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\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
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\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma

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$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

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\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 16 septembre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{fonctions}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10}}}%droit
%pied de page                                              
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\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
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                                  {\reset@font\bfseries\red\sffamily\scshape\MakeLowercase}} 
                                 
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\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic {subsection}}
%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
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  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

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\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Généralités sur les fonctions.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonctions.}, 
pdfkeywords={Notion de fonction, variations,  cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}

\section{notion de fonction}

\subsection{fonction}

\cadreR{Définir une fonction $f$ sur un ensemble $\mathcal{D}$ de nombres réels, c'est associer à chaque nombre $x\in \mathcal{D}$ un \textbf{unique} nombre réel noté $f(x)$. On note :  \[\begin{split} f  \colon & \mathcal{D} \to \R  \\  & 
x \mapsto f(x)\end{split}\]
}

\medskip

 \begin{itemize}
 \item $\mathcal{D}$  est l'ensemble de définition de la fonction $f$. $x$ est la variable.
\item Le nombre $f(x)$ est l'image du réel $x$ par la fonction $f$.
\item Quand on sait que $f(x)=y$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
 \end{itemize}

\medskip

{\textsf{\textsc{\small{exemple}}}}

\medskip

$f$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty [$ par $f(x) = \sqrt{x}$.

\begin{itemize}
 \item L'ensemble de définition de la fonction $f$ est l'intervalle $[0 ;+ \infty [$.
 \item L'image de 9 par la fonction $f$ est $f(9) =\sqrt{9} = 3$.
 \item 9 est l'antécédent de 3 par la fonction $f$.
 \end{itemize}

\subsection{courbe représentative}

\cadreR{Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathcal{D}$ de nombres réels.

La courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère, est l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $\begin{cases}
x\in \mathcal{D} \\
y=f(x)
\end{cases} $.
}
\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.1*(x+5)*(x+2)*(3.25-x)*EXP(x/6)-1}
\def\g{.1*(x+5)*(x+1.5)*(3.25-x)*EXP(x/5)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{-|}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](2.5,0)(2.5,3.7)(0,3.7)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-2,0)(-2,-1)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-.8,0)(-.8,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-.8}{3.6}{\g}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=.8](-2,-1)(2.5,3.7)(-.8,1)
\uput[d](2.5,0){\small{\prune{$x$}}} \uput[l](0,3.7){\small{\prune{$y=f(x)$}}}
\uput[u](-2,0){\small{\prune{$a$}}} \uput[d](-.8,0){\small{\prune{$b$}}}
\uput[ur](2.5,3.7){\small{\prune{$M(x;y)$}}}
\uput[ul](4.2,-3){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\end{pspicture}
}

$C_f$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}=] - \infty; a] \cup [b; +\infty[$
\end{center}



\subsubsection{résolution graphique d'équation et d'inéquation}

Soient $C_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ et $m$ un réel.

\begin{itemize}
\item Les solutions de l'équation $f(x)= m$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $m$.
\item Les solutions de l'inéquation $f(x) < m$ (respectivement $f(x) > m$ ) sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est inférieure à $m$ ( respectivement supérieure à $m$ )
\end{itemize}
\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.1*(x+5)*(x+2)*(x-3)+2}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{-|}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}
\uput[dl](5,0){\small{$x$}} \uput[dl](0,5){\small{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-5,0)(-5,2)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-2,0)(-2,2)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](3,0)(3,2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](-7,2)(5,2)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{3.5}{\f}
\psdots[linecolor=prune,dotscale=.8](-5,2)(-2,2)(3,2)
\uput[ul](0,2){\small{\prune{$m$}}}
\uput[d](-5,0){\small{\prune{$x_1$}}} \uput[d](-2,0){\small{\prune{$x_2$}}}\uput[d](3,0){\small{\prune{$x_3$}}}
\uput[dl](4.2,5){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\end{pspicture}
}
\end{center}

L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = m$ est $\mathcal{S} = \left\lbrace x_1 ; x_2; x_3\right\rbrace$

L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant m$ est $\mathcal{S} = \left] -\infty ; x_1\right] \cup   \left[ x_2 ; x_3 \right]$


\section{variations}

\subsubsection{fonction croissante}

\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est  croissante sur un intervalle $I$ signifie que pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de $I$.

\begin{center}
Si $x_1 \leqslant x_2$ alors $f\left(x_1\right) \leqslant f\left( x_2\right)$
\end{center}
}

\medskip

On dit que la fonction $f$ conserve l'ordre : les réels de l'intervalle $I$ et leurs images par $f$ sont rangés dans le même ordre.

\subsubsection{fonction décroissante}
\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ signifie que pour tous réels $x_1$ et $x_2$ de $I$.

\begin{center}
Si $x_1 \leqslant x_2$ alors $f\left(x_1\right) \geqslant f\left( x_2\right)$
\end{center}
}
\medskip

On dit que la fonction $f$ change l'ordre : les réels de l'intervalle $I$ et leurs images par $f$ sont rangés dans un ordre contraire.

\subsubsection{fonction constante}

\cadreR{Dire que la fonction  $f$ est constante sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$.

\begin{center}
$f(x)=k$ où $k$ est un réel.
\end{center}
}
\subsubsection{tableau de variation}

\begin{center}
\scalebox{.8}{
\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-7,-3)(5,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.0022*(x+1)^3*(4*x^2+13*x-71)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-7,-3)(5,6)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{-|}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](1,0){\footnotesize{$I$}} \uput[l](0,1){\footnotesize{$J$}}
\uput[dl](5,0){\small{$x$}} \uput[dl](0,6){\small{$y$}}
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](2,0)(2,-1.72)(0,-1.72)
\psline[linewidth=.5pt, linecolor=prune,linestyle=dashed](-5,0)(-5,5.07)(0,5.07)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6.37}{3.6}{\f}
\uput[l](0,-1.72){\small{\prune{$m=f(b)$}}}
\uput[r](0,5){\small{\prune{$M=f(a)$}}}
\uput[d](-5,0){\small{\prune{$a$}}} \uput[u](2,0){\small{\prune{$b$}}}
\uput[dr](3.7,6){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\end{pspicture}
}
\end{center}

On résume les variations de la fonction $f$ à l'aide du tableau de variation suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,2.4)
\psframe[linewidth=0.6pt](15,2.4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.6)(15,1.6)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,2.4) 
 \rput(1,2){$x$} \rput(2.5,2){$- \infty$} \rput(6.5,2){$a$}  \rput(10.5,2){$b$}  \rput(14.5,2){$+\infty$}
\rput(1,.8){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{}} \rput(6.5,1.3){\rnode{B}{$M$}} \rput(10.5,.3){\rnode{C}{$m$}} \rput(14.5,1.3){\rnode{D}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
 \end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{extremum}

\cadreR{\begin{itemize}
\item Dire que la fonction  $f$ admet un maximum en $a$ sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$,  $f(x)\leqslant f(a)$.
\item Dire que la fonction  $f$ admet un minimum en $a$ sur un intervalle $I$ signifie que pour tout réel $x$  appartenant à $I$,  $f(x)\geqslant f(a)$.
\end{itemize}
}

\medskip

Dans l'exemple précédent : $M$ est le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $] -\infty ; b]$ atteint pour $x= a$ ;

$m$ est le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[ a ; + \infty [$ atteint pour $x= b$.

\newpage

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 
 

\exo
 
\medskip

\emph{\footnotesize{\og Avec une centaine de décès en moyenne par an, le monoxyde de carbone (CO) est la première cause de mortalité accidentelle par intoxication en France.\fg}}

\medskip
 
\textsf{\textbf{\textsc{\footnotesize{document 1}}}}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.8\linewidth}
\begin{center}
\textsf{\textbf{\footnotesize{Symptômes et effets sur la santé du monoxyde de carbone}}}

\scalebox{.5}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(11.5,10)
\newrgbcolor{violetF}{0.29 0 .51}
\newrgbcolor{violetC}{0.67 0.58 1}
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=lightgray,gradend=darkgray,gradmidpoint=0](2.6,-.5)(2.9,-.3)(2.9,8)(2.9,8)(3,8)(3.3,8.2)(2.3,9.7)(2,9.5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=violetC,gradend=violetF,gradmidpoint=0,gradlines=1000](1.4,-.5)(2.6,-.5)(2.6,8)(3,8)(2,9.5)(1,8)(1.4,8)(1.4,-.5)
\rput{90}(0.3,4.5){\textsf {\textbf{Niveaux croissants de CO}}}
\rput{90}(.8,4.5){\textsf {\textbf{dans l'air ambiant (en ppm)}}}
\psset{yunit=1.25cm}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=.5pt](2.9,\n)(3.7,\n)}
\multido{\n=0+1}{3}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,\n)(1.7,\n)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.3,\n)(2.6,\n)}
\multido{\n=3+1}{3}{\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,\n)(1.65,\n)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.35,\n)(2.6,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.4,6)(1.6,6)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.4,6)(2.6,6)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](1.5,7)(1.6,7)\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=white](2.4,7)(2.5,7)
\rput(2,0){\textbf{\white{10}}}\rput(2,1){\textbf{\white{20}}}\rput(2,2){\textbf{\white{40}}}\rput(2,3){\textbf{\white{100}}}\rput(2,4){\textbf{\white{200}}}\rput(2,5){\textbf{\white{400}}}\rput(2,6){\textbf{\white{1000}}}\rput(2,7){\textbf{\white{2000}}}
\large{
\uput[r](3.8,0){Pas de symptôme}
\uput[r](3.8,1.3){\violetF{Troubles du rythme cardiaque ressentis}}
\uput[r](3.8,1){\violetF{chez les personnes les plus sensibles,}}
\uput[r](3.8,.7){\violetF{souffrant de coronaropathie}}
\uput[r](3.8,2){Céphalées et nausées chez les enfants}
\uput[r](3.8,3.15){\violetF{Céphalées occasionnelles,}}
\uput[r](3.8,2.85){\violetF{souffle court lors d'un exercice}}
\uput[r](3.8,4.15){Céphalées, vertiges, baisse de l'acuité visuelle,}
\uput[r](3.8,3.85){irritabilité chez l'adulte et syncope chez l'enfant}
\uput[r](3.8,5.15){\violetF{Céphalées, confusion, évanouissements}}
\uput[r](3.8,4.85){\violetF{chez l'adulte}}
\uput[r](3.8,6){Coma, convulsions}
\uput[r](3.8,7){\violetF{Décès rapide}}
}
\end{pspicture}
}

\scriptsize{Source : Commission européenne 2014.}
\end{center}
\end{minipage}
}
\end{center}
\medskip
 
\textsf {\textbf{\textsc{\footnotesize{document 2}}}}

\medskip
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.8\linewidth}
{\footnotesize{La société COalerte fabrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel la concentration de monoxyde de carbone en parties par million (ppm). Un tel détecteur produit un signal d'alarme respectant les modalités fixées par la norme européenne EN 50 291 ci-dessous.

Il déclenche un signal d'alarme :

\begin{itemize}
\item si la concentration est supérieure à 30 ppm pendant au moins 120 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 100 ppm pendant au moins 10 minutes ;
\item si la concentration est supérieure à 300 ppm pendant au moins 3 minutes.
\end{itemize}
}
}
\end{minipage}
}
\end{center}


\bigskip

Un laboratoire d'essais procède à des tests sur un détecteur produit par la société COalerte en simulant un accident qui provoque une concentration anormale de monoxyde de carbone dans une pièce. Le laboratoire relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé en minutes. 

Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent par la représentation graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(16,9)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.2+10*x/3*EXP(-x/60)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(16,9)
\psset{xunit=0.03cm,yunit=0.09cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=30,Dy=10]{->}(0,0)(-15,-5)(480,90)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{0}{480}{\f}
\uput[dl](480,-5){\footnotesize{\sf Temps en minutes}}
\uput[dr](0,90){\footnotesize{\sf Concentration de monoxyde de carbone en ppm}}
\end{pspicture}
\end{center}

À partir du graphique et des documents précédents :

\begin{enumerate}
\item Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d'alarme.
\item Une personne présente dans la pièce depuis le début d'un tel accident risquerait-elle
de présenter des symptômes ? Si oui, lesquels ?
\end{enumerate}


\bigskip

\exo

$f$  et $g$ sont deux fonctions

\begin{enumerate}
	\item Traduire chacune des phrases suivantes à l'aide d'égalités :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}X@{\extracolsep{\fill}}X@{}}
a)\: L'image de $-3$  par la fonction $f$ est 1. & b)\: L'antécédent de $\sqrt{3}$   par la fonction $f$ est 2.\\
c)\: $- 5$ a pour image 2 par la fonction $g$. & d)\: 3 a pour antécédents $-2$  et 2 par la fonction $g$.\\
	\end{tabularx}
	
	\item 	On sait que $f(-2)=1$ et $g(1)=-2$ 	
\begin{enumerate}
	\item Traduire chacune des deux égalités par une phrase contenant le mot \og image \fg{}.
	\item Traduire chacune des deux égalités par une phrase contenant le mot \og antécédent\fg{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

La courbe $C_f$  tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
 
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-18,-11)(14,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.2*(4-x)*(x+2.5)*(20/11)^(x/3)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-18,-11)(14,4)
\psset{xunit=.8cm,yunit=.4cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.8mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.75pt, Dy=2]{->}(0,0)(-9,-11)(7,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](7,0){$x$}
\uput[dl](0,4){$y$}
\uput[dr](-9,-3){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-9}{5.98}{\f}
\end{pspicture}
\end{center} 

Par lecture graphique :	
\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'image de $5$ par la fonction $f$ ? 
	\item Quels sont les antécédents de 2 ?
	\item Résoudre $f(x)=0$.
	\item Résoudre $f(x)>2$.	
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo 

 \medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-3;3]$. On sait que :
\begin{itemize}
	\item les images de $-3$ ; 0 et 3 par la fonction $f$ sont respectivement 5 ; 0,5 et $-4$
	\item 0 a exactement deux antécédents $-1$ et 2.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse :
\begin{enumerate}
	\item L'équation $f(x)=0$  admet exactement deux solutions.
	\item Le point $M(-1;0)$  appartient à la courbe représentative de la fonction $f$.
	\item La courbe représentative de la fonction $f$ coupe l'axe des ordonnées en deux points.
\end{enumerate}
	\item Parmi les quatre courbes représentées ci-dessous, quelles sont celles qui peuvent représenter la fonction $f$ ? (\emph{Justifier})

\medskip
\psset{unit=.28cm}
\begin{pspicture}(-7,-12)(7,12)
\rput(0,-10){\small{\textsf{courbe} $\mathcal{C}_1$}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{.5+.75*x-.25*x^3}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-9)(7,12)
\psset{unit=.56cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.4mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5.6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=600,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3}{3}{\f}
\end{pspicture}	\hfill \psset{unit=.28cm}
\begin{pspicture}(-7,-12)(7,12)
\rput(0,-10){\small{\textsf{courbe} $\mathcal{C}_2$}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{(x+1)*(17*x^2+78*x-54)/54}
\def\h{(2-x)*(5*x^2+39*x+54)/54}
\def\g{(2-x)*(x-.5)*(x+1)/2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-9)(7,12)
\psset{unit=.56cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.4mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5.6){\footnotesize{$y$}}
\psset{algebraic=true,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=150]{-3}{0}{\f}
\rput{90}{\psplot[plotpoints=150]{-1}{2}{\g}}
\psplot[plotpoints=150]{0}{3}{\h}
\end{pspicture} \hfill \psset{unit=.28cm}
\begin{pspicture}(-7,-12)(7,12)
\rput(0,-10){\small{\textsf{courbe} $\mathcal{C}_3$}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\f{.5*(x+1)*(x-2)}
\def\g{(.5*x-.25)*(x+1)*(x-2)}
\def\h{(x+1)*(2-x)}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-9)(7,12)
\psset{unit=.56cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.4mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5.6){\footnotesize{$y$}}
\psset{algebraic=true,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu}
\psplot[plotpoints=100]{-3}{-1}{\f}
\psplot[plotpoints=150]{-1}{2}{\g}
\psplot[plotpoints=50]{2}{3}{\h}
\end{pspicture} \hfill	\psset{unit=.28cm}\begin{pspicture}(-7,-12)(7,12)
\rput(0,-10){\small{\textsf{courbe} $\mathcal{C}_4$}}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-9)(7,12)
\psset{unit=.56cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=.4mm,ticksize=-2pt 2pt,linewidth=0.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.5)(3.5,6)
\uput[dl](0,0){\scriptsize{0}}
\uput[d](3.3,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[l](0,5.6){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](-3,5)(-2,5)(-1,0)(1,1)(2,0)(3,-4)
\end{pspicture}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo  

 \medskip 

Soit  $f$ une fonction définie sur l'intervalle  $\left[-10;10 \right]$. Son tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14.8,2.4)
\psframe[linewidth=0.6pt](14.8,2.4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.6)(14.8,1.6)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,2.4) 
 \rput(1,2){$x$} \rput(2.4,2){$- 10$} \rput(6.4,2){$-5$} \rput(8.4,2){$1$} \rput(10.4,2){3} \rput(12.4,2){5} \rput(14.4,2){$10$}
\rput(1,.8){$f(x)$} \rput(2.4,1.3){\rnode{A}{$-3$}} \rput(6.4,.3){\rnode{B}{$-5$}} \rput(10.4,1.3){\rnode{C}{$2$}} \rput(14.4,.3){\rnode{D}{$-1$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
\ncline{A}{B} \ncline{B}{C} \ncput*{0}\ncline{C}{D}\ncput*{0}
 \end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner le tableau du signe de $f$ suivant les valeurs de $x$.
	\item Comparer $f\left(-1\right)$ et $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)$
	\item Le tableau permet-il de comparer les images de 2 et 4 ?
	\end{enumerate}	

 \bigskip 

\exo  

 \medskip 

La courbe $C_f$  tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
 
\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-16,-10)(16,7)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{2.5*x*(x+4)^2*(6-x)/405}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-10)(16,7)
\psset{unit=.8cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-8,-5)(8,3.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,3.5){\footnotesize{$y$}}
\rput(7.5,-4.5){\bleu{\textbf{$C_f$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-6.987}{6.966}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}
 
\`A partir du graphique, répondre aux questions suivantes :	

\begin{enumerate}
	\item Quels sont les antécédents de $0$ par la fonction $f$ ?
	\item Pour chacune des solutions de l'équation $f(x)=-2$, déterminer un intervalle d'amplitude 0,5 auquel appartient cette solution.
	\item Donner le tableau du signe de $f$ suivant les valeurs de $x$.
	\item \'Etablir le tableau des variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo
 
\medskip

On dispose d'une ficelle de longueur 51 cm que l'on coupe en deux. Avec un des morceaux on forme un carré, et avec l'autre on forme un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur.

\medskip

\textbf{Peut-on couper la ficelle de telle sorte que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale ?} 

\medskip

On note $x$ la longueur de ficelle utilisée pour le carré.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
	\begin{pspicture}(10,1.5)  
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\definecolor{mauveClair} {rgb}{.95 .9 .95}
\definecolor{bleuClair} {rgb}{.85 .91 1}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=bleu]{-|}(0,1.25)(4,1.25)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=prune](4,1.25)(10,1.25)
\psframe[linewidth=2pt,linecolor=bleu, fillstyle=solid,fillcolor=bleuClair](1.5,0)(2.5,1)
\psframe[linewidth=2pt,linecolor=prune,fillstyle=solid,fillcolor=mauveClair](6,0)(8,1)
\rput(2,1.5){$x$} \rput(7,1.5){?}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire du carré.
\item Exprimer en fonction de $x$ la longueur de ficelle utilisée pour le rectangle. 

En déduire que l'aire du rectangle vaut $\dfrac{\left(51-x\right)^2}{18}$
\end{enumerate}
\item On note $f$ la fonction qui à $x$ associe la somme des aires du carré et du rectangle.	
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de valeurs possibles pour le réel $x$ ?
	\item Donner une expression de $f(x)$.
\end{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on a tracé la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$

\begin{center}
\psset{unit=.4cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(30,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{17*(x^2-48*x+1224)/144}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-1)(29,18)
\psset{xunit=.2cm,yunit=.4mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-4,-10)(58,180)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](58,0){\footnotesize{$x$}}
\uput[dl](0,180){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{0}{51}{\f}
\uput[u](52,160){\bleu{\textbf{$\mathcal{C}_f$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\`A partir du graphique, répondre aux questions suivantes :	

\begin{enumerate}
	\item \'Etablir le tableau des variations de la fonction $f$.
	\item Pour quelle valeur de $x$, la somme des aires du carré et du rectangle est minimale ?
	\item On suppose qu'on ne coupe pas la ficelle et qu'on forme avec cette ficelle soit un carré  soit un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur.
	
	L'aire du rectangle est-elle supérieure à celle du carré ?
\end{enumerate}
\item Calculer $f(24)$ et interpréter le résultat.	
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

On considère une fonction  $f$ définie sur l'intervalle  $\left[-5;5 \right]$ . Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(14,3)
\psframe[linewidth=0.6pt](14,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,2.2)(14,2.2)
 \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,3)
\psline{->}(2.8,1.7)(5.3,0.3)\psline{->}(6.3,0.3)(9.3,1.7) \psline{->}(10.4,1.7)(13.4,0.3) 
\uput[u](1,2.3){$x$} \uput[u](2.4,2.3){$- 5$} \uput[u](5.75,2.3){$-1$}  \uput[u](9.9,2.3){$1$}\uput[u](13.7,2.3){$5$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$} \uput[d](2.4,2){$5$} \uput[u](5.75,0){$1$}  \rput(9.9,1.8){$2$} \uput[d](13.7,.6){$-1$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Comparer $f\left(-\dfrac{5}{3}\right)$ et $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$
	\item Peut-on comparer les images de 0 et de 3 ?
	\item Pour chacune des propositions suivantes, justifier si elle est vraie ou fausse :	
\begin{enumerate}
	\item Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $2\leqslant a < b \leqslant 4$  alors $f(a)<f(b)$.
	\item Tous les réels de l'intervalle  $\left[-5;0 \right]$ ont une image supérieure ou égale à 1.
	\item Il existe un seul réel de l'intervalle  $\left[-5;5 \right]$ qui a une image négative.
\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=x^2-2x-1$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les images de $0$ ; de $\left(1+\sqrt{2}\right)$ et de $\left(1-\sqrt{2}\right)$.
\item Peut-on conclure que pour tout réel $x$, $f(x)$ est un entier relatif ?
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=(x-2)^2-9x^2$ . On note $C_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Développer l'expression de $f(x)$.
	\item Calculer l'image par la fonction $f$ de $-\dfrac{1}{2}$  ?
	\item Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec les axes du repère ?
	\item Quelles sont les abscisses des points de la courbe $C_f$  qui ont pour ordonnée 4 ?
\end{enumerate}

 \bigskip 

\exo 

 \medskip 

Soit $f$  la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=(2x-1)^2-(3x+2)^2$ . On note $C_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)$.
	\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_f$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
	\item Développer l'expression de $f(x)$.
	\item Calculer l'image par la fonction $f$ de 0.
	\item Quelles sont les antécédents par la fonction $f$ de $(-3)$ ?
\end{enumerate}

 \bigskip
 
\exo

\medskip

\begin{minipage}{10cm}
$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ avec $AB=7$ et $BC=9$. 

Soit $I$ un point du segment $\left[ AB \right]$, la parallèle à la droite $\left( BC \right)$ coupe le segment $\left[ AC \right]$ au point $J$. 

On pose $AI=x$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{6cm}
	\begin{flushright}
	\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
	\rput{10}{
\pstriangle[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](2.25,0)(4.5,2.68)
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](1.125,1.34)(3.375,1.34)
\uput[ul](2.5,2.68){\bleu $A$}
\uput[dl](0,0){\bleu $B$}
\uput[dr](4.5,0){\bleu $C$}
\uput[l](1.125,1.34){\prune $I$}
\uput[r](3.375,1.34){\prune $J$}
\uput[ul](1.6,1.8){$x$}
}
\end{pspicture}
	\end{flushright}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
	\item Exprimer la distance $IJ$ en fonction de $x$.
	\item On note $f$ la fonction qui à $x$ associe le périmètre du triangle $AIJ$.	
\begin{enumerate}
	\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
	\item Donner une expression de $f(x)$.
\end{enumerate}	
	\item On note $g$ la fonction qui à $x$ associe le périmètre du quadrilatère $IJCB$.
		
	Donner une expression de $g(x)$.
	\item Déterminer la position du point $I$ telle que $IJCB$ et $AIJ$ aient le même périmètre.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

 \medskip 
 
 $ABCD$ est un rectangle de longueur $AB= 10$ et de largeur $AD= 4$. 
 
 $M$ est un point mobile le long de la ligne brisée $ABC$.  
 
 Si $M\in [AB]$, on pose $x=AM$ ; si $M\in [BC]$, on pose $x=AB + BM$.

\medskip

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(12,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dr](12,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](12,5){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](3.5,0){\prune{$x$}}
\uput[d](7,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(7,0)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,5)(7,0)
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(12,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dr](12,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](12,5){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ul](0,5){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](6,0){\prune{$x$}}
\uput[r](12,2){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,0)(12,0)(12,2)
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,5)(12,2)
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{A}(x)$ est selon la position du point $M$ l'aire du triangle $ADM$ ou du trapèze $ADMB$. 

Exprimer $\mathcal{A}(x)$ en fonction de $x$.
	\item Représenter la fonction $\mathcal{A}$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
	\item Déterminer la position du point $M$ telle que l'aire $\mathcal{A}(x)$ soit égale au tiers de l'aire du rectangle.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
\exo

\medskip

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(0;4)$, $B(-3;0)$ et $C(7,5;0)$. 

$M(x;0)$ est un point du segment $[BC]$. Soit $f$ la fonction qui à $x$ associe la distance $AM$.

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
\item 

\begin{enumerate}
	\item \'Etablir le tableau des variations de la fonction $f$.
	\item En déduire le nombre de solutions de chacune des équations suivantes  $f(x)=3$ ; $f(x)=4$ ; $f(x)=5$ et $f(x)=9$.
\end{enumerate}
\item Résoudre les équations  $f(x)=4,1$ et $f(x)=5,8$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\exo 

 \medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[- 3 ; 4 \right]$ par $f(x)=2x^2-3x$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les antécédents de 0 par la fonction  $f$.
	\item Compléter le tableau suivant : 
		
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
$f(x)$ \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &   &   &   &   &   &   &   &   \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Pourquoi peut-on affirmer que la fonction $f$ n'est pas monotone sur $\left[- 3 ; 4 \right]$ ?
\item Calculer l'image de 0,8. Le tableau permet-il de trouver le minimum de la fonction  $f$ ?
\item 
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[- 3 ; 4 \right]$, $f(x)-f\left(\dfrac{3}{4}\right)=2 \left( x-\dfrac{3}{4}\right)^2$.
	\item En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction $f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}