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%

\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 06 novembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{vecteurs du plan}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10}}}%droit
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\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
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\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\exo}{
  \refstepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
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\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
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%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
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\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}
   
\hypersetup{
pdftitle={Vecteurs.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={vecteurs du plan.}, 
pdfkeywords={vecteurs,somme, colinéarité, coordonnées,  cours, exercices.},
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}

\begin{document}

\section{notion de vecteur}

\subsection{parallélogramme}

\subsubsection{définition}

\cadreR{Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](2,2.5)(5,1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(7,3.5)
\rput{-40}(2.75,2.125){\prune{||}}\rput{-40}(4.25,1.375){\prune{||}}
\rput{45}(1.5,0.8){\prune{|}}\rput{45}(5.25,2.65){\prune{|}}
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=bleu}
\pspolygon(2,2.5)(0,0)(5,1)(7,3.5)
\uput[ul](2,2.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[ur](7,3.5){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
 \uput[d](3.5,1.75){\prune{\footnotesize{$O$}}}
\psline{|-|}(7,2)(15,1)
\psline{|-|}(9,1.75)(13,1.25)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](10.97,1.35)(11.03,1.65)
\uput[d](7,2){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[d](9,1.75){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[d](15,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[d](13,1.25){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
 \uput[d](11,1.5){\prune{\footnotesize{$O$}}}
 \rput(11,0.5){parallélogramme aplati}
  \end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{propriétés}

\begin{itemize}
\item Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si $(AB) // (DC)$ et $(AD) // (BC)$.
\item Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.
\end{itemize}

\medskip

 \textsf{\textsc{{remarque}}}
 
 \medskip
 
Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](2,2.5)(5,1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(7,3.5)
\psset{linewidth=1.25pt,linecolor=bleu}
\pspolygon(0,0)(2,2.5)(5,1)(7,3.5)
\uput[ul](2,2.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize{$D$}}}\uput[ur](7,3.5){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

Dans le quadrilatère $ABCD$ nous avons $(AB) // (CD)$ et $AB=CD$, pourtant $ABCD$ n'est pas un parallélogramme.
 
\subsection{sens et direction}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48} 
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-10,-2)(6,6)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](-3,-2)(13,6)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](1,-2)(17,6) 
\psline[linewidth=2pt,linecolor=prune]{->}(3.5,3)(7.5,5) 
\psline[linewidth=2pt,linecolor=prune]{->}(1.5,2)(-2.5,0)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu](-1.1,-.8)(-.9,-1.2)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu](10.9,5.2)(11.1,4.8)
 \uput[d](-1,-1){\bleu{\footnotesize{$A$}}}
 \uput[d](11,5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu'elles ont même direction.
\item Une direction étant indiquée par la donnée d'une droite $\left( {AB} \right)$, il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit de $A$ vers $B$, soit de $B$ vers $A$.
\end{itemize}

\subsection{translation}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(22,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \fig#1#2#3#4#5#6#7{
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=#1](0,0)(0,4)(3,4)(3,2)(5,0)
\uput[ul](0,4){\textcolor{#1}{\footnotesize{#2}}}
\uput[ur](3,4){\textcolor{#1}{\footnotesize{#3}}}
\uput[r](3,2){\textcolor{#1}{\footnotesize{#4}}}
\uput[dr](5,0){\textcolor{#1}{\footnotesize{#5}}}
\uput[dl](0,0){\textcolor{#1}{\footnotesize{#6}}}
\rput(1.5,2){\textcolor{#1}{\pscirclebox[linecolor=#1]{\footnotesize{#7}}}}
}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,10)
\rput(3,1){\fig{bleu}{$A$}{$M$}{$N$}{$P$}{$Q$}{$\mathcal{F}_1$}}
\rput(13,5){\fig{prune}{$B$}{$R$}{$S$}{$T$}{$U$}{$\mathcal{F}_2$}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(3,5)(13,9)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(6,3)(16,7)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(8,1)(18,5)
  \end{pspicture}
\end{center}

Le glissement qui permet d'obtenir la figure $\mathcal{F}_2$ à partir de la figure $\mathcal{F}_1$ peut être décrit de façon précise par trois caractères :

\begin{itemize}
\item la \emph{direction} du glissement est donnée par la droite $\left( {AB} \right)$ ;
\item le \emph{sens} du glissement est celui de $A$ vers $B$ ;
\item la \emph{distance} du glissement est égale à la longueur du segment $\left[ {AB} \right]$.
\end{itemize}

On dit que la figure $\mathcal{F}_2$ est l'image de la figure $\mathcal{F}_1$ par la translation de vecteur $\vv{AB}$.

\medskip

 \textsf{\textsc{{remarque}}}%
 
 \medskip
Les vecteur $\vv{NS}$ et $\vv{PT}$ sont aussi des vecteurs  de la translation de vecteur $\vv{AB}$, on dit qu'ils sont égaux. On note alors :\[ \vv{AB}=\vv{NS} = \vv{PT} \]

\subsubsection{définition}
 
  \cadreR{Soient $A$ et $B$ deux points du plan.
  
  La translation qui transforme $A$ en $B$ associe à tout point $C$ du plan, l'unique point $D$ tel que les segments $[AD]$ et $[BC]$ aient le même milieu.
  
  Cette translation est la translation de vecteur $\vv{AB}$.
  
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(15.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
 \rput(3.5,3.75){Cas général}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](2,2.5)(5,1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](0,0)(7,3.5)
\rput{-40}(2.75,2.125){\prune{||}}\rput{-40}(4.25,1.375){\prune{||}}
\rput{45}(1.5,0.8){\prune{|}}\rput{45}(5.25,2.65){\prune{|}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(2,2.5)(7,3.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(5,1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](2,2.5)(0,0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](7,3.5)(5,1)
\uput[ul](2,2.5){\prune{\footnotesize{$A$}}} \uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize{$D$}}}\uput[ur](7,3.5){\prune{\footnotesize{$B$}}}
 \uput[d](3.5,1.75){\prune{\footnotesize{$O$}}}
  \rput(3.5,-.5){$ABDC$ est un parallélogramme}
   \rput(11.5,3.75){Cas particuler où $A$, $B$ et $C$ sont alignés}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](11.45,1.7)(11.55,1.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune](7.5,0)(15.5,3.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(7.5,0)(10.5,1.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(12.5,2)(15.5,3.2)
\uput[d](7.5,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[d](10.5,1.2){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[d](12.5,2){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[d](15.5,3.2){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
 \uput[d](11.5,1.6){\prune{\footnotesize{$O$}}}
 \rput(11.5,-.5){$ABDC$ est un parallélogramme aplati}
  \end{pspicture}
\end{center} 
  }
\section{vecteurs}

  \cadreB{
 Un couple $(A,B)$ de points du plan détermine un vecteur. $A$ est l'origine du vecteur et $B$ est son extrémité.  On le note $\vv{AB}$.
}
  
\subsection{égalité de deux vecteurs}

  \cadreB{
 Deux vecteurs  sont égaux s'ils sont associés à la même translation.
}
 
 \subsubsection{définition}
 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](2,2.5)(5,1)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](0,0)(7,3.5)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0,0)(5,1)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](2,2.5)(7,3.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(2,2.5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=bleu]{->}(5,1)(7,3.5)
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[ul](2,2.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[ur](7,3.5){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

\medskip

 \cadreR{$A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :
 
   \begin{itemize}
   \item $\vv{AB}=\vv{CD}$ si, et seulement si,  $D$ est l'image du point $C$ par la translation de vecteur $\vv{AB}$.
   \item $\vv{AB}=\vv{CD}$ si, et seulement si,  les segments $[AD]$   et $[BC]$  ont le même milieu.
   \item $\vv{AB}=\vv{CD}$ si, et seulement si,  $ABDC$  est un parallélogramme.
  \end{itemize}}

 \medskip

 \textsf{\textsc{{exemple : les trois parallélogrammes}}}%
 
 \medskip
 
 $ABCD$ et $ABEF$ sont deux parallélogrammes. Montrons que $DCEF$ est un parallélogramme.
 
  \medskip
  
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(12.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](4,4)(9,3.5)(12.5,1)(7.5,1.5)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune](4,4)(0,0.5)(5,0)(9,3.5)
\uput[u](4,4){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[u](9,3.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[d](12.5,1){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[d](7.5,1.5){\bleu{\footnotesize{$D$}}}
\uput[d](5,0){\prune{\footnotesize{$E$}}} \uput[d](0,0.5){\prune{\footnotesize{$F$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

\medskip

\begin{itemize}
   \item $ABCD$ est un parallélogramme alors, $\vv{AB}=\vv{DC}$.
   \item $ABEF$ est un parallélogramme alors, $\vv{AB}=\vv{FE}$.
\end{itemize}

Par conséquent, $\vv{DC}=\vv{FE}$  donc le quadrilatère $DCEF$ est un parallélogramme.

\subsection{représentation d'un vecteur}

Devant des égalités du type $\vv{AB}=\vv{DC}=\vv{FE}= \cdots$, on dit que les vecteurs $\vv{AB}$, $\vv{DC}$, $\vv{FE}$, \dots sont des représentants du vecteur $\vv{u}$ : \[\vv{u}=\vv{AB}=\vv{DC}=\vv{FE}= \cdots\]
Le vecteur $\vv{AA}=\vv{BB}= \cdots$ est appelé le vecteur nul, noté $\vv{0}$.

\medskip

\cadreR{ Soit $\mathrm{O}$ un point du plan. Pour tout vecteur  $\vv{u}$, il existe un un point $M$ unique tel que  $\vv{u}=\vv{OM}$.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(10,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u#1{
\pcline[linewidth=2pt,linecolor=#1]{->}(0,0)(4,1.6)
}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{|-|}(2,.6)(6,2.2)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=bleu](0,-.2)(10,3.8)
\rput(3,2.2){\u{prune}\aput{:U}{\prune{\footnotesize{$\vv{u}$}}}} \rput(2,.6){\u{bleu}\bput{:U}{\bleu{\footnotesize{$\vv{OM}$}}}}
 \uput[d](2,.6){\bleu{\footnotesize{$O$}}}
 \uput[d](6,2.2){\bleu{\footnotesize{$M$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
 
 Si $\vv{u}$ n'est pas le vecteur nul, les points $O$ et $M$ sont distincts. Le vecteur $\vv{u}$ est caractérisé par :
 
 \begin{itemize}
 \item Sa direction : c'est celle de la droite $\left( {OM} \right)$.
 \item Son sens : c'est le sens de $O$ vers $M$.
 \item Sa norme notée $\left\| \vv{u} \right\|$ : c'est la distance $OM$.
 \end{itemize}
 
\section{addition vectorielle}

\subsection{somme de deux vecteurs}

 Soit trois points $A$, $B$ et $C$.
 
 Si on applique la translation de vecteur $\vv{AB}$ suivie de la translation de vecteur $\vv{BC}$, on obtient la translation de vecteur $\vv{AC}$.
 
 Le vecteur $\vv{AC}$ est la somme des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{BC}$

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(2,2.5)
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(2,2.5)(7,1.5)
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(7,1.5)\nbput[nrot=:U]{\prune{$\vv{AC}=\vv{AB}+\vv{BC}$}}
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[u](2,2.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[dr](7,1.5){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

\subsubsection{relation de Chasles}

\cadreR{Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ on a :
   \[\vv{AB}+\vv{BC}=\vv{AC}\]}
   
   \subsubsection{règle du parallélogramme}

\cadreR{La somme $\vv{OA}+\vv{OB}$ est le vecteur $\vv{OM}$ tel que $OAMB$ est un parallélogramme.}

 \subsubsection{construction de la somme de deux vecteurs}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(5,0.5)\nbput{\bleu{$\vv{u}$}}
}
\def \v{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(1.5,2.5)
}
\def \uv{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(6.5,3)\naput[nrot=:U]{\prune{$\vv{u}+\vv{v}$}}
}
\rput(3.25,3.5){\psframebox[framearc=.5]{\textsf{\small{Relation de Chasles}}}}
\rput(0,0){\u} \rput(5,0.5){\v\bput{:U}{\bleu{$\vv{v}$}}} \rput(0,0){\uv} 
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[dr](5,.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ur](6.5,3){\bleu{\footnotesize{$C$}}}
 \rput(11.75,3.5){\psframebox[framearc=.5]{\textsf{\small{Règle du parallélogramme}}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](13.5,0.5)(15,3)(10,2.5)
\rput(8.5,0){\u} \rput(8.5,0){\v\aput{:U}{\bleu{$\vv{v}$}}} \rput(8.5,0){\uv}
\uput[dl](8.5,0){\bleu{\footnotesize{$O$}}} \uput[dr](13.5,.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ul](10,2.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}\uput[ur](15,3){\prune{\footnotesize{$M$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}


\subsubsection{propriétés algébriques}

\cadreR{Quels que soient les vecteurs $\vv{u}$, $\vv{v}$ et $\vv{w}$


$\vv{u}+\vv{v} = \vv{v}+\vv{u}$ ; \hfill $\vv{u}+\vv{0} = \vv{0}+\vv{u} = \vv{u}$ ; \hfill $\left( \vv{u}+\vv{v} \right)+\vv{w} = \vv{u}+\left( \vv{u}+\vv{w}\right)$
}
\subsection{différence de deux vecteurs}

\subsubsection{opposé d'un vecteur}

\cadreR{L'opposé d'un vecteur $\vv{u}$ est le vecteur noté $\left(-\vv{u}\right)$ tel que  $\vv{u}+\left(-\vv{u}\right)=\vv{0}$.
}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(2.5,1.5)
}
\rput(0,0){\u\Aput{\bleu{$\vv{u}$}}} \rput{180}(6,2){\u\aput{-180}{\bleu{$-\vv{u}$}}}
  \end{pspicture}  
\end{center}

 \textsf{\textsc{{conséquence}}}%
 
 \medskip
 
\cadreR{L'opposé du vecteur $\vv{AB}$ est le vecteur $\vv{BA}$ : $-\vv{AB}=\vv{BA}$}

\preuve

D'après la relation de Chasles :
$\vv{AB}+\vv{BA}=\vv{AA}=\vv{0}$

\subsubsection{définition}

\cadreR{\'Etant donné deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ la différence $\vv{u}-\vv{v}$ est le vecteur  $\vv{u}+\left(-\vv{v}\right)$.
}

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(6.5,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .5 .2}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(5,0.5)\nbput{\bleu{$\vv{u}$}}
}
\def \v#1{
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=#1]{->}(0,0)(1.5,2.5)
}

\def \umv{
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(3.5,-2)\naput[nrot=:U]{\prune{$\vv{u}-\vv{v}$}}
}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=vertf,linestyle=dashed](0,-2.5)(5,-2)(6.5,0.5)
\rput(1.5,0){\u} \rput(1.5,0){\v{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{v}$}}} \rput{-180}(1.5,0){\v{vertf}\bput{:D}{\vertf{$-\vv{v}$}}}\rput(3,2.5){\umv}
\rput(1.5,0){\umv} 
\uput[l](1.5,0){\bleu{\footnotesize{$A$}}} \uput[r](6.5,.5){\bleu{\footnotesize{$C$}}}\uput[ul](3,2.5){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[dl](0,-2.5){\vertf{\footnotesize{$M$}}}\uput[dr](5,-2){\vertf{\footnotesize{$N$}}}
%\rput(3.25,-3){Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$, $\vv{BC}=\vv{AC}-\vv{AB}$}
  \end{pspicture}
    
Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$, $\vv{BC}=\vv{AC}-\vv{AB}$
\end{center}

\section{multiplication d'un vecteur par un réel}

\subsection{produit d'un vecteur par un réel $k$}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(22,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\def \u#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(12,3)
}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,9)
\rput(8,4){\u{1.5pt}{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{u}$}}}
\rput(10,7){\scalebox{-0.666}{\u{2.25pt}{vertf}\bput{:D}{\scalebox{1.5}{\vertf{$-\dfrac{2}{3}\vv{u}$}}}}}
\rput(4,1){\scalebox{1.25}{\u{1.2pt}{prune}\bput{:U}{\scalebox{.8}{\prune{$\dfrac{5}{4}\vv{u}$}}}}}
  \end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{définition}

\cadreR{Soit $\vv{u}$ un vecteur non nul ($\vv{u}\ne \vv{0}$) et $k$ un réel non nul ($k\ne0$).

Le produit du vecteur $\vv{u}$ par le réel $k$, noté $k\vv{u}$ est le vecteur caractérisé par :
\begin{itemize}
\item sa direction : $k\vv{u}$ a la même direction que le vecteur $\vv{u}$ ;
\end{itemize}
\begin{tabularx}{\linewidth-2em}{X|X}
\begin{center}
\psframebox[framearc=0.5]{Cas où $k >0$} 
\end{center}&\begin{center}
\psframebox[framearc=0.5]{Cas où $k <0$} 
\end{center}\\
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(2.8,.7)
}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{|-|}(0.8,0.2)(3.6,.9)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{-|}(3.6,.9)(5.28,1.32)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](0,0)(6,1.5)
\rput(.8,0.2){\scalebox{1.6}{\u{.9pt}{prune}\bput{:U}{\scalebox{.625}{\prune{$\vv{OM}=k\vv{u}$}}}}}
\rput(.8,.2){\u{1.5pt}{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{OA}=\vv{u}$}}}
\uput[d](.8,0.2){\footnotesize{\bleu $O$}}\uput[d](3.6,.9){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[d](5.28,1.32){\footnotesize{\prune $M$}}
  \end{pspicture}
\end{center}&\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,1.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \u#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(2.8,.7)
}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{|-|}(2.8,.7)(5.6,1.4)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{-|}(2.8,.7)(.56,.14)
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](0,0)(6,1.5)
\rput(2.8,0.7){\scalebox{-.8}{\u{1.875pt}{prune}\aput{:D}{\scalebox{1.25}{\prune{$\vv{OM}=k\vv{u}$}}}}}
\rput(2.8,.7){\u{1.5pt}{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{OA}=\vv{u}$}}}
\uput[d](2.8,.7){\footnotesize{\bleu $O$}}\uput[d](5.6,1.4){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[d](.56,.14){\footnotesize{\prune $M$}}
  \end{pspicture}
\end{center}\\
\begin{itemize}
\item son sens : le vecteur $k\vv{u}$ a le même sens que le vecteur $\vv{u}$ ;
\item sa norme : la norme du vecteur $k\vv{u}$ est égale au produit de la norme du vecteur  $\vv{u}$ par le réel $k$ \[\left\| k\vv{u} \right\| = k \times \left\| \vv{u} \right\|\]
\end{itemize} & \begin{itemize}
\item son sens : le vecteur $k\vv{u}$ est de  sens opposé au sens du vecteur $\vv{u}$ ;
\item sa norme : la norme du vecteur $k\vv{u}$ est égale au produit de la norme du vecteur  $\vv{u}$ par l'opposé du réel $k$ \[\left\| k\vv{u} \right\| = -k \times \left\| \vv{u} \right\|\]
\end{itemize}\\
\end{tabularx}
\begin{center}
Ce qui s'écrit de façon générale $\left\| k\vv{u} \right\| = |k| \times \left\| \vv{u} \right\|$ et se lit :\par
\og la norme du vecteur $k\vv{u}$ est égale au produit de la norme du vecteur  $\vv{u}$ par la valeur absolue du réel $k$ \fg{}
\end{center}
}



\medskip

  \cadreB{
Lorsque $\vv{u}=\vv{0}$ ou $k=0$, on convient que $k\vv{u}=\vv{0}$ : ainsi, l'égalité $k\vv{u}=\vv{0}$ ne peut se produire que lorsque $\vv{u}=\vv{0}$ ou $k=0$.
}
 
\subsubsection{remarque}

Soit $A$ et $B$ deux points distincts, et $k$ un réel donné. Il existe un unique point $M$ défini par la relation $\vv{AM}=k\vv{AB}$ :
\begin{itemize}
\item $M$ est un point de la droite $(AB)$
\item $M$ a pour abscisse $k$ dans le repère $(A; B)$ d'origine $A$
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(11,.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\psline[linewidth=.5pt]{|-|}(4,0)(7,0)
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=vertf]{-}(0,0)(4,0)\aput{:U}{\vertf{$M \in [Ax)$}}\bput{:U}{\vertf{$k \leqslant 0$}}
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=prune]{-}(4,0)(7,0)\aput{:U}{\prune{$M \in [AB]$}}\bput{:U}{\prune{$0 \leqslant k \leqslant 1$}}
\pcline[linewidth=1pt,linecolor=bleu]{-}(7,0)(11,0)\aput{:U}{\bleu{$M \in [By)$}}\bput{:U}{\bleu{$ k \geqslant 1$}}
\uput[dl](0,0){$x$}\uput[d](4,0){$A$}\uput[d](7,0){$B$}\uput[dr](11,0){$y$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\subsection{propriétés algébriques}

\cadreR{Pour tous vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ et pour tous réels $k$ et $k'$ :

$k\left(\vv{u}+\vv{v}\right)=k\vv{u}+k\vv{v}$ ; \hfill $(k+k')\vv{u}=k\vv{u}+k'\vv{u}$ ; \hfill $k\vv{u}=\vv{0}\iff  k=0 \text{ ou } \vv{u}=\vv{0}$}

\subsection{vecteurs colinéaires}

\subsubsection{définition}

\cadreR{Deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ sont dits colinéaires s'il existe un  réel $k$ tel que  $\vv{u}=k\vv{v}$ ou $\vv{v}=k\vv{u}$}

\subsubsection{remarques}

\begin{itemize}
\item Comme $\vv{0}=0\vv{u}$, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
\item Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.
\end{itemize}

\subsection{applications géométriques}

\subsubsection{avec les milieux}

 \textsf {\textsc{\small{milieu d'un segment}}}

\medskip

\cadreR{\'Etant donné un segment $[AB]$. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieu $I$ du segment $[AB]$ :
\begin{itemize}
\item[] $1)\quad\vv{AI}=\vv{IB}$ \qquad ou \qquad $2)\quad\vv{IA}+\vv{IB}=\vv{0}$ \qquad ou \qquad $3)\quad\vv{AB}=2\vv{AI}$ .
\item[] 4)\quad Pour tout point $M$ du plan $\vv{MA}+\vv{MB}=2\vv{MI}$.
\end{itemize}
}

\medskip

\dem

\begin{enumerate}
\item L'égalité $\vv{AI}=\vv{IB}$ caractérise le milieu $I$ du segment $[AB]$ (conséquence de la définition de l'égalité de deux vecteurs).
\item $I \text{ milieu du segment }[AB]  \iff   \vv{AI}=\vv{IB}  \iff   \vv{IA}=-\vv{IB}  \iff   \vv{IA}+\vv{IB}=\vv{0}$
\item $I \text{ milieu du segment }[AB] \iff   \vv{AI}=\vv{IB} \iff  2\vv{AI}=\vv{AI}+\vv{IB}\iff  2\vv{AI}=\vv{AB}$
\item Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$, alors pour tout point $M$ \[
\vv{MA}+\vv{MB}=\left(\vv{MI}+\vv{IA}\right)+\left(\vv{MI}+\vv{IB}\right)=2\vv{MI}+\underbrace{\vv{IA}+\vv{IB}}_{=\vv{0}}=2\vv{MI}\]
Réciproquement, la propriété  $\vv{MA}+\vv{MB}=2\vv{MI}$ étant vraie pour tout point $M$ on peut l'appliquer au point $I$.  Soit :  
\[\vv{IA}+\vv{IB}=2\vv{II}=\vv{0}\]
Ce qui prouve que $I$ est le milieu du segment $[AB]$ 
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{théorème}}}

\medskip

\cadreR{Soit $ABC$ un triangle, $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$ alors $\vv{BC}=2\vv{IJ}$}

\medskip

\dem

\[\vv{BC}=\vv{BA}+\vv{AC}=2\vv{IA}+2\vv{AJ}=2\left(\vv{IA}+\vv{AJ}\right)=2\vv{IJ}\]

\subsubsection{parallélisme et alignement}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires.
\item Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont colinéaires.
\end{itemize}
}
\medskip

\dem

\begin{itemize}
\item Si $(AB) // (CD)$ alors, les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ ont la même direction donc ils sont colinéaires.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(10,2.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu]{|-|}(2,.8)(7,1.8)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=bleu](0,.4)(8,2)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune]{|-|}(5,.6)(8,1.2)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune](3,.2)(10,1.6)
\uput[d](2,.8){\footnotesize{\bleu $A$}}\uput[d](7,1.8){\footnotesize{\bleu $B$}}
\uput[d](5,.6){\footnotesize{\bleu $D$}}\uput[d](8,1.2){\footnotesize{\bleu $C$}}
  \end{pspicture}
\end{center}

Réciproquement si les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{CD}$ sont colinéaires alors, ils ont la même direction donc  $(AB) // (CD)$ 
\item  $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont colinéaires signifie donc $(AB) // (AC)$. Deux droites parallèles ayant un point commun sont confondues.
\end{itemize}

\subsubsection{exemples}

\textsf {\textsc{\small{exemple 1 : construction de points}}}

\medskip

La méthode pour construire un point $M$ défini par une égalité vectorielle est d'obtenir une relation du type :\[\pnode(0.25em,0){O}\vv{{\Rougef{O}}M}\; = \; \Rougef{\vv{u}}\pnode(-.5em,0){u}\]\nput{-90}{O}{\Rougef $\overbrace{\substack{\text{origine}\\ \text{connue}}}$}\nput{-90}{u}{\Rougef $\overbrace{\substack{\text{vecteur}\\ \text{connu}}}$}
\linebreak
\emph{Soit trois points non alignés $A$, $B$ et $C$. Construire le point $M$ défini par $\vv{MA}-3\vv{MB}=\vv{AC}$}
\begin{itemize}
\item Choisissons par exemple $A$ comme \og\emph{origine connue}\fg
\[\begin{split}
\vv{MA}-3\vv{MB}=\vv{AC}& \iff  \vv{MA}-3\left(\vv{MA}+\vv{AB}\right)=\vv{AC}\\
&\iff  \vv{MA}-3\vv{MA}-3\vv{AB}=\vv{AC}\\
&\iff  -2\vv{MA}=3\vv{AB}+\vv{AC}\\
&\iff  \vv{MA}=-\dfrac{3}{2}\vv{AB}-\dfrac{1}{2}\vv{AC}\\
&\iff  \vv{AM}=\dfrac{3}{2}\vv{AB}+\dfrac{1}{2}\vv{AC}
\end{split}\]
\item Nous pouvons construire le point $M$ :
\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(9.5,4.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=vertf]{->}(0,0)(.5,2)
}
\pspolygon[linewidth=1pt](0,0)(6,1)(1,4)
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(9,1.5)\bput{:U}{\bleu{\footnotesize{$\dfrac{3}{2}\vv{AB}$}}}
\rput(0,0){\u}{\u\aput{:U}{\vertf{\footnotesize{$\dfrac{1}{2}\vv{AC}$}}}} \rput(9,1.5){\u\bput{:U}{\vertf{\footnotesize{$\dfrac{1}{2}\vv{AC}$}}}}
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=vertf,linestyle=dashed](.5,2)(9.5,3.5)
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(9.5,3.5)\aput{:U}{\prune{\footnotesize{$\vv{AM}$}}}
\uput[d](0,0){\footnotesize{$A$}}\uput[d](6,1){\footnotesize{$B$}}
\uput[u](1,4){\footnotesize{$C$}}\uput[u](9.5,3.5){\footnotesize{\prune $M$}}
  \end{pspicture}
\end{center}
\end{itemize}

\medskip

\textsf {\textsc{\small{exemple 2 : parallélisme, alignement}}}

\medskip

Montrer que des points sont aligné, ou sont sur des droites parallèles, revient à montrer que des vecteurs sont colinéaires.

\emph{Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu de $[AC]$, $M$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$ et le point  $N$ est tel que  $\vv{AN} =\dfrac{1}{3}\vv{AB}$ . Les points $M$, $I$ et $N$ sont-ils alignés ?}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-.5)(6,3.9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\def \u{
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=vertf]{->}(0,0)(.5,2)
}
\pspolygon[linewidth=1pt](0,0)(6,.9)(2,2.4)
\pcline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(2,.3)\bput{:U}{\bleu{\footnotesize{$\dfrac{1}{3}\vv{AB}$}}}
\pcline[linewidth=.5pt,linecolor=vertf](6,.9)(2,2.4)\lput{:U}{\vertf {||}}
\pcline[linewidth=.5pt,linecolor=vertf](2,2.4)(-2,3.9)\lput{:U}{\vertf {||}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=vertf](6,.9)(-2,3.9)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](-2,3.9)(2,.3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$A$}}\uput[dr](6,.9){\footnotesize{$B$}}
\uput[u](2,2.4){\footnotesize{$C$}}\uput[l](1,1.2){\footnotesize{\prune $I$}}\uput[dr](2,.3){\footnotesize{\prune $N$}}\uput[l](-2,3.9){\footnotesize{\prune $M$}}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item $I$ est le milieu du segment $[AC]$ donc  $\vv{AI} =\dfrac{1}{2}\vv{AC}$
\item $M$ est le symétrique de $B$ par rapport à $C$ donc $C$ est le milieu du segment $[BM]$ d'où $\vv{MC} =\vv{CB}$.
\end{itemize}

\medskip

Exprimons les vecteurs $\vv{MI}$ et $\vv{IN}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ :

\medskip

$\vv{MI} =  \vv{MC}+ \vv{CI} =\vv{CB}-\dfrac{1}{2}\vv{AC}=\vv{CA}+\vv{AB}-\dfrac{1}{2}\vv{AC}=\vv{AB}-\dfrac{3}{2}\vv{AC}$


$\vv{IN}=\vv{IA}+\vv{AN}=-\dfrac{1}{2}\vv{AC}+\dfrac{1}{3}\vv{AB}$

Ainsi, $\vv{MI} =  \vv{AB}-\dfrac{3}{2}\vv{AC}$ et $\vv{IN}=\dfrac{1}{3}\vv{AB}-\dfrac{1}{2}\vv{AC}$ d'où $\vv{MI}=3\vv{IN}$. 


Par conséquent, les vecteurs $\vv{MI}$ et $\vv{IN}$ sont colinéaires donc les points $M$, $I$ et $N$ sont alignés.


\section{coordonnées}

\subsection{repère du plan}


\cadreR{%
On appelle base tout couple $\left( \vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ de vecteurs non colinéaires.

Un repère du plan est un triplet $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ où $\mathrm{O}$ est un point du plan (appelé origine du repère) et $\left( \vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ une base.
}


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.75pt]{->}(-2,0)(6,0)
\psline[linewidth=.75pt]{->}(-.5,-1)(3,6)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}} \uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](2.8,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](1.5,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](.5,1){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\rput(2,-2){Repère quelconque}
  \end{pspicture} \hfill
  \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-1)(6,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(2,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}} \uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](1,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](0,1.5){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$I$}}}\uput[l](0,3){\prune{\footnotesize{$J$}}}
\rput(2,-3){$(OI)\perp (OJ)$}
\rput(2,-2){Repère orthogonal}
  \end{pspicture}\hfill
  \psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(6,6)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-2,-1)(6,6)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(3,3)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}} \uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}}\uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\uput[d](1.5,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](0,1.5){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\uput[d](3,0){\prune{\footnotesize{$I$}}}\uput[l](0,3){\prune{\footnotesize{$J$}}}
\rput(2,-2){Repère orthonormé}
\rput(2,-3){$(OI)\perp (OJ)$ et $OI = OJ$}
  \end{pspicture}
\end{center}
%
% \textsf{\textsc{{remarque}}}%
% 
% \medskip
% 
% La définition d'un repère par un triplet $\left(\mathrm{O};I,J\right)$ de points non alignés n'est pas remise en cause.
%
%Si les points  $\mathrm{O}$ , $I$ et $J$ ne sont pas alignés, les vecteurs  $\vv{\mathrm{O}I}=\vec{\imath}$ et $\vv{\mathrm{O}J}=\vec{\jmath}$ ne sont pas colinéaires et forment une base.


\subsection{coordonnées d'un vecteur}

\cadreR{%
Le plan est muni d'un repère  $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$. Soit $\vec{u}$ un vecteur. 

On appelle coordonnées du vecteur $\vec{u}$ les coordonnées du point $M \left(x;y\right)$ dans le repère  $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ tel que $\vv{\mathrm{O}M}=\vec{u}$.


On note indifféremment $\vec{u} \left(x;y\right)$ ou $\vec{u} \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$.
}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \qV{\rput{-25}(0,0){\psline[linecolor=darkgray,linewidth=.5pt,linestyle=dotted,dotsep=2pt](0,-3.31)(0,5.52)}}
\def \qH{\psline[linecolor=darkgray,linewidth=.5pt,linestyle=dotted,dotsep=2pt](-3,0)(5,0)}
\multido{\n=-3+1}{9}{\rput(\n,0){\qV}}
\multido{\n=-3+1,\rT=-.699+.233}{9}{\rput(\rT,\n){\qH}}
\psline[linewidth=.75pt]{->}(-3,0)(5,0)
\rput{-25}(0,0){\psline[linewidth=.75pt]{->}(0,-3.31)(0,5.52)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,0)
\rput{-25}(0,0){\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(0,1.103)}
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-.4663,-2)(3.5337,-2)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(0,0)(3.5337,-2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(-1.0674,4)(2.4663,2)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{->}(-1.0674,4)(-1.5337,2)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{->}(-1.0674,4)(2.9326,4)
\uput[l](0.1,0.5){\prune{\footnotesize $\vec{\jmath}$}}
\uput[d](.75,0.1){\prune{\footnotesize $\vec{\imath}$}}
\uput[dl](-.1,0){\prune{\footnotesize O}}
\uput[dr](3.5,-2){\bleu{\footnotesize $M$}}
\uput[ur](1,4){\prune{\footnotesize $x\vec{\imath}$}}
\uput[l](-1.3,3){\prune{\footnotesize $y\vec{\jmath}$}}
\uput[d](1.4,-2){\prune{\footnotesize $x\vec{\imath}$}}
\uput[r](3.8,-1){\prune{\footnotesize $y\vec{\jmath}$}}
\rput{-20}(1,3.2){\bleu{ $\vec{u}$}}
  \end{pspicture}
\end{center}


  \cadreB{
\begin{itemize}
\item $\left( x; y \right)$  sont les coordonnées du point $M$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ signifie que  $\vv{\mathrm{O}M}=x\vec{\imath} + y \vec{\jmath}$.
\item $\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$  sont les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ dans le repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ signifie que  $\vec{u}=x\vec{\imath} + y \vec{\jmath}$.
\end{itemize}
}

\medskip

 \textsf{\textsc{{remarque}}}%
 
 \medskip
 
 Les coordonnées d'un vecteur dépendent du choix du repère.
 
 \medskip

 \textsf{\textsc{{exemple}}}%
 
 \medskip
 
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.

\begin{itemize}
 \begin{minipage}{\linewidth-7cm}%
\item Dans le repère $\left(A;\vv{AB},\vv{AC}\right)$ :

 
$A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(1;1)$, $D(0;1)$, $\vv{AC}\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$ et $\vv{BD}\begin{pmatrix*}[r] -1\\1\end{pmatrix*}$\end{minipage} 
\hfill
\begin{minipage}{7cm}%
\begin{flushright}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](5,1)(7,4)(2,3)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](0,0)(7,4)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](2,3)(5,1)
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(5,1)\nbput*[nrot=:U]{\prune{\footnotesize $\vec{\imath}$}}
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(2,3)\naput*[nrot=:U]{\prune{\footnotesize $\vec{\jmath}$}}
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[ur](7,4){\bleu{\footnotesize $C$}}
\uput[ul](2,3){\bleu{\footnotesize $D$}}
\uput[u](3.5,2){\bleu{\footnotesize $O$}}
  \end{pspicture}
\end{flushright}\end{minipage} 

\begin{minipage}{\linewidth-7cm}%
\item Dans le repère $\left(\mathrm{O};\vv{OA},\vv{OB}\right)$ :

 $A(1;0)$, $B(0;1)$, $C(-1;0)$, $D(0;-1)$, $\vv{AC}\begin{pmatrix} -2\\0\end{pmatrix}$ et $\vv{BD}\begin{pmatrix*}[r] 0\\-1\end{pmatrix*}$
\end{minipage} 
\hfill
\begin{minipage}{7cm}%
\begin{flushright}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](0,0)(5,1)(7,4)(2,3)(0,0)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](3.5,2)(7,4)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=bleu,linestyle=dashed](2,3)(3.5,2)
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(3.5,2)(0,0)\nbput*[nrot=:D]{\prune{\footnotesize $\vec{\imath}$}}
\pcline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(3.5,2)(5,1)\naput*[nrot=:U]{\prune{\footnotesize $\vec{\jmath}$}}
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[dr](5,1){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[ur](7,4){\bleu{\footnotesize $C$}}
\uput[ul](2,3){\bleu{\footnotesize $D$}}
\uput[u](3.5,2){\bleu{\footnotesize $O$}}
  \end{pspicture}
\end{flushright}\end{minipage} 

\end{itemize}

\subsubsection{propriétés des coordonnées}

  \cadreB{
Soit $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ un repère du plan, $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs :
\begin{itemize}
\item $\vec{u}=\vec{0}$  équivaut à $x=0$ et $y=0$.
\item $\vec{u}=\vec{v}$  équivaut à $x=x'$ et $y=y'$.
\item Le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$  a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x +x'\\ y+ y' \end{pmatrix}$.
\item pour tout réel $k$, le vecteur $k\vec{u}$  a pour coordonnées $\begin{pmatrix} kx\\ ky \end{pmatrix}$.
\end{itemize}
}
  
\subsection{coordonnées du vecteur $\protect\vv{\text{ab}}\protect$}

\cadreR{%
Soit $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ un repère du plan et deux points  $A \left( x_A ; y_A \right)$ et $B \left( x_B ; y_B \right)$. 

Les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$ dans le repère  $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ sont  $\vv{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.
}


\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=.6cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \qV{\rput{-25}(0,0){\psline[linecolor=darkgray,linewidth=.5pt,linestyle=dotted,dotsep=2pt](0,-2.21)(0,5.52)}}
\def \qH{\psline[linecolor=darkgray,linewidth=.5pt,linestyle=dotted,dotsep=2pt](-3,0)(5,0)}
\multido{\n=-3+1}{9}{\rput(\n,0){\qV}}
\multido{\n=-2+1,\rT=-.466+.233}{8}{\rput(\rT,\n){\qH}}
\psline[linewidth=.75pt]{->}(-3,0)(5,0)
\rput{-25}(0,0){\psline[linewidth=.75pt]{->}(0,-2.21)(0,5.52)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,0)
\rput{-25}(0,0){\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=prune]{->}(0,0)(0,1.103)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu]{->}(-1.0674,4)(3.2331,1)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{->}(-1.0674,4)(3.9326,4)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune]{->}(3.9326,4)(3.2331,1)
\uput[l](0.1,0.5){\prune{\footnotesize $\vec{\jmath}$}}
\uput[d](.5,0.1){\prune{\footnotesize $\vec{\imath}$}}
\uput[dl](-.1,0){\prune{\footnotesize O}}
\uput[ul](-1.0674,4){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[dr](3.2331,1){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[ur](1,4){\prune{\footnotesize $\left( x_B - x_A \right)\vec{\imath}$}}
\uput[r](3.5,2.5){\prune{\footnotesize $\left( y_B - y_A \right)\vec{\jmath}$}}
  \end{pspicture}
\end{center}

\dem

D'après la relation de Chasles $\vv{AB}= \vv{AO}+\vv{OB}=\vv{OB} -\vv{OA}$. Donc les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$ sont  $\vv{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$.


\subsection{coordonnées du milieu d'un segment}

\cadreR{%
Soit $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ un repère du plan et deux points  $A \left( x_A ; y_A \right)$ et $B \left( x_B ; y_B \right)$. 

Les coordonnées du milieu  $I \left( x_{I} ; y_{I} \right)$ du segment $[AB]$ sont : \[x_{I}= \frac{x_A + x_B}{2}  \; \text{ et } \; y_{I}= \frac{y_A + y_B}{2}\]
}

\medskip

\dem

$I$ est le milieu du segment $[AB]$ d'où $2 \vv{\mathrm{O}I} = \vv{\mathrm{O}A}+\vv{\mathrm{O}B}$ soit $\vv{\mathrm{O}I} = \dfrac{1}{2}\left( \vv{\mathrm{O}A}+\vv{\mathrm{O}B}\right)$


\subsection{condition de colinéarité}

\cadreR{%
Soit $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ un repère du plan. Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires si, et seulement si,\[xy'-x'y=0\]
}

\medskip

\dem

\begin{itemize}
\item Dans le cas où l'un des deux vecteurs est nul, les vecteurs sont colinéaires et la relation $xy'-x'y=0$ est vérifiée car $x=y=0$ ou $x'=y'=0$.
\item Dans le cas où les deux vecteurs sont non nuls, dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v}=k\vec{v}$. Soit $\begin{cases}x'=kx\\y'=ky\end{cases}$ ce qui équivaut à $xy'-x'y=0$.
\end{itemize}
 
 \medskip

 \textsf{\textsc{{exemple}}}%
 
 \medskip
 
Dans la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle, $K$ est le milieu de $[BC]$, $L$ est le symétrique du point $A$ par rapport à $B$. 

Déterminer la position du point $M$ sur la droite $(AC)$ pour que les points $K$, $L$ et $M$ soient alignés.

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(0,-.5)(13,3.3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=.75pt,linecolor=bleu](13,0)(0,0)(2.1,3)(6,0)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune,linestyle=dashed](0.34,2.2)(13.06,-.2)
\psdots[linecolor=prune](1.4,2)(4.05,1.5)(12,0)
\uput[dl](0,0){\bleu{\footnotesize $A$}}
\uput[d](6,0){\bleu{\footnotesize $B$}}
\uput[u](2.1,3){\bleu{\footnotesize $C$}}
\uput[ul](1.4,2){\prune{\footnotesize $M$}}
\uput[ur](4.05,1.5){\prune{\footnotesize $K$}}
\uput[d](12,0){\prune{\footnotesize $L$}}
  \end{pspicture}
\end{center}


Dans le repère $\left(A;\vv{AB},\vv{AC}\right)$ nous avons $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$.

\begin{itemize}
\item Les coordonnées du point $K$  milieu du segment $[BC]$ sont $K \left( \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2} \right)$.
\item $L$ est le  symétrique du point $A$ par rapport à $B$ donc $\vv{AL} = 2 \vv{AB}$. Les coordonnées du point $L$ sont $L\left( 2 ; 0 \right)$.
\item $M$ est un point de la droite $(AC)$ donc $\vv{AM}=y\vv{AC}$ d'où $M$ a pour coordonnées $M \left( 0 ; y \right) $.
\end{itemize}

Les points $K$, $L$ et $M$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vv{LK}$ et $\vv{LM}$ sont colinéaires.

Calculons les coordonnées des vecteurs $\vv{LK}$ et $\vv{LM}$ :  \[\begin{split}
&\vv{LK} \begin{pmatrix} x_K - x_L \\ y_K - y_L \end{pmatrix} \qquad\text{soit} \qquad \vv{LK}\begin{pmatrix*}[r] \dfrac{1}{2}-2\\[.75em]\dfrac{1}{2}-0\end{pmatrix*}\iff  \vv{LK}\begin{pmatrix*}[r] -\dfrac{3}{2}\\[.75em]\dfrac{1}{2}\end{pmatrix*}\\
\text{et \quad}& \vv{LM} \begin{pmatrix} x_M - x_L \\ y_M - y_L \end{pmatrix} \qquad\text{soit} \qquad \vv{LK}\begin{pmatrix*}[r] 0-2\\y-0\end{pmatrix*}\iff  \vv{LM}\begin{pmatrix*}[r] -2\\y\end{pmatrix*}
\end{split}\] 

Les vecteurs $\vv{LK}$ et $\vv{LM}$ sont colinéaires pour $y$ solution de l'équation :\[-\dfrac{3}{2}\times y - (-2)\times \dfrac{1}{2} = 0 \iff  -\dfrac{3}{2} \times y = -1 \iff  y = \dfrac{2}{3}\]

Ainsi, $M$ est le point de la droite $(AC)$ tel que $\vv{AM} = \dfrac{2}{3} \vv{AC}$

\subsection{distance dans un repère orthonormé}

\cadreR{%
Soient $A \left( x_A ; y_A \right)$ et $B \left( x_B ; y_B \right)$ deux points du plan muni d'un repère \emph{orthonormal} $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$, la distance $AB$ est donné par \[AB=\sqrt{{\left( x_B - x_A \right)}^2 + {\left( y_B - y_A \right)}^2}\]
}

\medskip

\dem

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(6,5)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psaxes[labels=none,linewidth=.75pt,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-1)(6,5)
\psaxes[labels=none,linewidth=1.25pt,linecolor=prune,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{O}}
\uput[d](.5,0){\prune{\footnotesize{$\vec{\imath}$}}}\uput[l](0,0.5){\prune{\footnotesize{$\vec{\jmath}$}}}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](-2,1.5)(4,4)
\psline[linewidth=.75pt,linestyle=dashed,linecolor=prune](-2,1.5)(4,1.5)(4,4)
\psline[linewidth=.5pt,linecolor=prune](3.75,1.5)(3.75,1.75)(4,1.75)
\uput[dl](-2,1.5){\bleu{\footnotesize{$A$}}}\uput[ur](4,4){\bleu{\footnotesize{$B$}}}
\uput[dr](4,1.5){\prune{\footnotesize{$M$}}}
\uput[d](1.5,1.5){\prune{\footnotesize{$ x_B - x_A$}}}
\uput[r](4,2.75){\prune{\footnotesize{$y_B - y_A$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}


Comme $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$ est un repère orthonormal, le triangle $AMB$ est un triangle rectangle en $M$. 

D'après le théorème de Pythagore :\[\begin{split}
&{AB}^2 = {AM}^2+ {MB}^2\\
\text{Soit }\:&{AB}^2=\left( x_B - x_A \right)^2 + \left( y_B - y_A \right)^2\\
\text{d'où }\:&{AB}=\sqrt{{\left( x_B - x_A \right)}^2 + {\left( y_B - y_A \right)}^2}
\end{split}\]

\medskip

 \textsf{\textsc{{exemple}}}%
 
 \medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$. On considère les points $A(-1;-2)$, $B(2;2)$ et $C(-2;5)$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? 

\medskip

Calculons les longueurs des trois côtés du triangle $ABC$ :

\medskip

\begin{itemize}
\item $AB=\sqrt{{\left(2-(-1)\right)}^2+{\left(2-(-2)\right)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
\item $AC=\sqrt{{\left(-2-(-1)\right)}^2+{\left(5-(-2)\right)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
\item $BC=\sqrt{{(-2-2)}^2+{(5-2)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
\end{itemize}

\medskip

Nous avons $AC^2=AB^2+BC^2$ alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. 

En outre $AB=BC$ donc $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $B$.


\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 


\exo 

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(0,0)(40,20)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(40,20)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def \fig#1#2{
\pspolygon[linewidth=#1,linecolor=#2](0,4)(1,5)(2,4)(3,5)(4,4)(4,3)(3,2)(3,1)(2,0)(1,1)(1,2)(0,3)(0,4)
}
\psset{unit=.8cm}
\rput(1,2){\fig{1.5pt}{bleu}\uput[d](2,0){\bleu{$A$}}}
\cput[linecolor=bleu](3,4.5){\bleu $\mathcal{F}_1$}
%\rput(14,4.5){\fig{1pt}{prune}\uput[ur](4,4){\bleu{$B$}}}
%\rput(6,1){\fig{1pt}{green}\uput[ur](2,0){\bleu{$C$}}}
\uput[d](8,1){\prune{$B$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{->}(3,2)(8,1)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune]{->}(11,.5)(19,4)
\uput[d](15,2.25){\prune{\large{$\vv{u}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tracer la figure $\mathcal{F}_2$ image de la figure $\mathcal{F}_1$ par la translation de vecteur $\vv{AB}$.
\item Tracer la figure $\mathcal{F}_3$ image de la figure $\mathcal{F}_2$ par la translation de vecteur $\vv{u}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(30,12)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,0)(30,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](.1,10.3)(29.5,.5)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-1.2,2.8)(23.28,11.98)
\uput[ul](5,7){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dr](9,1){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[dl](0,3){\prune {$\mathcal{D}$}}
\uput[ul](30,1){\prune {$\Delta$}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](5,7)(9,1)
%\psline[linewidth=.5pt](2.8,-3.2)(30,7)
\end{pspicture}
\end{center}

	Construire un point $E$ sur la droite $\Delta$ et un point $F$ sur la droite $\mathcal{D}$ de façon que $ABEF$ soit un parallélogramme.

\bigskip

\exo 


\begin{center}
\psset{unit=.42cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(30,7)
%\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(30,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](3,0)(14,0)(18,7)(7,7)(3,0)
\psdot[linecolor=bleu](15.7143,3)
\uput[dl](3,0){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dr](14,0){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[ur](18,7){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\uput[ul](7,7){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{D}}}}}
\uput[dr](15.7143,3){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{M}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

$ABCD$ est un parallélogramme. $M$ est un point du segment $[BC]$.

\begin{enumerate}
\item Construire le point $N$ tel que le quadrilatère $AMNB$ soit un parallélogramme.
\item Montrer que les segments $[CM]$ et $[DN]$ ont le même milieu.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

 \medskip 


Placer les points $M$ et $N$ tels que $\vv{AM}=\vv{u}+\vv{v}$  et $\vv{AN}=\vv{w}-\vv{v}$
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(32,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{vertf}{0 .35 .05}
\def \u#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(8,2)
}
\def \v#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(4,-3)
}
\def \w#1#2{
\pcline[linewidth=#1,linecolor=#2]{->}(0,0)(-2,-5)
}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(32,10)
\rput(2,6){\u{1.5pt}{bleu}\aput{:U}{\bleu{$\vv{u}$}}}
\rput(1,5){\v{1.5pt}{prune}\aput{:U}{\prune{$\vv{v}$}}}
\rput(9,6){\w{1.5pt}{vertf}\aput{:D}{\vertf{$\vv{w}$}}}
\psdot[dotstyle=x,linecolor=bleu](18,6)
\uput[ul](18,6){$A$}
  \end{pspicture}
\end{center}

 \bigskip 
 
 \exo 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,0)(26,15)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-6,0)(26,15)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psdots[linecolor=bleu,dotstyle=x](3,5)(12,4)(6,11)
\uput[dl](3,5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dr](12,4){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[u](6,11){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Placer les points $M$ et $N$ tels que  $\vv{AM} =\vv{AB}+\vv{AC}$ et $\vv{MN} =\vv{AB}-\vv{AC}$.
	\item Montrer que $B$ est le milieu du segment $[AN]$.
\end{enumerate}
	
 \bigskip
  \exo 

 \medskip 

$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. 

\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}+\vv{OD}=\vv{0}$
	\item En déduire que pour tout point $M$ du plan,  $\vv{MA}+\vv{MB}+\vv{MC}+\vv{MD}=4\vv{MO}$.	
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo
 
 \medskip
 
 Soit un triangle $ABC$. Construire les points $M$ et $N$ tels que  $\vv{MA}+\vv{MB}=\vv{BC}$ et $\vv{NA}+\vv{NC}=\vv{CB}$.
 
 \bigskip
  
\exo 

 \medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $M$ le point du plan tel que $3\vv{MA}+\vv{MB}-2\vv{MC}= \vv{0}$. 

Exprimer le vecteur $\vv{AM}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.  Construire le point $M$ dans la figure ci-dessous.
\item Construire le point $N$ tel que $2\vv{AN}+\vv{BN}=2\vv{CN}$.
\item Les points $A$, $M$ et $N$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

 \begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-2)(22,12)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-2)(22,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](6,8)(2,0)(14,2)(6,8)
\uput[u](6,8){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dl](2,0){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[d](14,2){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Soit un triangle $ABC$ et les milieux $I$, $J$, et $K$ des côtés $[AB]$, $[AC]$ et $[BC]$.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $M$ et $N$ tels que $\vv{MA}+\vv{MB}=\vv{AC}$ et $\vv{NA}+\vv{NC}=\vv{AB}$.
\item Les droites $(MN)$ et $(IJ)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo 

 \medskip 

$ABCD$  est un parallélogramme.

\begin{enumerate}	
\item	Placer les points $E$ et $F$ définis par les égalités : $\vv{DE}=\dfrac{3}{4} \vv{AB}$ et $\vv{AF}=-\dfrac{4}{3} \vv{AD}$   
\item	Exprimer le vecteur $\vv{AE}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AD}$.
\item	Exprimer le vecteur $\vv{BF}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AD}$.
\item	Montrer que les droites  $(AE)$ et $(BF)$ sont parallèles.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-6,0)(26,13)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,0)(26,13)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psset{unit=1cm}
\psdots[linecolor=bleu,dotstyle=x](2,2)(6,2.5)(3,4)
\uput[dl](2,2){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dr](6,2.5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[u](3,4){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $M$, $N$ et $P$ tels que  $\vv{AM} =\vv{AB}+\vv{AC}$, $\vv{AN} =\dfrac{3}{2}\vv{AB}$ et $\vv{AP} =2\vv{AC} -\vv{AB}$.
\item Exprimer le vecteur $\vv{MN}$  en fonction des vecteurs $\vv{AB}$  et $\vv{AC}$.
	\item Montrer que les droites  $(MN)$ et $(AP)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
 
 \pagebreak

\exo 


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,0)(28,11)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-4,0)(28,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psset{unit=1cm}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](3,4)(6,3.5)(5,1.5)(2,2)(3,4)
\uput[ul](3,4){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[dl](2,2){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[dr](5,1.5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\uput[ur](6,3.5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{D}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item $ABCD$ est un parallélogramme. Placer les points $E$ et $F$ tels que  $\overrightarrow {AE} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AF}=3\overrightarrow {AD}$.
	\item Exprimer les vecteurs  $\overrightarrow {CE}$ et $\overrightarrow {CF}$ en fonction de $\overrightarrow {AB}$  et $\overrightarrow {AD}$ . En déduire que les points $E$, $C$ et $F$ sont alignés.
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 


\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(30,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.2 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-2,-1)(30,12)
\uput[dl](4,2){\small{\textsf {\bleu{A}}}} \uput[dr](16,2){\small{\textsf {\bleu{B}}}}
\uput[ul](7,8){\small{\textsf {\bleu{D}}}} \uput[ur](19,8){\small{\textsf {\bleu{C}}}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-}(4,2)(16,2)(19,8)(7,8)(4,2)
\end{pspicture}
\end{center}

$ABCD$ est un parallélogramme. 
\begin{enumerate}
	\item  Placer les points $E$, $F$ et $G$ tels que :  $\vv{AE} = \dfrac{4}{3}\vv{AB}$, $\vv{FD} = -\dfrac{1}{3}\vv{AD}$ et $\vv{AG} = \dfrac{1}{3}\vv{AB} + \vv{AD}$.
	\item Exprimer le vecteur $\vv{EF}$  en fonction des vecteurs $\vv{AB}$  et $\vv{AD}$.
	\item Les points $E$, $F$ et $G$  sont-ils alignés ?
\end{enumerate} 

 \bigskip 


\exo 

 \medskip 

Soit $ABC$ un triangle. On considère les points $M$ et $N$ tels que  $\overrightarrow {BM} = 2 \overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow {AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} +\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC}$.

\medskip

Les droites $(AM)$ et $(BN)$ sont-elles parallèles ?

\bigskip



\exo 

 \medskip 

$ABCD$  est un parallélogramme.

\begin{enumerate}	
\item	Placer les points $E$ et $F$ définis par les égalités : $\vv{DE}=\dfrac{3}{4} \vv{AB}$ et $\vv{AF}=-\dfrac{4}{3} \vv{AD}$   
\item	Les droites  $(AE)$ et $(BF)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 

$ABC$ est un triangle.

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-9,-4)(23,11)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-9,-4)(23,11)
\psset{unit=1cm}
\pspolygon[linewidth=1.5pt,linecolor=bleu](0,0)(4,-1)(2,3)(0,0)
\uput[l](0,0){\bleu $A$}\uput[dr](4,-1){\bleu $B$}\uput[ul](2,3){\bleu $C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ le point défini par $\vv{MA}-3\vv{MC}=\vv{AB}$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer le vecteur $\vv{AM}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.
\item Placer le point $M$ sur la figure.
\end{enumerate}
\item Dans le repère $\left( A ; \vv{AB}, \vv{AC} \right)$ on considère le point $D$ de coordonnées $\left( 1 ; 1 \right)$
\begin{enumerate}
\item Placer le point $D$ sur la figure.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABDC$ ?
\end{enumerate}
\item Les droites $\left( BC \right)$ et $\left( DM \right)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

$ABC$ est un triangle.

	\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(30,12)
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(30,12)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{unit=1cm}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](3,2)(8,1)(6,5)(3,2)
\uput[dl](3,2){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{A}}}}}
\uput[d](8,1){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{B}}}}}
\uput[u](6,5){\bleu {\footnotesize{\textsf{\textbf{C}}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $I$, $J$ et $K$ tels que   $\vv{AI} =2\vv{AB}$, $\vv{AJ} =\dfrac{2}{3}\vv{AC}$  et $K$ milieu du segment $[BC]$.
\item Exprimer les coordonnées des points   $I$, $J$ et $K$ dans le repère $\left( A ; \vv{AB}, \vv{AC} \right)$.
	\item Les points $I$, $J$ et $K$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate} 

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 
 
Dans le plan muni d'un repère $\left( {\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$,  on considère les points $A\left( -1;2 \right)$, $B\left( -2;-3 \right)$, $C\left( 7;0 \right)$ et $D\left( 5;4 \right)$.

\medskip

Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?

\bigskip

  \exo 

 \medskip 

Dans le plan muni d'un repère $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$, on considère les points $A\left(-4;-1\right)$, $B\left(3;2\right)$  et  $C\left(4;-1\right)$.

\begin{enumerate}
	\item Les points  $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? 
	\item Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que  $\vv{BD}=2\vv{BA}+\vv{AC}$.
	
	Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip

Soit $\left(\mathrm {O};\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$ un repère du plan. On considère les points $A(-2;2)$, $B\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)$  et $C\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3}\right)$.
\begin{enumerate}
	\item Les points  $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? 
	\item Déterminer l'ordonnée $y$ du point $D\left(-\dfrac{1}{3};y\right)$ tel que  les points  $A$, $B$ et $D$ soient alignés.
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Dans le plan muni d'un repère \Oij{} on donne les points $A( -1;1)$, $B(2;1)$ et $C(-2;3)$
\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées du point $M$ tel que $\vv{AM}=2\vv{BC}$.
	\item Déterminer les coordonnées du point $P$ tel que $\vv{BA}+2\vv{BC}+\dfrac{3}{2}\vv{BP}=\vv{0}$.
	\item Les points $B$, $M$ et $P$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
 \exo 

 \medskip 
 
Dans le plan muni d'un repère $\left( {\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$,  on considère les points $A\left( 3;4 \right)$, $B\left( -2;1 \right)$ et $C\left( 2;-2 \right)$.

\begin{enumerate}
	\item  Soit $G$ le point du plan tel que  $\vv{GA}+\vv{GB}+\vv{GC}  = \vec{0}$.	
\begin{enumerate}
	\item Montrer que  $3\vv{OG}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$.
	\item En déduire les coordonnées du point $G$.
\end{enumerate}
\item	Soit $I$ le milieu de $\left[BC\right]$ . Montrer que les vecteurs $\vv{AG}$  et  $\vv{AI}$ sont colinéaires.
\item	Soit $J$ le milieu de $\left[AC\right]$ . Les points $B$, $G$ et $J$ sont-ils alignés ?	
\item  Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$ ?	
\end{enumerate}

 \bigskip 
 

\exo 

 \medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$, on considère les points $A(4;-2)$, $B(2;2)$, $C(-4;-1)$ et $D(-2;-5)$.

\begin{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
	\item Placer le point $E$ tel que le quadrilatère $ABEC$ soit un parallélogramme.
	\item Les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[BC]$.
	\item Les points $A$, O et $M$ sont-ils alignés ?
\end{enumerate}
 \item 
\begin{enumerate}
	\item Calculer les distances $AC$ et $BD$.
	\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \bigskip 
 \exo 

 \medskip 


Le plan est muni d'un repère orthonormé (\emph{unités graphiques 1 cm sur chaque axe})

\begin{enumerate}
\item Placer les points $A(-4;-3)$,  $B(-1;3)$ et $C (3;1)$.
\item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme puis, placer $D$ sur la figure.
\item Calculer les coordonnées du centre $I$ du parallélogramme $ABCD$.
\item Soit $M$ le point défini par \[6 \vv{BM} = 4 \vv{AC}+ 7\vv{CB}\] 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\vv{BM}=-\dfrac{2}{3}\vv{BA}-\dfrac{1}{2}\vv{BC}$.
\item Construire le point $M$ sur la figure (\emph{on laissera apparents les traits de construction}).

\item Calculer les coordonnées de $M$.
\end{enumerate}
\item Les points $D$, $I$ et $M$ sont-ils alignés? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

 \bigskip
   
\exo 

 \medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

\begin{enumerate}
	\item Placer les points $A\left(-5;1\right)$, $B\left(3;-3\right)$, $C\left(5;1\right)$ et  $E\left(2;0\right)$.
	\item
	\begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[AB]$.
	\item Les points $E$, $C$ et $M$ sont-ils alignés ?
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$.
	\item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Calculer les distances $AC$ et $BD$.
	\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
	\end{enumerate}
	\item Placer le point $N$ de coordonnées $\left(1;3\right)$. 
	
	Les droites $\left(AN\right)$ et $\left(EC\right)$ sont-elles parallèles ?
	\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left( {{\mathrm{O}};\vec{\imath},\vec{\jmath}} \right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

\begin{enumerate}
	\item  Placer les points $A\left(-2;\dfrac{5}{2}\right)$, $B\left(4;-\dfrac{1}{2}\right)$  et  $C\left(3;-\dfrac{5}{2}\right)$.
	\item Déterminer les coordonnées du milieu $I$ du segment $\left[AB\right]$.
	\item Le vecteur $\vec{u}\left(2;4\right)$  est-il colinéaire au vecteur $\vv{AB}$  ? au vecteur $\vv{BC}$ ?
	\item Soit $D\left(-1;y\right)$ où $y$ est un nombre réel.
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer $y$ pour que le point $D$ appartienne à la droite $\left(CI\right)$. 
	
	Placer le point $D$ dans le repère.
	\item Quelle est la nature du quadrilatère $ACBD$ ?
	\end{enumerate}
	 	
	\item Le point $B$ appartient-il au cercle de diamètre $\left[AC\right]$ ?
\end{enumerate}

\end{document}