textbf{en changeant de signe} est importante.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction cube définie sur $\R$ par $f(x) = x^3$ qui a pour dérivée la fonction $f'$ définie sur $\R$ par $f'(x)= 3 x^2$.

$f'(0) =0$ et pour tout réel $x$ non nul, $f'(x)>0$.

La fonction cube est strictement croissante sur $\R$ et n'admet pas d'extremum en 0.
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1)(1.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1.3,0){$x$}
\uput[l](0,1.3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1}{1.14}{\f}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\item  Une fonction peut admettre un extremum local en $x_0$ sans être nécessairement dérivable.

\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{13.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
Considérons la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = |x-1| +1$ .

$f$ est une fonction affine par morceaux, $f$ admet un minimum  $f (1) = 1$  or $f$ n'est pas dérivable en 1.

&
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(3.5,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{abs(x-1)+1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[ticks=none,linewidth=0.75pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1)(3.5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](3.1,0){$x$}
\uput[l](0,3.6){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.5}{3.5}{\f}
\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed,dash=3pt  2pt, linecolor=prune](0,1)(1,1)(1,0)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (1,1)
\end{pspicture}
\end{tabularx} 
\end{enumerate}

\subsubsection{Point méthode}

En pratique, pour étudier les variations d'une fonction $f$ dérivable sur son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ :

\begin{itemize}
	\item on détermine la dérivée $f'$ de $f$ ;
	\item on étudie le signe de $f'$ sur $\mathcal{D}_f$ ;
	\item on applique le théorème 2 sur chacun des intervalles de $\mathcal{D}_f$ où le signe de $f'$ est constant ;
	\item on dresse le tableau des variations en indiquant les extremums, s'il y a lieu et éventuellement les limites aux bornes de son ensemble de définition.
\end{itemize}

\bigskip

\textsf {\textsc{\small{exemple : étude d'une fonction}}}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\displaystyle\frac{4x-3}{x^2+1}$.

\begin{enumerate}
 \item Calculer $f' (x)$.
	
	Sur $\R$ $f$ est dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. 
	
	$f = \dfrac{u}{v}$ d'où $f'= \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$. Avec  pour tout réel $x$,  \[ \begin{array}{lcl} 
	u(x) = 4x-3 & \text{ d'où } & u'(x) = 4 \\
	v(x) = x^2+1 & \text{ d'où } & v'(x) = 2x \\
	\end{array}
\]

Soit pour tout réel $x$, 

\[ \begin{split} 
f'(x) &= \dfrac{4(x^2+1)-2x(4x-3)}{(x^2+1)^2} \\
 &=\dfrac{4x^2+4-8x^2+6x}{(x^2+1)^2} \\
 &= \dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2} \\
 	\end{split}
 	\]
 	
 \textcolor{red} {Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur $\R$ par $f'(x)=\dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2}$} 
 
 \item \'Etudier les variations de la fonction $f$
 
 Les variations de la fonction $f$ se déduisent du signe de sa dérivée.
 
 \'Etudions le signe de $f'(x)=\dfrac{-4x^2+6x+4}{(x^2+1)^2}$ :
 
 Pour tout réel $x$, $(x^2+1)^2 >0$. Par conséquent, $f'(x)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-4x^2+6x+4$ avec $a=-4$, $b=6$ et $c=4$.
 
 Le discriminant du trinôme est $\Delta= b^2 -4ac$ Soit \[ \Delta = 6^2 - 4 \times 4 \times \left( -4 \right) = 100 \]
 Comme $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines :
 \[ \begin{array}{lcl} 
	\phantom{\text{et }}x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ Soit } & x_1 = \dfrac{-6-10}{-8} = 2 \\[3mm]
	\text{et }x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} & \text{ Soit } & x_2 = \dfrac{-6+10}{-8} = -\dfrac{1}{2} \\
	\end{array}
\]

Un polynôme du second degré est du signe de $a$ sauf  pour les valeurs comprises entre les racines. 

Nous pouvons déduire le tableau du  signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du réel $x$ ainsi que les variations de la fonction $f$ :
		  
		  \begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(16.5,4)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(16.5,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(0,3)(16.5,3)\psline(0,2)(16.5,2) 
\rput(1,3.5){$x$}\rput(2.5,3.5){$- \infty$} \rput(7,3.5){$-\dfrac{1}{2}$} \rput(11.5,3.5){$2$}\rput(16,3.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(4.75,2.5){$-$} \pnode(7,3){m1}\pnode(7,2){m2}
\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(9.25,2.5){$+$} \pnode(11.5,3){n1}\pnode(11.5,2){n2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{n1}{n2}\ncput*{0}\rput(13.75,2.5){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(2.5,1.7){\rnode{A}{}} \rput(7,.3){\rnode{B}{$-4$}} \rput(11.5,1.7){\rnode{C}{{$1$}}} \rput(16,.3){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

\exo 

 \medskip 


La courbe $\mathcal{C}_{f}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur $\R$ dans un repère du plan. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal{C}_{f}$  vérifie les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
	\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$  au point $A$ d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
	\item la tangente à la courbe  $\mathcal{C}_{f}$ au point $B(0 ; 2)$ passe par le point de coordonnées  $(2 ; 0)$.	
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-4)(10,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(.557637*x+1.73719)*.407938^x+.262809}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-4)(10,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-2)(5,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](4.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[u](4.5,0.5){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\uput[u](-2,4){\textcolor{bleu}{\small $A$}}
\uput[ur](0,2){\textcolor{bleu}{\small $B$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.3217}{5}{\f}
\psset{linecolor=prune,linewidth=0.75pt}
\psdots[dotscale=.8](-2,4)(0,2)
\psdots[dotscale=.8](0,2)
\psline[]{<->}(-3,4)(-1,4)
\psline[]{-}(-1.5,3.5)(2.5,-.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Donner les valeurs de $f(-2)$, $f'(-2)$   et $f'(0)$ .

\bigskip

 \exo 

 \medskip 


Sur la figure ci-dessous les droites $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$ sont tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-7)(20,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-7)(20,7)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3.5)(10,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](10,0){$x$} \uput[dl](0,3.5){$y$}
\uput[u](-3.8,-1.6){\textcolor{blue}{\small $C_{f}$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{10}{10*(x-2)/(8+x^2-4*x)}
\psset{linecolor=prune,linewidth=0.5pt}
\psline{<->}(-.75,-2.5)(.75,-2.5)
\psdots[dotscale=.9](0,-2.5)(1,-2.5)(2,0)(4,2.5)(8,1.5)(5.5,2)
\uput[dr](-1,-2.5){\prune {\footnotesize{$d_1$}}}
\psline{<->}(0.8,-3)(3.2,3)
\uput[ul](2.5,1.5){\prune {\footnotesize{$d_2$}}}
\psline{<->}(3.2,2.5)(4.8,2.5)
\uput[ul](5,2.5){\prune {\footnotesize{$d_3$}}}
\psline{<->}(5,2.1)(10,1.1)
\uput[dl](5.5,2){\prune {\footnotesize{$d_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement  $f\left( 0 \right)$, $f\left( 2 \right)$ , $f\left( 4 \right)$  et $f\left( 8 \right)$ .
\item Déterminer graphiquement les nombres dérivés $f' \left( 0 \right)$, $f' \left( 2 \right)$ , $f' \left( 4 \right)$  et $f' \left( 8 \right)$.
\item En déduire les équations réduites des tangentes $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$.

\end{enumerate}	

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 


Sur la figure ci-dessous, $C_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ . Les droites $d_1$,  $d_2$,  $d_3$ et $d_4$ sont tangentes à la courbe $C_f$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm, yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-16,-12)(13,24)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.25*x^3/3+.25*x^2-2*x-1/3}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-12)(13,24)
\psset{xunit=1cm, yunit=0.75cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-4)(6.5,8)
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](6.5,0) {$x$}
\uput[dl](0,8) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-7.2}{5.25}{\f}
\psset{linewidth=.5pt, linecolor=prune}
\psline(-4.75,6.3333)(-3.25,6.3333)
\psline(-4,8)(-0,0)
\psline(1.25,-2.6667)(2.75,-2.6667)
\psline(3,-3)(5,5)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=bleu,dotscale=.8] (-6,2.6667)(-4,6.3333)(-2,4)(2,-2.6667)(4,1)
\uput[d](-5,6.3333){\footnotesize{$d_1$}} \uput[r](-3.8,7.6){\footnotesize{$d_2$}}\uput[d](1,-2.6667){\footnotesize{$d_3$}} \uput[r](5,5){\footnotesize{$d_4$}}
\uput[r](5.25,7.5){\bleu{$C_f$}}\uput[r](-6,2.6667){\footnotesize{\prune{$B$}}} \uput[r](-2,4){\footnotesize{\prune{$A$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer graphiquement $f(-4)$, $f(-2)$  et $f(2)$.
	\item Déterminer graphiquement les nombres dérivés $f'(-4)$ et $f'(2)$.
	\item La tangente à la courbe $C_f$  au point $A$  d'abscisse  $- 2$ passe par l'origine du repère. Déterminer $f'(-2)$.
	\item La tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point $B\left(- 6;\dfrac{8}{3}\right)$ est parallèle à la droite $d_4$.
	
	Déterminer $f'(-6)$ puis, donner une équation de la tangente $T$ à la courbe au point $B$. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
\end{enumerate}		

 \bigskip 
 
  \exo 

 \medskip 

Dans chacun des cas suivants,  $f$  est une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Calculer la dérivée $f'(x)$.

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur  $\R$ par $f(x)=3x^4-5x^3+x-5$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=3x^2-\dfrac{3}{x}+1$
	\item $f$ est définie sur $]0;+\infty[$  par $f(x)=\dfrac {x^3}{2} +3x^2-\dfrac{5}{x}$
\end{enumerate}

 \bigskip 
  
\exo 

 \medskip

Calculer la dérivée des fonctions suivantes.

\begin{enumerate}
	\item $f$ est définie sur  $\R$ par $f(x)=\left(1-2x\right)\left(0,5x^2+1\right)$
	\item $g$ est la fonction définie sur  $\R$ par $f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$
	\item $h$ est la fonction  définie sur $\R$ par $h(t)=\dfrac{ \sin t}{2+ \cos t}$

\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente à la parabole d'équation $y=x^2-3x+5$  au point d'abscisse $-1$.
	\item Soit $f$  la fonction définie sur $\left] {1; + \infty } \right[$ par $f\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}$ 

 Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction  $f$  au point $A$ d'abscisse $2$.

\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur  $\R$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. 

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentant la fonction $f$.

\begin{itemize}
	\item[] La courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points $A (- 2 ; 0)$, $B (1 ; 1)$, $C (4 ; 3,2)$ et $D \left( \dfrac{11}{2} ; \dfrac{25}{16} \right)$. 
	\item[] L'axe des abscisses est tangent en $A$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
	\item[] La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une deuxième tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$.  
	\item[] La tangente à la courbe au point $B$ passe par le point $M \left( -4 ; -3 \right)$.
\end{itemize}

\begin{center}	
	\psset{unit=.5cm}
	\begin{pspicture}(-12,-6)(14,8) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(x+2)^3*(6-x)/135}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-6)(14,8) 
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-3)(7,4) 
\uput[dl](0,0) {\footnotesize {0}}
\uput[dl](7,0) {$x$}
\uput[dl](0,4) {$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=1000,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5.3}{6.63}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(-.5,-.2)(2.5,2.2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(3.25,3.2)(4.75,3.2)
\psdots [linewidth=1pt, linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,0)(1,1)(4,3.2)(5.5,1.5625)
\uput[ul](-5.4,-3){\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}
\uput[u](-2,0){\bleu{$A$}}
\uput[ul](1,1){\bleu{$B$}}
\uput[u](4,3.2){\bleu{$C$}}
\uput[ur](5.5,1.5){\bleu{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\`A partir du graphique et des données de l'énoncé, répondre aux questions suivantes.
\begin{enumerate}
	\item Dresser sans justification le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\item Déterminer $f'(-2)$, $f'(4)$ et $f'(1)$.
	\item Quel est l'ensemble solution de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ ?
	\item On donne $f'(5,5)= -2,5$. Calculer les coordonnées du point d'intersection de la tangente à la courbe 	$\mathcal{C}_{f}$ au point $D$ avec l'axe des ordonnées.
	\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.
	
	\medskip
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(4-x)^2*(2+x)/32}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{1}$}}
\end{pspicture}
\hfill	
	\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(4-x)*(2+x)/4}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{2}$}}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-5)(6,3) 
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\tiny #1}
\def\f{(16-4*x)*(x+2)^2/135}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,3) 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-4)(6,3) 
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\rput(1,-5){\footnotesize{Courbe $\mathcal{C}_{3}$}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty\right[$  par $f(x)=1-\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x+1}$ . On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal. 
 
\begin{enumerate}
	\item On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$.
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$.
	\item Donner le tableau des variations de $f$.
\end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 \exo

 \medskip 


Soit $f$ la fonction définie sur  $\left]-1;+\infty\right[$ par $f(x)=\displaystyle\frac{x^2-8x+7}{x+1}$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. 


Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée $C_f$, est donnée ci-dessous à titre indicatif.
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$. 
		\item Donner le tableau des variations de $f$. 
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1. 

Tracer sur le graphique donné, la tangente $T$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(30,16)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-4)(30,16)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.5,-2)(15,8)
\uput[d](14.8,0){$x$} \uput[l](0,7.8){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(1,-.1)(1,.1)
\rput(1,-0.25){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(-.1,.5)(.1,.5)
\rput(-0.25,.5){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-.37}{15}{(x^2-8*x+7)/(x+1)}
\uput[l](14.5,7.5){\bleu{$(C_f)$}}
\end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 

\exo

\medskip

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{5-8x}{x^2-x+1}$. On note $C_f$  sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $f$.
	\item Étudier les variations de $f$.
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $-2$.
\end{enumerate}

\bigskip 

\exo

 \medskip 

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée $C_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$.

On sait que :
\begin{itemize}
	\item la droite $D$ est tangente à la courbe $C_f$  au point $A(-2;1)$;
	\item la courbe $C_f$ admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points d'abscisse $- 1$ et $3$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(18,9)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{violet}{0.5 .1 .4 }
\newrgbcolor{rouge}{1 .1 .2 }
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-8,-6)(18,9)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-4,-3)(9,4.5)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[d](8.8,0){$x$} \uput[l](0,4.3){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-2.8}{9}{9*ln(0.2*x^2+0.8*x+1.8)-3*x-5}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=violet](-3,4)(-1,-2)
\psdots[linecolor=violet,dotscale=.8] (-2,1)
\uput[r](7.8,-2.8){\bleu{$C_f$}}
\uput[r](-2.5,0.8){\violet{$A$}}
\uput[r](-3.6,3.2){\violet{$D$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Pour chacune des questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.}

	\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$  la fonction dérivée de la fonction $f$ alors :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\:}X}}
$f'(-2)=1$ & $f'(-2)=-3$ & $f'(-2)> f'(0)$ \\
\end{tabularx}

\item L'équation $f'(x)=0$  admet :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\:}X}}
une solution & deux solutions & trois solutions \\
\end{tabularx}

\item $f'$ est définie sur $\R$  par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{\textbullet\:}X}}
$f'(x)=\dfrac{3(x-3)(x^2+1)}{x^2-x+19}$ & $f'(x)=\dfrac{3(x-3)^2(x+1)}{x+7}$ & $f'(x)=\dfrac{3(3-x)(x+1)}{x^2+4x+9}$ \\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

 \medskip 

La courbe $(C)$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$. On sait que  :
\begin{itemize}
	\item la courbe $(C)$ coupe l'axe des ordonnées au point $A(0 ; 2)$ ;
	\item la tangente en $A$ à la courbe $(C)$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 4.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(19,15)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-1)(19,15)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3.5,-0.5)(9.5,7.5)
\uput[d](9.2,-0.1){$x$} \uput[l](-0.1,7.2){$y$}
\rput(-0.25,-0.25){0}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(1,-.1)(1,.1)
\rput(1,-0.25){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(-.1,1)(.1,1)
\rput(-0.25,1){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=.8cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.53}{4.75}{.5*(x^2+2*x+4)*Euler^(-x)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-1.75}{2}{2-x}
\uput[r](4.25,0.5){\bleu{$(C)$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item À partir du graphique et des renseignements fournis, déterminer  $f(0)$ et $f'(0)$.

\item  Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\displaystyle\frac{1}{f(x)}$. 

Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0.

\end{enumerate}
 
 \bigskip

\exo

 \medskip

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée $C_f$ d'une fonction $f$ dérivable sur $\R$. On désigne par $f'$  la fonction dérivée de la fonction $f$.

La courbe $C_f$  admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $A(3;2)$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(17,14)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2*x-8+4*EXP(1.5-.5*x)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-2)(17,14)
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1,2)
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2,-1)(8.5,14)
\uput[dl](8.5,0){$x$} \uput[dl](0,14){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.5}{8.5}{\f}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.6,2)(4.4,2)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (3,2)
\uput[r](7.2,9){\bleu{$C_f$}}
\uput[r](2.7,2.5){\bleu{$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
\item \`A partir du graphique et des renseignements fournis déterminer  $f(3)$ et $f'(3)$.
\item Une seule des trois propositions suivantes est exacte, déterminer laquelle.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{l >{\centering \arraybackslash}X r}
a. 	$f'(2) \times f'(4) <0$ & b. $f'(2) \times f'(4) =0$ & c. $f'(2) \times f'(4) >0$ \\
\end{tabularx}	

\item Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f'$ ?

\medskip

\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(8,10)
\rput(4,-3){Courbe $C_1$}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(8,10)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-1)(4,5)
\uput[d](3.8,0){$x$} \uput[l](0,4.8){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(.5,-.1)(.5,.1)
\rput(.5,-0.25){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(-.1,4)(.1,4)
\rput(-0.4,4){\footnotesize{\textsf{0,5}}}
\newrgbcolor{violet}{.6 0 .48}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=3.2cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=violet]{-2}{8}{1/(2*x-8+4*Euler^(1.5-.5*x))}
\end{pspicture} 
\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-2,-12)(8,2)
\rput(4,-11){Courbe $C_2$}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-10)(8,2)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-5)(4,1)
\uput[d](3.8,0){$x$} \uput[l](0,0.8){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(.5,-.1)(.5,.1)
\rput(.5,-0.25){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(-.1,0.5)(.1,0.5)
\rput(-0.25,0.5){\footnotesize{\textsf{2}}}
\newrgbcolor{violet}{.6 0 .48}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.2cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=violet]{-1.8}{8}{2-2*Euler^(1.5-.5*x)}
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(8,11)
\rput(5,-2){Courbe $C_3$}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(8,11)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1,-0.5)(4,5.5)
\uput[d](3.8,0){$x$} \uput[l](0,5.3){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(.5,-.1)(.5,.1)
\rput(.5,-0.25){\footnotesize{\textsf{1}}}
\psline[linewidth=0.5pt]{-}(-.1,0.5)(.1,0.5)
\rput(-0.25,.5){\footnotesize{\textsf{2}}}
\newrgbcolor{violet}{.6 0 .48}
\psset{unit=0.4cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=violet]{-.4}{8}{2*x-10+4*Euler^(1.5-.5*x)}
\end{pspicture}

\medskip
		
\item  On considère la fonction $h$ inverse de la fonction $f$. C'est-à-dire la fonction $h$ définie sur  $\R$ par $h(x)=\displaystyle\frac{1}{f(x)}$.
 
\begin{enumerate}
	\item Calculer $h'(3)$
	\item Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction $h$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie pour tout réel $x$ par  $f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2-2x+5}$. On note $C_f$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
	\item Calculer la dérivée de la fonction $f$. Vérifier que $f'(x)=\dfrac{ -2x^2-2x+12}{\left(x^2-2x+5\right) ^2}$
	\item
	\begin{enumerate}
	\item \'Etudier le signe de $f'(x)$ .
	\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C_f$  au point d'abscisse $1$.  
	
	Tracer la tangente $T$ dans le repère ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-15,-4)(18,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(2*x+1)/(x^2-2*x+5)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-4)(18,10)
\psset{xunit=1.2cm,yunit=3.2cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5,-.5)(6,1.25)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,1.25){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=1000,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{6}{\f}
%\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{<->}(0,.25)(2,1.25)
\uput[dl](6,0.62){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\end{pspicture}
\end{center}	
\end{enumerate}

 \bigskip

\exo 

 \medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[ -2 \pi ; 2\pi \right]$ par $f(x) = \sin\left(2x\right) -2 \sin x$

\begin{enumerate}
	\item Montrer que la fonction $f$ est impaire
	\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
		\item On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f'$ sur l'intervalle $\left[0 ; 2\pi \right]$.
		
		\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(7.5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\tiny #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psset{trigLabels=true,tickcolor=darkgray,subtickcolor=darkgray,subticksize =1,tickwidth=0.25pt,subtickwidth=0.25pt,labelFontSize=\tiny}
\psaxes[linewidth=.75pt,trigLabelBase=6,dx=.523599,xunit=\psPi,xticksize=-3 5,yticksize=-2.16667 2.3333,ysubticks=2,labels=none]{-}(0,0)(-2.1667,-3)(2.3333,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,trigLabelBase=3,dx=1.04719755,xunit=\psPi,ticks=none]{->}(0,0)(-2.16667,-3)(2.3333,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[linecolor=prune,linewidth=0.75pt,plotpoints=500]{0}{\psPiTwo}{ x RadtoDeg 2 mul cos 2 mul  x RadtoDeg cos 2 mul sub}
%\psplot[linecolor=bleu,linewidth=1.5pt,plotpoints=1000]{-\psPiTwo}{\psPiTwo}{ x RadtoDeg 2 mul sin   x RadtoDeg sin 2 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Vérifier par le calcul, que l'équation $f'(x) =0$ admet quatre solutions dans l'intervalle $\left[0 ; 2\pi \right]$
	\item \`A l'aide du graphique, donner le signe de $f'(x)$.
\end{enumerate}
 \item Donner le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; 2\pi \right]$
 \item Recopier et compléter le tableau suivant :
 
 	\medskip
 	
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
 $x$  \rule[-4mm]{0pt}{1cm} & 0 & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\pi$ & $\dfrac{4\pi}{3}$ & $\dfrac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\ \hline
 $f(x)$  & & &	 & & & &\\ \hline
 \end{tabularx}
 	
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ -2 \pi ; 2\pi \right]$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
 
 \bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par $f\left( x \right) =  \left( 1-x \right)\left( x^2-2x-11 \right)$. On note $f'$  sa fonction dérivée.
	
	Sa courbe représentative  $\mathcal{C}_{f}$  dans un repère orthogonal du plan est donnée ci-dessous.
\begin{enumerate}
	
\item Calculer $f'(x)$ .
\item Étudier les variations de la fonction $f$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$  au point d'abscisse $1$.

Tracer la tangente $T$ dans le repère ci-dessous.

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(6,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,gridlabels=0](0,0)(-4,-4)(6,4)
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,xticksize=-0.05 0.05,yticksize=-0.05 0.05]{->}(0,0)(-4,-4)(6,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}}
\uput[l](0,1){\footnotesize{5}}
\uput[d](5.8,0){$x$} \uput[l](-0.05,3.8){$y$}
\uput[u](-3.5,3.4){\textcolor{bleu}{\small $C_{f}$}}
\psset{yunit=0.2cm}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-3.5}{5.5}{(1-x)*(x^2-2*x-11)}
\end{pspicture*}
\end{center}
	
\bigskip

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left] 0 ; + \infty \right[$  par $f(x) = ax + b +\dfrac{c}{x}$  où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels. Sa  courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note $f'$  la dérivée de la fonction $f$.\\
La courbe $C_f$  passe par les points $A(1;0)$  et $B(2;1)$. La tangente à la courbe $C_f$  au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.51,-3.51)(13.5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-3.5)(13.5,2)
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.25,-3.5)(6.75,2)
\rput(-0.15,-0.3){\footnotesize{0}}
\uput[d](6.6,-0.2){\footnotesize{$x$}} \uput[l](-.05,1.75){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0.5}{6.75}{5-x-4/x}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1.25,1)(2.75,1)
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8] (1,0)(2,1)
\uput[l](1,0.2){\footnotesize{\bleu {$A$}}} \uput[l](2.1,1.2){\footnotesize{\bleu {$B$}}}\uput[l](6.8,-1.8){\textbf{\bleu{ $C_f$}}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $f'(2)$.
	\item Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $a$, $b$ et $c$.
	\item Calculer $a$, $b$ et $c$ et donner l'écriture de $f(x)$. 
	\item Vérifier que  $f'(x)=\dfrac{4-x^2}{x^2}$. \'Etudier le signe de $f'(x)$, en déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
	\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe au point $A$. Tracer cette droite sur le graphique précédent.
	\item Des trois courbes représentées ci-dessous, quelle est celle qui  est la représentation graphique d'une fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left] 0 ; + \infty \right[$ et ayant pour dérivée la fonction $f$ ?

\medskip
	
	\begin{tabular*}{\linewidth}{@{}c *{2}{c}}
	\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.51,-1.2)(6.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 }
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-1)(6.5,1.5)
	\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(6.5,3)
\rput(-0.2,-0.5){\scriptsize 0}

\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=violet]{0.4}{6.5}{(x-1)*(x-4)/x^1.5}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.51,-1.2)(6.5,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 }
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-1)(6.5,1.5)
	\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(6.5,3)
\rput(-0.2,-0.5){\scriptsize 0}

\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=violet]{0.1}{6.5}{5*x-x^2/2-4*ln(x)-6}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.51,-1.2)(5.01,1.5)
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{violet}{0.5 0 .4 }
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=2,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=darkgray,gridlabels=0](0,0)(-0.5,-1)(5,1.5)
	\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 0pt]{->}(0,0)(-0.5,-2)(5,3)
\rput(-0.2,-0.5){\scriptsize 0}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=violet]{0.2}{4.4}{(x-1)*(4-x)*ln(x)}
\end{pspicture*}\\
\textsf{\small{Courbe 1}} & \textsf{\small{Courbe 2}}  & \textsf{\small{Courbe 3}}  \\
		\end{tabular*}
	\end{enumerate}	
	

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$ une fonction définie définie et dérivable sur l'intervalle $\left] - \dfrac{1}{2}; +\infty \right[$ dont le tableau des variations  est donné ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(10.5,3.2)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(10.5,3.2)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3.2)\psline(1.9,0)(1.9,2.2)\psline(2.1,0)(2.1,2.2)
\rput(0.75,2.7){$x$} \rput(2,2.7){$- \dfrac{1}{2}$} \rput(6,2.7){$2$} \rput(10,2.7){$+ \infty$}
\rput(0.75,1.1){$f(x)$} \rput(2.1,1.8){\rnode{A}{}} \rput(6,.4){\rnode{B}{$6$}} \rput(9.9,1.8){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} 
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.  Déterminer $f'(2)$.
	\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = ax + b +\dfrac{25}{2x+1}$.
	\item On admet que $f$ est la fonction définie  sur l'intervalle $\left] - \dfrac{1}{2}; +\infty \right[$ par $f(x) = 2x -3 +\dfrac{25}{2x+1}$.
	
	Justifier par le calcul les résultats obtenus dans le tableau de variation.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 

 On a tracé ci-dessous, la courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]-2;+\infty\right[$. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-9)(24,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-9)(24,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-3,-4.5)(12,5)
\uput[dl](12,0){$x$} \uput[dl](0,5){$y$}
\uput[dl](0,0){0}
\def\f{x-8+9/(x+2)}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-1.38}{12}{\f}
\uput[d](10,-4){\bleu{$C_f$}}
\end{pspicture}
\end{center}	

\textsf {\textsc{\small{\textbf{partie a}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$
\item  Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f'$ . Déterminer laquelle.


\psset{unit=.75cm} 
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{1-9/(x+2)^2}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(5,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.25}{5}{\f}
\rput(.5,-2.5){\footnotesize{\textsf{Courbe $C_1$}}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.75cm} 
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{9/(x+2)^2-1}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(5,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(5,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-.25}{5}{\f}
\rput(.5,-2.5){\footnotesize{\textsf{Courbe $C_2$}}}
\end{pspicture}\hfill
\psset{unit=.75cm} 
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,2.5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\f{2*(x+1)*(x-2)/(x+4)}
\psgrid[gridwidth=0.2pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(4,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.5pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-2)(4,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{1}}
\uput[dl](4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1pt, linecolor=prune]{-1.65}{3.65}{\f}
\rput(.5,-2.5){\footnotesize{\textsf{Courbe $C_3$}}}
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\textsf {\textsc{\small{\textbf{partie b}}}}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\left]-2;+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2-6x-7}{x+2}$.
\begin{enumerate}
	\item Calculer $f'(x)$.
	\item Donner le tableau complet des variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{document}
