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% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\11 mai 2018}}}
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{{trigonométrie}}}}}}
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde}10}}}
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\makeatletter
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%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
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\newcommand{\act}{
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%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
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%%%% fin macro %%%%

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\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Trigonométrie}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonctions trigonométriques}, 
pdfkeywords={Enroulement de la droite réelle, cercle trigonométrique, sinus, cosinus, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}

\section{repérage sur un cercle}

\subsection{cercle trigonométrique}

\begin{minipage}{12cm} Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij 

Le cercle trigonométrique est le cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon 1 orienté dans le sens direct.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{4.2cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.4,-1.4)(1.4,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}\uput[d](.5,0){\footnotesize{\red $\vv{i}$}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{\red $\vv{j}$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\psarc[linecolor=prune]{->}(0,0){1.2}{30}{60}
\uput[dl](-.75,-.75){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\rput(1,1){\prune +}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsection{enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique}

\begin{minipage}{12cm}

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij 

La droite $\mathcal{D}$ est tangente en $I$ au cercle trigonométrique $\mathcal{C}$.

$A$ est le point de coordonnées $\left( 1 ; 1\right)$. La droite $\mathcal{D}$ est munie du repère $\left( I ; A\right)$.


Par enroulement de la droite réelle $\mathcal{D}$ sur le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ :
\begin{itemize}
\item à tout point de la droite d'abscisse $x$ on peut associer un unique point $M$ du cercle trigonométrique, image du réel $x$ ;
\item tout point $M$ du cercle trigonométrique est l'image d'une infinité de réels. Si le point $M$ est associé à un réel $x$, alors il est associé à tout réel de la forme $x + k \times 2\pi$ où $k$ est un entier relatif.
\end{itemize}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{4.2cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.5)(1.2,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.4,-1.4)(1.4,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{ $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}\uput[d](.5,0){\footnotesize{\red $\vv{i}$}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{\red $\vv{j}$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](1,-1.5)(1,2.8)
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](1,0)(1,2.18)
\psbezier[linewidth=1pt,linestyle=dashed, linecolor=prune,arrowscale=1.5]{->}(1,2.18)(.4,2.18)(-.4,1.8)(-.57242,.819952)
\psarc[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0){1}{124.9} {360}
\psarc[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](0,0){1}{0}{124.92}
\psdot[linecolor=prune](-.57242,.819952)
\psline[linewidth=.75pt](.92,1)(1.08,1)
\uput[dr](1,2.8){\bleu{$\mathcal{D}$}}
\uput[r](1,1){\bleu{$A$}}
\uput[l](1,1){\footnotesize{1}}
\uput[r](1,2.18){$x$}
\uput[ul](-.57,.82){$M$}
\uput[dl](-.75,-.75){\bleu{$\mathcal{C}$}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsection{mesure d'un angle en radian}

\subsubsection{définition}

{\cadreB{
\begin{minipage}{12cm} Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique de centre O, de rayon 1.

Un radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte le cercle $\mathcal{C}$ suivant un arc de longueur 1.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.2cm}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\pswedge[linecolor=rose,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=rose]{.4}{0}{57.2958}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{ $J$}}\uput[d](.5,0){\footnotesize{\red $\vv{i}$}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{\red $\vv{j}$}}
\rput{57.2958}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)\rput[bl]{*0}(1.05,0.05){\prune $M$}}
\uput[r](.3,.2){\footnotesize{\prune{1 rad}}}
\psarc[linecolor=prune]{-}(0,0){.4}{0}{57.2958}
\psarc[linecolor=bleu,linewidth=1pt]{-}(0,0){1}{57.29}{360}
\psarc[linecolor=prune,linewidth=1.25pt]{-}(0,0){1}{0}{57.2958}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
}}
\medskip

\textsf {\textsc{remarque :}}

\medskip

Les mesures en radians et en degrés d'un angle géométrique sont proportionnelles :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Degrés	& $0\degres$	& $30\degres$	& $45\degres$ & $60\degres$ & $90\degres$ & $120\degres$ & $180\degres$ \\ \hline
$x$ en radians \rule[-3ex]{0pt}{7ex}	& 0	& $\dfrac{\pi}{6}$	& $\dfrac{\pi}{4}$	& $\dfrac{\pi}{3}$	& $\dfrac{\pi}{2}$	& $\dfrac{2\pi}{3}$ & $\pi$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsubsection{valeurs remarquables}

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\prune $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\prune $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu,linestyle=solid](0,0){1} 
\psset{linecolor=prune,linewidth=.5pt,linestyle=dashed,labelsep=4pt}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=45+90,\i=1+1}{4}{\cnode*(1;\n){2pt}{A\i}}}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=30+30,\i=1+1}{12}{\cnode*(1;\n){2pt}{B\i}}}
\ncline{A1}{A2}  \ncline{A2}{A3}  \ncline{A3}{A4}  \ncline{A4}{A1}
\ncline{B1}{B5}  \ncline{B5}{B7}  \ncline{B7}{B11}  \ncline{B11}{B1}
\ncline{B2}{B4}  \ncline{B4}{B8} \ncline{B8}{B10} \ncline{B10}{B2} 
\nput{10}{A1}{\footnotesize{$\dfrac{\pi}{4}$}}\nput{170}{A2}{\footnotesize{$\dfrac{3\pi}{4}$}}\nput{-170}{A3}{\footnotesize{$-\dfrac{3\pi}{4}$}}\nput{-10}{A4}{\footnotesize{$-\dfrac{\pi}{4}$}}
\nput{0}{B1}{\footnotesize{$\dfrac{\pi}{6}$}}\nput{180}{B5}{\footnotesize{$\dfrac{5\pi}{6}$}}\nput{-180}{B7}{\footnotesize{$-\dfrac{5\pi}{6}$}}\nput{0}{B11}{\footnotesize{$-\dfrac{\pi}{6}$}}
\nput{25}{B2}{\footnotesize{$\dfrac{\pi}{3}$}}\nput{145}{B4}{\footnotesize{$\dfrac{2\pi}{3}$}}\nput{-105}{B8}{\footnotesize{$-\dfrac{2\pi}{3}$}}\nput{-105}{B10}{\footnotesize{$-\dfrac{\pi}{3}$}}
\uput[ur](0,1){\footnotesize{$\dfrac{\pi}{2}$}}\uput[ul](-1,0){\footnotesize{$\pi$}}\uput[dl](0,-1){\footnotesize{$-\dfrac{\pi}{2}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\section{cosinus et sinus d'un nombre réel}

\subsection{définition}
\begin{minipage}{12cm}
\cadreR{Soit $M$  le point du cercle trigonométrique associé à un réel $x$.

\begin{itemize}
\item Le cosinus du réel $x$, noté $\cos{x}$, est l'abscisse du point $M$.
\item Le sinus du réel $x$, noté $\sin{x}$, est l'ordonnée du point $M$.
\end{itemize}}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.2cm}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=.75pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,.766)(.642,.766)(.642,0)
\uput[ur](.642,.766){\prune $M$}\uput[d](.642,0){$\cos{x}$}\uput[l](0,.766){$\sin{x}$}
\uput[l](1.2,.4){\prune{$x$}}
\psarc[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0){1}{50}{360} 
\psarc[linecolor=prune,linewidth=1.25pt]{->}(0,0){1}{0}{50}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\subsection{propriétés}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Pour tout réel $x$ et pour tout entier relatif $k$, $\cos{\left( x +k\times 2\pi \right)} = \cos{x}$ et $\sin{\left( x +k\times 2\pi \right)} = \sin{x}$
\item Pour tout réel $x$, $-1 \leqslant \cos{x} \leqslant 1$ et $-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1$
\item Pour tout réel $x$, $\cos^2{x} + \sin^2{x} =1$
\end{itemize}
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple :}}}

\medskip

 Sachant que $\sin{x} = - \dfrac{\sqrt{5}}{3}$  avec $-\dfrac{\pi}{2}<x<0$, déterminer la valeur exacte de  $\cos{x}$.
 
 Pour tout réel $x$, $\cos^2{x} + \sin^2{x} =1$ donc $\cos^2{x} + \dfrac{5}{9} =1$, soit $\cos^2{x} = \dfrac{4}{9}$.
 
 Il existe deux valeurs possibles du cosinus :\[\cos{x} =  -\dfrac{2}{3}\qquad\text{ ou }\qquad\cos{x} =  \dfrac{2}{3}\]
 
 Comme  $-\dfrac{\pi}{2}<x<0$, alors $\cos{x} > 0$ donc $\cos{x} =  \dfrac{2}{3}$.

\subsection{valeurs remarquables}

\begin{tabularx}{.6\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$ \rule[-3ex]{0pt}{7ex}	& 0	& $\dfrac{\pi}{6}$	& $\dfrac{\pi}{4}$	& $\dfrac{\pi}{3}$	& $\dfrac{\pi}{2}$	 \\ \hline
$\cos{x}$ \rule[-3ex]{0pt}{7ex}	& 1	& $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	& $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	& $\dfrac{1}{2}$	& 0	 \\ \hline
$\sin{x}$ \rule[-3ex]{0pt}{7ex}	& 0	& $\dfrac{1}{2}$	& $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	& $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	& 1	 \\ \hline
\end{tabularx}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(-.1,-.1)(1.1,1.1)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-.1,-.1)(1.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\psarc[linecolor=bleu,linewidth=1.25pt](0,0){1}{0}{90}
\psset{linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=dashed}
\psline(.866,0)(.866,.5)(0,0.5)\psline(.707,0)(.707,.707)(0,0.707)\psline(0.5,0)(.5,.866)(0,0.866)
\uput[15](.866,.5){\prune $\dfrac{\pi}{6}$}\uput[d](.866,0){\footnotesize{$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{$\dfrac{1}{2}$}}
\uput[30](.707,.707){\prune $\dfrac{\pi}{4}$}\uput[d](.707,0){\footnotesize{$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}}\uput[l](0,.707){\footnotesize{$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$}}
\uput[45](.5,.866){\prune $\dfrac{\pi}{3}$}\uput[d](.5,0){\footnotesize{$\dfrac{1}{2}$}}\uput[l](0,.866){\footnotesize{$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$}}
\uput[ur](0,1){\prune $\dfrac{\pi}{2}$}\uput[l](0,1){\footnotesize{$1$}}\uput[d](1,0){\footnotesize{$1$}}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\subsection{angles associés}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Pour tout réel $x$ :\[\boxed{\begin{aligned} \cos{(-x)}  &=  \cos{x} \\ \sin{(-x)}  &= -\sin{x} \end{aligned}}\] 
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\pswedge[linecolor=rose,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=rose]{.4}{0}{50}
\pswedge[linecolor=grisb,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=grisb]{.4}{-50}{0}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{-50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.642,.766){\prune $M$}\uput[dr](.642,-.766){\prune $N$}
\uput[r](.32,.2){\footnotesize{$x$}}\uput[r](.32,-.2){\footnotesize{$-x$}}
\psarc[linecolor=prune]{->}(0,0){.4}{0}{50}
\psarc[linecolor=bleu]{<-}(0,0){.4}{-50}{0}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,.766)(.642,.766)(.642,-.766)(0,-.766)
\end{pspicture}

$M$ et $N$ sont symétriques par rapport à $\left( OI \right)$ &  Pour tout réel $x$ :\[\boxed{\begin{aligned} \cos{(\pi -x)}  &=  - \cos{x} \\ \sin{(\pi -x)}  &= \sin{x} \end{aligned}}\]
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\pswedge[linecolor=rose,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=rose]{.4}{0}{50}
\pswedge[linecolor=grisb,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=grisb]{.3}{0}{130}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{130}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.642,.766){\prune $M$}\uput[ul](-.642,.766){\prune $N$}
\uput[r](.32,.2){\footnotesize{$x$}}\uput[u](-.05,.3){\footnotesize{$\pi -x$}}
\psarc[linecolor=prune]{->}(0,0){.4}{0}{50}
\psarc[linecolor=bleu]{->}(0,0){.3}{0}{130}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-.642,0)(-.642,.766)(.642,.766)(.642,0)
\end{pspicture}

$M$ et $N$ sont symétriques par rapport à $\left( OJ \right)$ &
Pour tout réel $x$ :\[\boxed{\begin{aligned} \cos{(\pi +x)}  &=  - \cos{x} \\ \sin{(\pi +x)}  &= -\sin{x} \end{aligned}}\]  
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\pswedge[linecolor=rose,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=rose]{.4}{0}{50}
\pswedge[linecolor=grisb,linewidth=.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=grisb]{.3}{0}{230}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{230}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.642,.766){\prune $M$}\uput[dl](-.642,-.766){\prune $N$}
\uput[r](.32,.2){\footnotesize{$x$}}\uput[l](0,.4){\footnotesize{$\pi +x$}}
\psarc[linecolor=prune]{->}(0,0){.4}{0}{50}
\psarc[linecolor=bleu]{->}(0,0){.3}{0}{230}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,.766)(.642,.766)(.642,0)\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-.642,0)(-.642,-.766)(0,-.766)
\end{pspicture} 

$M$ et $N$ sont symétriques par rapport à $O$
\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples :}}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item $\cos{\dfrac{4\pi}{3}} = \cos{\left( \pi +\dfrac{\pi}{3}\right)} = -\cos{\dfrac{\pi}{3}} = -\dfrac{1}{2}$
\item $\sin{\dfrac{3\pi}{4}} = \sin{\left( \pi -\dfrac{\pi}{4}\right)} = \sin{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
\end{enumerate}

\subsection{équations}

\begin{itemize}
\item \textsf{\'Equation} $\cos{x} =\cos{a}$

\begin{minipage}{11.3cm}
\cadreR{Soit $a$ un réel donné. Les solutions dans $\R$ de l'équation \mbox{$\cos{x} =\cos{a}$} sont :$ 
\begin{cases}
 x &= a + k \times 2 \pi\\
x &= -a + k \times 2  \pi
\end{cases}$  où $k$ est un entier relatif.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{-50}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.642,.766){\prune $M(a)$}\uput[dr](.642,-.766){\prune $N(-a)$}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.642,.766)(.642,-.766)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(.642,0)
\uput[d](.33,0){\red $\cos{a}$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\item \textsf{\'Equation} $\sin{x} =\sin{a}$

\begin{minipage}{11.3cm}
\cadreR{Soit $a$ un réel donné. Les solutions dans $\R$ de l'équation \mbox{$\sin{x} =\sin{a}$} sont : $ 
\begin{cases}
 x &= a + k \times 2  \pi\\
x &=\pi -a + k \times 2  \pi
\end{cases}$ où $k$ est un entier relatif.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{40}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{140}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[ur](.766,.642){\prune $M(a)$}\uput[ul](-.7,.642){\prune $N (\pi -a)$}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-.766,.642)(.766,.642)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(0,.642)
\uput[l](0,.321){\red $\sin{a}$}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}
\end{itemize}

\textsf{\textsc{\small{exemples :}}}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $\cos{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 

Comme $\cos{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ l'équation est équivalente à l'équation $\cos{x} = \cos{\dfrac{\pi}{6}}$

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{30}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{-30}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[r](.866,.5){\prune $\dfrac{\pi}{6}$}\uput[r](.866,-.5){\prune $-\dfrac{\pi}{6}$}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](.866,.5)(.866,-.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(.866,0)
\rput(.433,-.15){\footnotesize{\red $\cos{\dfrac{\pi}{6}}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les solutions  dans $\R$ de l'équation $\cos{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont $x = \dfrac{\pi}{6} + k \times 2  \pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{6} + k \times 2  \pi$ avec $k$ entier relatif.
\item Résoudre dans $\R$ l'équation  $\sin{x} = \sin{\dfrac{7\pi}{10}}$.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{rose}{.95 .8 .9}
\newrgbcolor{grisb}{.85 .85 .9}
\psaxes[linewidth=.75pt,labels=none,ticks=none]{-}(0,0)(-1.2,-1.1)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}\uput[dr](1,0){\footnotesize{\bleu $I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{\bleu $J$}}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\rput{126}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\rput{54}{\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](0,0)(1,0)}
\uput[u](-.59,.809){\prune $\dfrac{7\pi}{10}$}\uput[u](.59,.809){\prune $\pi-\dfrac{7\pi}{10}$}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-.587,.809)(.587,.809)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(0,.809,0)
\uput[l](0,.4){\footnotesize{\red $\sin{\dfrac{7\pi}{10}}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Les solutions  dans $\R$ de l'équation $\sin{x} =\sin{\dfrac{7\pi}{10}}$ sont $x = \dfrac{7\pi}{10} + k \times 2  \pi$ ou $x = \dfrac{3\pi}{10} + k \times 2  \pi$ avec $k$ entier relatif.

\end{enumerate}



\newpage



\addcontentsline{toc}{section}{Exercices}

\exo 

 \medskip
 
 \begin{enumerate}
 \item Convertir en radians les mesures d'angle géométriques donnés en degrés :
 \begin{enumerate}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{@{}X}}
\item $210^\circ$	& \item $5^\circ$	& \item $198^\circ$ & \item $315^\circ$ & \item $72^\circ$ & \item $40^\circ$
\end{tabularx}
 \end{enumerate}
 \item Convertir en degrés les mesures des angles géométriques donnés en radians :
 \begin{enumerate}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{@{}X}}
\item $\dfrac{\pi}{9}$	& \item $\dfrac{5\pi}{6}$ & \item $\dfrac{7\pi}{12}$ & \item $\dfrac{9\pi}{5}$ & \item $\dfrac{14\pi}{9}$ & \item $\dfrac{72\pi}{45}$
\end{tabularx}
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
 
 \exo
 
 \medskip
 
 Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel $x \in \left] - \pi ; \pi\right]$ dont l'image par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique coïncide avec le point image du réel donné. 
 
 \begin{enumerate}
 \setdefaultenum {a) }{} {}{}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{6}{@{}X}}
\item $\dfrac{41\pi}{6}$	& \item $-\dfrac{15\pi}{2}$ & \item $13\pi$ & \item $-\dfrac{10\pi}{3}$ & \item $-35\pi$ & \item $\dfrac{52\pi}{9}$
\end{tabularx}
 \end{enumerate}
 
 \bigskip
 
\exo 

 \medskip

Le pentagone $ABCDE$ est inscrit dans le cercle trigonométrique $\mathcal{C}$.
 	\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.4,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.4,1.3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.4,0){$x$} \uput[dl](0,1.3){$y$}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=0+72,\i=1+1}{5}{\pnode(1;\n){S\i}}}
\ncline{S1}{S2}  \ncline{S2}{S3}  \ncline{S3}{S4}  \ncline{S4}{S5} \ncline{S5}{S1}
\nput[labelsep=6pt]{72}{S2}{$A$}\nput[labelsep=6pt]{154}{S3}{$B$}\nput[labelsep=6pt]{216}{S4}{$C$}\nput[labelsep=6pt]{-72}{S5}{$D$}\nput[labelsep=6pt]{-54}{S1}{$E$}
\pscircle[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0){1.015} 
\end{pspicture}
	\end{center} 
	
	À quels réels de l'intervalle $]-\pi ; \pi ]$  sont associés les sommets de ce pentagone ?
	
\bigskip

\exo 

\begin{minipage}{11cm}
Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé $\left( \mathrm{O}; I, J\right)$, on a tracé le polygone régulier étoilé $ABCDEFGHI$.
\begin{enumerate}
	 \item À quels réels de l'intervalle $]-\pi ; \pi ]$  sont associés les sommets de ce polygone ?	
	\item  Donner les coordonnées des points $C$ et $F$.
	\item  Les points $A$ et $H$ ont-ils la même abscisse ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{5.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.4,1.4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.4,1.4)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](1,0){\footnotesize{$I$}}\uput[ul](0,1){\footnotesize{$J$}}
\uput[dl](1.4,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psset{linewidth=1pt, linecolor=prune}
\rput{0}(0,0){\multido{\n=0+40,\i=1+1}{9}{\pnode(1;\n){S\i}}}
\ncline{S1}{S5}  \ncline{S2}{S6}  \ncline{S3}{S7}  \ncline{S4}{S8} \ncline{S5}{S9} \ncline{S6}{S1}  \ncline{S7}{S2}  \ncline{S8}{S3}  \ncline{S9}{S4}  \nput[labelsep=6pt]{40}{S2}{$G$}\nput[labelsep=6pt]{80}{S3}{$E$}\nput[labelsep=6pt]{120}{S4}{$C$}\nput[labelsep=6pt]{160}{S5}{$A$}\nput[labelsep=6pt]{200}{S6}{$H$}\nput[labelsep=6pt]{240}{S7}{$F$}\nput[labelsep=6pt]{280}{S8}{$D$}\nput[labelsep=6pt]{320}{S9}{$B$}
\pscircle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0){1} 
\end{pspicture}
	\end{flushright}
	\end{minipage}

\exo 

\begin{minipage}{10.5cm}
	\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item  Placer sur le cercle trigonométrique les points $A$, $B$, $C$ et $D$ repérés respectivement par les réels $\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$, $\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$, $\dfrac{2\pi}{3}$   et $\dfrac{3\pi}{4}$.
		\item 	Donner les coordonnées des quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$.
\end{enumerate}

\item  $M$ est un point du  cercle trigonométrique tel que la mesure en radians de l'angle  $\widehat{IOM} = \alpha$ avec \mbox{$\alpha \in \left] 0; \dfrac{\pi}{2} \right[$}.

Placer sur le cercle trigonométrique les points $M_1$ et $M_2$ tels que $\widehat{IOM_{1}}  = \dfrac{\pi}{2}+\alpha$ et  $\widehat{IOM_{2}} = \pi -\alpha$.

	
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill \begin{minipage}{6.5cm}
\begin{flushright}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-7)(7,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\degrees[360]
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-7)(7,7)
\psset{unit=2.4cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.167,-1.167)(1.167,1.167)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$O$}}
\uput[dr](1,0){\bleu{\footnotesize{$I$}}}
\uput[dl](0,1){\bleu{\footnotesize{$J$}}}
\pscircle[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0){1}
\SpecialCoor
 \pnode(1;18){M}\uput[18](M){\prune{\footnotesize{$M$}}} 
 \psline[linecolor=prune,linewidth=1.5pt](M)
 \psarc[linecolor=prune,linewidth=0.5pt]{->}(0,0){.4}{0}{18}
\uput{.45}[9](0,0){\prune{\footnotesize{$\alpha$}}}
\end{pspicture}
\end{flushright}
	\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item \begin{enumerate} \item On donne $\sin{\left(\dfrac{\pi}{10}\right)}= \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$.  Donner la valeur exacte de $\sin{\left(-\dfrac{9\pi}{10}\right)}$.	
	\item Calculer  $\cos{\left(\dfrac{\pi}{10}\right)}$.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
 
\exo

\medskip

Connaissant la valeur de $\cos{x}$ ou de $\sin{x}$ sur l'intervalle donné, déterminer la valeur du sinus ou du cosinus du réel $x$ correspondant :

$\sin{x} = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $x\in \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$ ; \hfill   $\cos{x} =- \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $x\in \left[0 ; \pi \right]$ ; \hfill   $\sin{x} = \dfrac{1}{2}$ et $x\in \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right]$.   

$\cos{x} = -\dfrac{1}{2}$ et $x\in \left[-\pi ; 0\right]$ ; \hfill $\cos{x}= \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ et $x\in \left[ -\dfrac{\pi}{2}; 0 \right ]$; \hfill   $\sin{x} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ et $x\in \left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi \right]$ .

\bigskip

\exo

\medskip

Simplifier chacune des expressions suivantes :

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item $A =\cos{\left(\pi - x\right)} +2 \cos{x} - 3\cos{\left(\pi + x\right)}$
	\item $B =\sin{\left(2\pi - x\right)} -2 \sin{\left(\pi + x\right)} + 3\sin{\left(x -\pi \right)}$
	\item $C =\cos{\left( - x\right)} -2 \cos{\left(3\pi - x\right)} + 2\cos{\left(x +\pi \right)}$
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
	\item $D =\left(1+ \cos{t} + \sin{t} \right) ^2 -2\left(1+ \cos{t}  \right)\left(1+ \sin{t}  \right)$
	\item $E = \cos^4{t} - \sin^4{t} +2\sin^2{t}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \bigskip 

 \exo 

 \medskip  

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle  $\left ]-\pi; \pi \right ]$.  

 $\cos{x} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ; \hfill  $\sin{x} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; \hfill $1+2 \cos{x} =0$ ; \hfill $1-2 \sin{x} =0$.

 \bigskip 

\exo

\medskip

Résoudre les équations suivantes :

$\cos{x} = \cos{\dfrac{2\pi}{3}}$ ; \hfill   $\sin{x} = \sin{\dfrac{3\pi}{4}}$ ; \hfill   $\sin{x} = \sin{\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)}$ ; \hfill   $\cos{x} = \cos{\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)}$.

\bigskip

\exo

\medskip

 On donne $\cos{\dfrac{\pi}{5}} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer la valeur exacte de $\sin{\dfrac{\pi}{5}}$.
\item En déduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus de $-\dfrac{\pi}{5}$ ; $\dfrac{4\pi}{5}$ et $-\dfrac{4\pi}{5}$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Calculer $\cos{x}$ sachant que $\sin{x} = \dfrac{3}{5}$ et $x \in \left ] \dfrac{\pi}{2}; \pi \right ]$.
\item Résoudre dans l'intervalle  $\left ]-\pi; \pi \right ]$ l'équation $2\cos^2{x} - 1 =0$.
\end{enumerate} 

 \bigskip
  
 \exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $X^2-X -\dfrac{3}{4}=0$.
	\item En déduire les solutions dans l'intervalle  $\left ]-\pi; \pi \right ]$ de l'équation $\sin^2{x}- \sin{x} -\dfrac{3}{4}=0$.
\end{enumerate}

\pagebreak

\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2x^2-3x -2=0$.
	\item En déduire les solutions de l'équation : $2 \cos^2{x}-3 \cos{x} -2=0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 
 
 Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique, $A$ le point du cercle trigonométrique image du réel $\dfrac{\pi}{4}$ et $I$ le point de coordonnées $( 1 ; 0)$. 
 	\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.1)(1.4,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.4,1.4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.4,0){$x$} \uput[dl](0,1.4){$y$}
\pscircle[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0){1.015} 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(.707,.707)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(.707,.707)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=prune](1,0)(.707,.707)
\uput[dr](1,0){$I$}\uput[ur](.707,.707){$A$} 
\end{pspicture}
	\end{center} 
	\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées du point $A$. 
	\item Calculer distance $IA$. 
	\item Montrer que $IA= 2 \times \sin{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$. (\emph{On pourra utiliser le point $M$ milieu du segment $[IA]$.})
	\item En déduire la valeur exacte de $\sin{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$.
	\item Déterminer alors $\cos{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$, $\cos{\left( \dfrac{7\pi}{8}\right)}$ et $\sin{\left( \dfrac{7\pi}{8}\right)}$.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate} \item  En reproduisant la méthode précédente pour calculer $\sin{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$, calculer $\sin{\left( \dfrac{\pi}{12}\right)}$.
	\item En déduire $\cos{\left( \dfrac{\pi}{12}\right)}$, $\cos{\left( \dfrac{11\pi}{12}\right)}$, $\cos{\left( \dfrac{13\pi}{12}\right)}$, $\sin{\left( \dfrac{11\pi}{12}\right)}$ et $\sin{\left( \dfrac{13\pi}{12}\right)}$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 
 
 Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij , $M$ est un point du cercle trigonométrique $\mathcal{C}$ et $I$ le point de coordonnées $( 1 ; 0)$. 
 	\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-.3)(1.4,1.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vert}{.18 .54 .34}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-.3)(1.4,1.3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](1.4,0){$x$} \uput[dl](0,1.3){$y$}
\psarc[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0){1}{-15}{195} 
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1,0)(.54,.841)(0,0)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=bleu, linestyle=dashed](.54,.841)(.54,0)
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=prune](.54,.841)
\psarc[linecolor=vert,arcsep=1pt](-1,0){.3}{0}{28.65}\psarc[linecolor=vert,arcsep=1pt](0,0){.24}{0}{57.29}\psarc[linecolor=vert,arcsep=1pt](0,0){.28}{0}{57.29}
\uput[dr](1,0){$I$}\uput[dl](-1,0){$N$}\uput[ur](.54,.841){$M$} \uput[d](.54,0){$H$} 
\end{pspicture}
	\end{center} 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\widehat{IOM}=2\widehat{INM}$
	\item Soit $x$ le réel dont $M$ est l'image par enroulement de la droite réelle sur le cercle $\mathcal{C}$. 
	\begin{enumerate}
	\item Montrer que  $MN^2= 2\cos{x}+2$.	
	\item En considérant le triangle rectangle $MHN$, montrer que $\cos^2{\left(\dfrac{x}{2}\right)}=\dfrac{1+\cos{x}}{2}$.
	\end{enumerate}
	\item Application :
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer la valeur de $\cos{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$ puis en déduire la valeur de  $\sin{\left( \dfrac{\pi}{8}\right)}$.
	\item Déterminer la valeur de $\cos{\left( \dfrac{\pi}{12}\right)}$ puis en déduire la valeur de $\sin{\left( \dfrac{\pi}{12}\right)}$.
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}	
	
	\bigskip
	
	\exo 

 \medskip 
 
 Dans la figure ci-dessous, on considère le demi-cercle de rayon 5 cm. 
 	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-.5)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\pswedge*[linewidth=1pt,linecolor=grisb](0,0){5}{0}{30}
\pswedge*[linewidth=1pt,linecolor=grisb](0,0){5}{150}{180}
\psarc[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0){1.4}{0}{30}
\psarc[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0){1.4}{150}{180}
\pspolygon[linewidth=1pt,linecolor=grisb,fillstyle=solid,fillcolor=grisb](0,0)(4.33,2.5)(-4.33,2.5)(0,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](4.33,2.5)(-4.33,2.5)
\pspolygon[linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](-4.33,2.5)(0,0)(4.33,2.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](-5,0)(5,0)
\psarc[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,0){5}{0}{180}
\uput[dl](-5,0){$A$}\uput[d](0,0){O}\uput[dr](5,0){$B$}\uput[ur](4.33,2.5){$C$}\uput[ul](-4.33,2.5){$D$}
\uput[r](1.4,.6){\footnotesize{$30^\circ$}}\uput[l](-1.4,.6){\footnotesize{$30^\circ$}}
\end{pspicture}
	\end{center} 
	
	Comparer l'aire située sous la corde $DC$ et l'aire de la partie du demi-cercle située au dessus de la corde $DC$.
	
\bigskip
	
	\exo 

 \medskip 
 	
 	Pour tout entier $n$ non nul on considère le réel $a_n = n \sin{\left( \dfrac{\pi}{n}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{n}\right)}$
 	\begin{enumerate}
 	\item Calculer  $a_1 = \sin{\left(\pi\right)}\cos{\left(\pi\right)}$,  $a_2 = 2 \sin{\left( \dfrac{\pi}{2}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{2}\right)}$,  $a_3 = 3 \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{3}\right)}$, $a_4 = 4 \sin{\left( \dfrac{\pi}{4}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{4}\right)}$ et  \mbox{$a_6 = 6 \sin{\left( \dfrac{\pi}{6}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{6}\right)}$}.
 	\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée des réels  suivants :
 	
 	$a_{100} = 100 \sin{\left( \dfrac{\pi}{100}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{100}\right)}$,  $a_{500} = 500 \sin{\left( \dfrac{\pi}{500}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{500}\right)}$ et  $a_{1000} = 1000 \sin{\left( \dfrac{\pi}{1000}\right)}\cos{\left( \dfrac{\pi}{1000}\right)}$.
 	\item \begin{enumerate}
 	\item Emettre une conjecture sur la valeur de $a_n$ quand $n$ devient de plus en plus grand.
 	\item On considère l'algorithme ci-dessous :
 	
 	\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=.8em]{
\begin{minipage}{.3\linewidth}

$N \leftarrow 1$

$A \leftarrow \sin{\left(\pi\right)}\times\cos{\left(\pi\right)}$

Tant que $\pi - A \geqslant 10^{-4}$

\begin{itemize}
\item[] $N \leftarrow N+1$
\item[] $A \leftarrow N\times \sin{\left( \dfrac{\pi}{N}\right)}\times\cos{\left( \dfrac{\pi}{N}\right)}$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center} 

Donner une interprétation de la valeur de la variable $N$ calculée par cet algorithme.
 	\end{enumerate}
 	\end{enumerate}
	
\end{document}