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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\newcommand{\D}{\mathds {D}}

\DecimalMathComma

\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 04 septembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{ensembles de nombres}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
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\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}


\hypersetup{
pdftitle={Ensembles de nombres.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Ensembles de nombres, Intervalles.}, 
pdfkeywords={Entiers, relatifs, rationnels, réels, intervalles, intersection, union, cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}
\section{ensembles de nombres}
\subsection{nombres entiers naturels $\N$}
\subsubsection{définition}

\cadreR{L'ensemble des  entiers naturels, noté $\N=\{0;1;2;3;4;\dots\}$. C'est l'ensemble des nombres positifs  qui permettent de compter une collection d'objets.

On note $\N^*$ ou $\N-\{0\}$ l'ensemble des entiers naturels non nuls.
}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}


\[245 \in \N ;\qquad -5 \notin \N ;\qquad  2^5 \in \N ;\qquad \dfrac{3}{5} \notin\N; \qquad 0 \in\N; \qquad 0 \notin\N^*\] 
La notation \og $x\in E$\fg{} signifie que l'élément $x$ \emph{appartient} à l'ensemble $E$.

La notation \og $x\notin E$\fg{} signifie que l'élément $x$ \emph{n'appartient pas} à l'ensemble $E$.

\subsubsection{notions d'arithmétique}

Soient  $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels.

\begin{itemize}
\item on dit que $b$ \emph{divise} $a$ lorsqu'il existe un entier naturel $q$ tel que $a=b\times q$. (on dit encore que $b$ est un \emph{diviseur} de $a$ ou que $a$ est un \emph{multiple} de $b$)
\item Un entier naturel $p\geqslant 2$ est un \emph{nombre premier} lorsque ses seuls diviseurs sont $1$ et $p$.
\end{itemize}

\subsection{nombres entiers relatifs $\Z$}
\cadreR{L'ensemble des  nombres entiers relatifs  est $\Z=\{\dots;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$. Il est composé des nombres entiers naturels et de leurs opposés.

En particulier, l'ensemble $\N$ est \emph{contenu} (ou inclus) dans $\Z$, ce que l'on note \og $\N\subset \Z$\fg. 
} 

\medskip 
La proposition \og Si $n \in \N $ alors $n\in\Z$ et $-n \in \Z $ \fg{} est vraie. 

Par contre, la réciproque \og Si $n\in\Z$ et $-n\in\Z$  alors  $n\in\N$ \fg{} est fausse. (Il suffit de choisir $n=-1$)

\subsection{nombres décimaux $\D$}
\cadreR{
Les nombres décimaux sont les nombres de la forme $\dfrac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel. 

Ce sont les nombres dont l'écriture décimale n'a qu'un nombre \emph{fini} de chiffres après la virgule.

L'ensemble des \emph{nombres décimaux} est noté  $\D$. 

} 
\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

$-13 \in \D$ ; \hfill  $0,3333 \in \D$ ; \hfill $\dfrac{1}{3} \notin \D$ ; \hfill $\dfrac{3}{4} \in \D$; \hfill  $3,1416 \in \D$ ; \hfill $\pi \notin \D$.

\subsection{nombres rationnels $\Q$}
\cadreR{
L'ensemble des  nombres rationnels  est $\Q=\left\{\dfrac{a}{b} \text{ où } a\in\Z,~b\in\Z^*\right\}$.

C'est l'ensemble des nombres qui s'écrivent comme le quotient d'un entier par un entier non nul.
}
\medskip
\begin{itemize}
\item La fraction $\dfrac{a}{b}$ avec $b \ne 0$ est dite \emph{irréductible} lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont pas de facteurs communs (autres que $1$ ou $-1$).
\item La partie décimale d'un nombre rationnel est infinie et périodique à partir d'un certain rang.
\item La division par 0 est \textbf{interdite} : l'écriture  $\dfrac{a}{0}$ n'a aucun sens.
\end{itemize}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

$-13 \in \Q$ ; \hfill  $0,5 \in \Q$ ; \hfill $-\dfrac{1}{3} \in \Q$ ; \hfill $\dfrac{22}{7} \in \Q$; \hfill  $\sqrt{2} \notin \Q$ ; \hfill $\pi \notin \Q$.

\subsection{nombres réels $\R$}
Dès l'antiquité, on avait découvert l'insuffisance des nombres rationnels. 

Par exemple, il n'existe pas de rationnel $x$ tel que $x^2 =2$ on dit que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.

\medskip

\cadreR{
L'ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels est l'ensemble des nombres réels noté $\R$}

\medskip

 Chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite graduée. Réciproquement, à chaque point de la droite graduée correspond un unique réel, appelé \emph{abscisse} de ce point.
 
 \subsubsection{inclusions}
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{4.5cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
 On a : $\N\subset\Z\subset\D\subset\Q\subset\R$. &  \begin{pspicture}(0,-.5)(10,6.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{linewidth=1pt,framearc=0.3, linecolor=prune}
\psframe(1.2,1.2)(4,2.5)
\uput*[r](2,2.5){\prune {$\N$}}
\uput[u](2,1.5){\bleu {$0$}}
\uput[d](2.9,1.9){\bleu {$2^3$}}
\uput[l](3.8,2){\bleu {$15$}}
\psframe(.9,.9)(5.5,3.5)
\uput*[r](2,3.5){\prune {$\Z$}}
\uput[r](2.3,2.9){\bleu {$-1$}}
\uput[d](4.5,3.2){\bleu {$-12$}}
\uput[d](4.6,2){\bleu {$-3^4$}}
\psframe(.6,.6)(7,4.5)
\uput*[r](2,4.5){\prune {$\D$}}
\uput[r](2,4){\bleu {$-0,475$}}
\uput[d](6.2,4.3){\bleu {$10^{-3}$}}
\uput[d](6.5,2.5){\bleu {$-\dfrac{3}{4}$}}
\psframe(.3,.3)(8.5,5.5)
\uput*[r](2,5.5){\prune {$\Q$}}
\uput[d](7.6,5.3){\bleu {$\dfrac{22}{7}$}}
\uput[d](7.4,2){\bleu {$-\dfrac{4}{3}$}}
\psframe[linewidth=1.25pt,framearc=0.3, linecolor=bleu](0,0)(10,6.5)
\uput[d](3.7,6.5){\bleu {$\sqrt{2}$}}
\uput[u](8.2,5.7){\bleu {$\cos 30^{\degres} $}}
\uput[d](9.2,5.2){\bleu {$\pi$}}
\uput[dl](9.7,2){\bleu {$-\sqrt{\dfrac{3}{4}}$}}
\uput*[r](2,6.5){\bleu {$\R$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx}
 
%\section{expressions algébriques}

\section{Développer, factoriser}

\subsection{Définition}

\cadreR{
\begin{itemize}
\item Développer un produit, c'est écrire ce produit sous la forme d'une somme.
\item Factoriser une somme, c'est écrire cette somme sous la forme d'un produit.
\end{itemize}
}
\subsection{Propriétés}

\subsubsection{Distributivité de la multiplication sur l'addition}
\cadreR{Pour tous nombres réels $a$, $b$ et $k$ on a :\vspace{1.2em}

 \[\rnode{A}{k\left( a+b\right)} =  \rnode{B}{ka+kb}\psset{nodesep=3pt,linewidth=0.75pt}
\ncbar[angle=90]{*->}{A}{B} \naput{\text{\footnotesize{Développer}}}\ncbar[nodesep=3pt,angle=-90]{*->}{B}{A} \naput{\text{\footnotesize{Factoriser}}}\]\vspace{.8em}
}
\subsubsection{Double distributivité}
\cadreR{Pour tous nombres réels $a$, $b$ , $c$ et $d$ on a : \[\left(a + b \right) \left( c + d \right) = ac + ad +bc + bd\]
}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip
\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner
\[ \begin{split} 
\left(\psDefBoxNodes{A1}{2x} + \psDefBoxNodes{A2}{3} \right) \left(\psDefBoxNodes{B1}{5}-\psDefBoxNodes{B2}{4x} \right) & =10x -8 x^2 +15 -12x\\
& = -8 x^2-2x+15\\
 	\end{split}
 	\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psset{nodesepB=3pt,linecolor=bleu}
 	\pcarc[arcangle=45]{->}(A1:tC)(B1:tC)\pcarc[arcangle=60]{->}(A1:tC)(B2:tC)
 	\psset{linecolor=prune}
 \pcarc[arcangle=-45]{->}(A2:bC)(B1:br)\pcarc[arcangle=-60]{->}(A2:bC)(B2:bC)
 	\]
\item Factoriser
\[6x^2-8x=2x\left(3x-4\right)\]
\end{enumerate}
\subsubsection{Identités remarquables}

\cadreR{Pour tous nombres réels $a$ et $b$  on a :
\bigskip \[\begin{array}{l}
\hskip .8cm \Rnode{A}{}\hskip 2cm \Rnode{B}{}\\
\left(a + b \right)^2 =  a^2 + 2ab +b^2\\
\left(a - b \right)^2 =a^2 - 2ab +b^2 \\
\left(a + b \right)\left( a- b\right) = a^2 - b^2\\
\hskip .8cm \rnode{C}{}\hskip 2cm \rnode{D}{}
\end{array}
\nccurve[angleA=45,angleB=135,YnodesepA=-6pt,YnodesepB=-6pt]{->}{A}{B} \naput{\text{\footnotesize{Développer}}}\nccurve[angleA=-45,angleB=-135,YnodesepA=-8pt,YnodesepB=-8pt]{<-}{C}{D} \nbput{\text{\footnotesize{Factoriser}}}
\]
\medskip
}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer
\begin{itemize}
\item[] \[\begin{split} \left(2x+\dfrac{3}{2}\right)^2 & =(2x)^2+2\times(2x)\times\dfrac{3}{2} +\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\\ &=4x^2+6x+\dfrac{9}{4}\end{split}\]
\item[] \[\begin{split}\left(3x-2\right)^2 &=(3x)^2-2\times(3x)\times 2 +2^2\\ &=9x^2-12x+4\end{split}\]
\item[] \[\begin{split}\left(5x+4\right)\left(5x-4\right)&=(5x)^2-4^2\\&=25x^2-16\end{split}\]
\end{itemize}

\item Factoriser
\begin{itemize}
\item[] \[\begin{split} 4x^2+12x+9 & =(2x)^2+2\times(2x)\times 3 +3^2\\ &=\left(2x+3\right)^2\end{split}\]
\item[] \[\begin{split}4x^2-2x+\dfrac{1}{4} &=(2x)^2-2\times(2x)\times \dfrac{1}{2} +\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\ &=\left(2x-\dfrac{1}{2}\right)^2\end{split}\]
\item[] \[\begin{split}16x^2-121&=(4x)^2-11^2\\&=\left(4x+11\right)\left(4x-11\right)\end{split}\]
\end{itemize}
\end{enumerate}

\section{intervalles et inéquations}
\subsection{intervalles}

Soient $a<b$ deux nombres réels :

 \begin{tabularx}{\linewidth}{@{}m{11cm} >{\raggedleft \arraybackslash}X@{}}
 L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant x \leqslant b$ est l'intervalle $[a;b]$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{[-]}(-1,0)(1.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(0.25,0.3){\prune $[a;b]$}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x < b$ est l'intervalle $]a;b[$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{]-[}(-1,0)(1.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(0.25,0.3){\small{\prune $]a;b[$}}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant x < b$ est l'intervalle $[a;b[$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{[-[}(-1,0)(1.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(0.25,0.3){\small{\prune $[a;b[$}}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant x < b$ est l'intervalle $]a;b]$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{]-]}(-1,0)(1.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(0.25,0.3){\small{\prune $]a;b]$}}
\end{pspicture}\\
 L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant x $ est l'intervalle $[a;+\infty [$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{[-}(-1,0)(2.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\rput(0.75,0.3){\small{\prune $[a;+\infty [$}}
\end{pspicture}\\
 L'ensemble des réels $x$ tels que $a < x $ est l'intervalle $]a;+\infty [$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{]-}(-1,0)(2.5,0)
\uput[d](-1,-.1){\footnotesize{\prune{$a$}}}
\rput(0.75,0.3){\small{\prune $]a;+\infty [$}}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $ x \leqslant b$ est l'intervalle $]-\infty;b]$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{-]}(-2.5,0)(1.5,0)
\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(-.5,0.3){\small{\prune  $]-\infty;b]$}}
\end{pspicture}\\
L'ensemble des réels $x$ tels que $ x < b$ est l'intervalle $]-\infty;b[$ &
\begin{pspicture}(-2.5,-.4)(2.5,.4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=false,ticks=none,linewidth=0.75pt]{-}(0,0)(-2.5,-.2)(2.5,0.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=prune]{-[}(-2.5,0)(1.5,0)
\uput[d](1.5,-.1){\footnotesize{\prune{$b$}}}
\rput(-.5,0.3){\small{\prune  $]-\infty;b[$}}
\end{pspicture}
\end{tabularx} 

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

\'Ecrire sous forme d'intervalle les ensembles de nombres réels suivants :

\begin{enumerate}
\item $ x \leqslant \dfrac{3}{4}$.

L'ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels $x$ inférieurs ou égaux à $\dfrac{3}{4}$. Il s'agit de l'intervalle  $\left]-\infty;\dfrac{3}{4}\right]$.

\item $-3 < x \leqslant \sqrt{2}$.

L'ensemble cherché est constitué de tous les nombres réels $x$ strictement supérieurs à $-3$ et inférieurs ou égaux à $\sqrt{2}$. Il s'agit de l'intervalle  $\left]-3;\sqrt{2}\right]$.
\end{enumerate}


\subsection{intersection et réunion d'intervalles}

Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$.
\begin{itemize}
\item \textbf{L'intersection} des intervalles $I$ et $J$, notée $I \cap J$  est l'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle $I$ \textbf{et} à l'intervalle $J$ :\[\text{Si }x\in I \text{ et }x \in J\text{, alors }x \in I \cap J \qquad ( \cap\text{ se lit \emph{inter}})\]
\item \textbf{La réunion} des intervalles $I$ et $J$, notée $I \cup J$  est l'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle $I$ \textbf{ou} à l'intervalle $J$ :\[\text{Si }x\in I \text{ ou }x \in J\text{, alors }x \in I \cup J \qquad ( \cup\text{ se lit \emph{union}})\]
\end{itemize}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemples}}}}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Soient les intervalles $I=\left] -\infty ; 3 \right]$ et $J=\left]-3 ; 5\right]$.
\begin{enumerate}
\item L'intersection des deux intervalles $I \cap J$ est l'ensemble des réels $x$ tels que : $ x \leqslant 3 $ et $-3 < x \leqslant 5$ soit $I \cap J = \left] -3 ; 3 \right]$.
\item La réunion des deux intervalles $I \cup J$ est l'ensemble des réels $x$ tels que : $ x \leqslant 3 $ ou $-3 < x \leqslant 5$ soit $I \cup J = \left] -\infty ; 5 \right]$.	
\end{enumerate}	

\item L'ensemble des réels non nuls $\R^*$ est l'ensemble des réels $x \in  \left] -\infty ; 0 \right[ \cup \left] 0 ;+\infty \right[$.
\end{enumerate}	

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\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 
 
\exo

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la différence entre le carré de 7 et la somme des sept premiers nombres impairs ?
\item Les nombres 152, 224 et 376 sont-ils divisibles par 8 ?

La conjecture \og Si la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par huit alors ce nombre est divisible par huit \fg{} est-elle vraie ou fausse ?
\item $a$ et $b$ sont deux nombres premiers tels que $a<b$  et $a+b$ est un nombre premier. Déterminer $a$.
\item Quel est le plus petit nombre de cubes que contient une boîte de dimensions 63 cm, 45 et 18 cm ? 
\item La somme de trois entiers consécutifs est-elle divisible par 3 ?
\item Le produit de trois entiers consécutifs est-il divisible par 8 ?
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Soit $n$ un entier naturel, développer le produit $\left( n+1 \right) \left( n+2 \right)$.
%
%En déduire une factorisation de  $E(n)=(n^2 +3n+1)^2-1$
%	\item Lorsque l'on augmente de 1 le produit de quatre nombres entiers consécutifs, obtient-on un carré parfait ?
%\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

\medskip

Avant d'effectuer sa tournée un représentant fait le plein d'essence. Au cours de ses déplacements, il rajoute dans son réservoir une première fois 24,7 litres d'essence et une deuxième fois 18,9 litres. 

À son retour, il constate qu'il manque 11,5 litres pour refaire le plein du réservoir d'une capacité de 60 litres.       

Sachant que la consommation moyenne du véhicule est de 5,8 litres pour 100 kilomètres, quelle est la distance parcourue par ce représentant au cours de sa tournée ?

\bigskip

\exo 

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\begin{enumerate}
	\item Donner trois nombres rationnels compris entre $\dfrac{6}{11}$ et $\dfrac{7}{11}$	
	\item Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{6}{7}$  pour obtenir l'inverse de $\dfrac{6}{7}$ ?	
\end{enumerate} 

  \bigskip 
 
  \exo 

 \medskip 

Soit $E=2x^3-x^2-5x-1$.

Calculer $E$ pour $x=-1$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$ ou $x=2$. Peut-on conclure que pour tout réel $x$, $E =1$  ? 

 \bigskip 
 
  \exo 

 \medskip 
 
 Les nombres de Mersenne sont les nombres entiers de la forme $M_n = 2^n -1$ où $n$ est un entier naturel non nul.
 \begin{enumerate}
 \item Calculer les nombres de Mersenne $M_3$ et $M_4$.
 \item La propriété \og  si $2^n -1$ est un nombre premier, alors $n$ est premier \fg{} a été démontrée.
 
 À l'aide d'un contre exemple, montrer que la réciproque de cette propriété est fausse.
 %(Par exemple, en 2016 on a vérifié  que le nombre de Mersenne $M_{\np{74 207 281}}=2^{\np{74 207 281}}-1$ est premier)
 \end{enumerate}

  \bigskip 
 
  \exo 

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\textsf{\textsc{\textbf{partie a}}}

\medskip
 
 On donne $a=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{\pi}{3}}$  et  $b=1-\dfrac{1}{2+\dfrac{\pi}{3}}$.
 
 \begin{enumerate}
 \item À l'aide de la calculatrice :
 \begin{enumerate}
 \item donner les troncatures d'ordre 3 des réels $a$ et $b$ ;
 \item donner les arrondis à $10^{-3}$ de $a$ et de $b$, en déduire le produit des deux valeurs approchées.
 \end{enumerate}
 \item Calculer la valeur exacte du produit des réels $a$ et $b$. Commenter.
 \end{enumerate}
 
\medskip 

\textsf{\textsc{\textbf{partie b}}}

\medskip

On donne $A=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{3}}$  et  $B=1-\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{3}}$ où $x$ est un réel strictement positif.

Le réel $A$ est-il l'inverse du réel $B$ ?

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\exo 

 \medskip 

Les égalités suivantes sont elles vraies ou fausses ?

\begin{enumerate}
	\item $(x-2)^2\left(x^2+2x+2\right)=x^4-2x^3-2x^2+6$
		\item $(x+2)\left(x^2-2x-1\right)=x^3-4x-2$
		\item $(x-3)\left(x^2+2x+1\right)=x^3-5x^2+7x-3$
\end{enumerate}
 
\bigskip 

\exo 

 \medskip 

Développer et réduire les expressions suivantes :

$A= 15x-\left(2x+3\right)^2$ ; \hfill $B= (x+2)(x-2)-\left(x+1\right)^2$ ; \hfill $C= \left(2-a\right)^2-\left(2+a\right)^2$ 

 \bigskip 
 
 \exo 

 \medskip 

Factoriser les expressions suivantes :

$A= 49x^2-14x+1$ ; \hfill $B= \left(x+3\right)^2-16$ ; \hfill $C= x^2-25-(x+5)(1-2x)$

 
  \bigskip 
 
 
  \exo 

 \medskip 
 
 Montrer que, si $a^2 - b^2$  est premier, alors les entiers $a$ et $b$ sont consécutifs.
 
 \bigskip
 
\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x=\dfrac{a+b}{2}$ et $y=\dfrac{a-b}{2}$, exprimer $x^2 -y^2$ en fonction de $a$ et $b$.
\item $x+y=a$ et $xy=b$. Exprimer $\left(x-y\right)^2$ en fonction de $a$ et $b$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

 Compléter par l'un des symboles : $\in$, $\notin$.
 
 \medskip
 
$\pi~\dots~ \left[ \dfrac{333}{106}; \dfrac{22}{7}\right]$ ;\hfill $-\dfrac{2}{3}~\dots~ \left]-\dfrac {1} {2}; \dfrac {1}{ 2}\right]$;\hfill
$0,2~\dots~\left]\dfrac{1}{5}; +\infty\right[$; \hfill  $\sqrt 2~\dots~\left[ \dfrac{7}{5} ; 1,414 \right[$

\bigskip

\exo

\medskip

 \begin{enumerate}
 \item Dans chacun des cas suivants, écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres réels vérifiant la condition donnée.

a) \; $x \geqslant -\dfrac{3}{7}$ ;\hfill b) \; $-\dfrac{2}{3}< x $;\hfill c) \; $\sqrt{2} < x \leqslant 3$ ; \hfill  d) \;$- \dfrac{3}{4} \geqslant x > -2$

\item Traduire chacune des informations ci-dessous par une ou des inégalités.

a) \; $x \in \left] - \infty ; -\dfrac{5}{6} \right]$ ;\hfill b) \; $x\in \left] -2; + \infty \right[$;\hfill c) \; $x\in \left] -\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right[$  ; \hfill  d) \; $x\in \left] -10^{-1}; \dfrac{1}{10^{-2}}\right]$
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\exo 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $S_1$ des solutions de l'inéquation $\displaystyle 2x-3 > 0 $
\item Déterminer l'ensemble $S_2$ des solutions de l'inéquation $\displaystyle 1-2x \geqslant 0$.
\item Déterminer l'ensemble $S_3$ des solutions de l'inéquation $\displaystyle 2x+3 \leqslant 5x +1$.
\end{enumerate} 

\end{document}