\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[scaled=0.9]{helvet}
\usepackage{courier}
\DeclareSymbolFont{lmodern}{U}{euex}{m}{n}
\DeclareMathSymbol\infty \mathord{lmodern}{"31}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{dsfont}
\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2.5cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr} 
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{26pt}
\setlength{\footskip}{18pt}
\renewcommand {\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand {\footrulewidth}{0pt}
\usepackage{lastpage}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{hyperxmp}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\pagestyle{fancy}
\usepackage {array}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{eqnarray}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathtools} %pour l'alignement des termes d'une matrice
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot}
\usepackage{ifthen}
\usepackage{calc}
\usepackage{esvect}
\usepackage{pifont}
% Mise en forme des algorithmes
\usepackage[french,boxed,titlenumbered,lined,longend]{algorithm2e}
  \SetKwIF {Si}{SinonSi}{Sinon}{si}{alors}{sinon\_si}{alors}{fin~si}
 \SetKwFor{Tq}{tant\_que~}{~faire~}{fin~tant\_que}
 \SetKwFor{PourCh}{pour\_chaque }{ faire }{fin pour\_chaque}
 \SetKwInput{Sortie}{Sortie}
\newcommand{\Algocmd}[1]{\textsf{\textsc{\textbf{#1}}}}\SetKwSty{Algocmd}
  \newcommand{\AlgCommentaire}[1]{\textsl{\small  #1}}  
%
\usepackage[np]{numprint}

 \setlength{\parindent}{0mm}
\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {1.}{a)}{}{}
\hyphenpenalty 10000 % empèche la coupure de mots
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
\newcommand{\R}{\mathds {R}}
\newcommand{\N}{\mathds {N}}
\newcommand{\Z}{\mathds {Z}}
\newcommand{\Q}{\mathds {Q}}
\newcommand{\D}{\mathds {D}}

\newcommand{\fvalid}{\raisebox{1ex}{\rotatebox{180}{$\Rsh$}}} % flèche entrée pour prg casio
\DecimalMathComma


\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }

\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%

% en-tête
\lhead{\footnotesize{\textsf{Lycée JANSON DE SAILLY\\ 06 octobre 2017}}} %gauche
\chead{\textsf{\textcolor{red}{\textbf{\textsc{fonctions affines}}}}} %centre
\rhead{\footnotesize{\textsf{2\textsuperscript{nde} 10}}}%droit
%pied de page                                              
\rfoot{\scriptsize{\textsf{Page~\thepage{}~sur~\pageref{LastPage}}}}
\lfoot{ \htmladdnormallink{\scriptsize{\textsf{\textsc{A. Yallouz (MATH@ES)}}}}{http://yallouz.arie.free.fr}}
%\setcounter{secnumdepth}{3}
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                  {\reset@font\bfseries\red\sffamily\scshape}} 
                                 
\renewcommand\subsection{\@startsection {subsection}{2}{\z@}%
                                   {-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                   {2.3ex \@plus.2ex}%
                                   {\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\blue}}  
                                
\renewcommand\subsubsection{\@startsection {subsubsection}{3}{\z@}%
	{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
	{2.3ex \@plus .2ex}%
	{\reset@font\bfseries\sffamily\scshape\small}}
\makeatother
\setcounter{secnumdepth}{2}

\renewcommand\thesection{\Roman {section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection} --}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\renewcommand\theequation{\thesection.\arabic{equation}}
\@addtoreset{equation}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

\newcounter{nexo}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nexo}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\exo}{
  \stepcounter{nexo} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{EXERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
  
  \newcounter{nactivite}           % déclaration du numéro d'exo
\setcounter{nactivite}{0}        % initialisation du numero

\newcommand{\act}{
  \stepcounter{nactivite} 
  \par{\textsf{\textbf{\textcolor{blue}{{\small{\textsc{activité} \; \arabic{nactivite}}}}}}}}

%%%% debut macro %%%%
\makeatletter
\@addtoreset{nactivite}{section}
\makeatother
%%%% fin macro %%%%

   
\newrgbcolor{Rfond}{.995 0.945 .985}  
\newrgbcolor{Rougef}{.8 0.1 .2}
\newrgbcolor{Rbord}{.6 0.1 .4}

\newcommand{\cadreR}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2,fillstyle=solid,fillcolor=Rfond]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}
\newcommand{\cadreB}[1]{%
\psframebox[framesep=.8em,linecolor=black,linewidth=0.25pt,framearc=0.2]{\begin{minipage}{\linewidth-1.6em}%
#1\end{minipage}}}

\newcommand{\dem}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: démonstration}}}}}%
   \medskip}
  

   \newcommand{\preuve}{
 \medskip
  \par{\textsf{\textsc{{\small{\ding{106}\: preuve}}}}}%
   \medskip} 
    

\newcommand{\encadrer}[1]{
{\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{#1}}}

\hypersetup{
pdftitle={Fonctions.}, 
pdfauthor={Arié Yallouz},   
pdfsubject={Fonctions affines.}, 
pdfkeywords={Fonction affine, définition, variation, signe. Inéquations, tableau de signes,  cours, exercices.},
pdfcontacturl={http//yallouz.arie.free.fr/},
pdflang={fr},
baseurl={http://yallouz.arie.free.fr/seconde_cours/index_poly_seconde.php}
}

\begin{document}
\section{fonction affine}

\subsection{définition}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est une fonction affine.
}

\medskip

\textsf{\textsc{\small{exemples}}}

\medskip

 \begin{itemize}
 \item La fonction $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = \dfrac{x}{2}-3$ est une fonction affine avec $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=-3$.
\item La fonction $f$ définie pour tout réel $x \ne 0$ par $f(x) = \dfrac{2}{x}-3$ n'est pas une fonction affine.
 \end{itemize}

\subsubsection{cas particuliers}

\begin{itemize}
 \item Dans le cas où $b=0$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax$ est appelée fonction linéaire.
 \item Dans le cas où $a=0$, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=b$ est une fonction constante.
 \end{itemize}

\subsection{proportionnalité des accroissements}

\cadreR{$f$ est une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distincts, on a : \[\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = a\]
}
\dem
 \begin{itemize}
 \psset{framearc=0.5}
 \item[\rnode{A}{\psframebox{$\Rightarrow$}}] Soit $f$ une fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$.

 Alors pour tous réels $x_1 \ne x_2$ on a : \[\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = \dfrac{a x_2 +b-ax_1 -b}{x_2 - x_1} = \dfrac{a \left(x_2 -x_1\right)}{x_2 - x_1} =a\]
 \item[\rnode{A}{\psframebox{$\Leftarrow$}}] Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ telle que, pour tous réels $x_1 \ne x_2$, on a \: $\dfrac{f\left( x_2 \right) - f\left( x_1 \right)}{x_2 - x_1} = a$.
 
 Alors, en particulier pour tout réel $x \ne 0$ on a : \[\dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} = \dfrac{f(x)-f(0)}{x} = a\]
 D'où $f(x)-f(0)=ax$. Soit en notant l'image de 0 $f(0)=b$, on obtient pour tout réel $x$, $f(x)=ax+b$.
 
 Ainsi, $f$ est une fonction affine.
 \end{itemize}
 
 \medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip

  Déterminer la fonction affine $f$ telle que $f(-6)=5$ et $f(3)=-1$.
	
$f$ est une fonction affine d'où pour tout réel $x$, $f(x)=ax+b$ avec \[a=\dfrac{f(3) - f(-6)}{3 - (-6)} \qquad \text{Soit} \qquad a=\dfrac{-1-5}{3 +6}=-\dfrac{2}{3} \]
Ainsi, $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+b$. Or $f(3)=-1$ d'où \[\begin{split} -\dfrac{2}{3} \times 3 +b =-1 & \Leftrightarrow -2 +b =-1\\
&  \Leftrightarrow b =1
\end{split}\]

$f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-\dfrac{2}{3}x+1$.

\subsection{variation}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

\begin{itemize}
 \item Si $a$ est positif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = ax+b$ est croissante.
\item Si $a$ est négatif, la fonction affine $f$ définie sur $\R$  par $f(x) = ax+b$ est décroissante.
 \end{itemize}
}
\dem
 
 	\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
 	Si $a$ est positif :
 
 Soit $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que \; $x_1 \leqslant x_2 $
 
 Comme $a \geqslant 0$, \; $ax_1\leqslant ax_2$. D'où \; $ax_1 +b \leqslant ax_2+b$
 
 Soit $f\left( x_1 \right) \leqslant f\left( x_2 \right)$

 Donc $f$ est croissante
 & Si $a$ est négatif :
 
 Soit $x_1$ et $x_2$ deux réels tels que  $x_1 \leqslant x_2 $
 
 Comme $a \leqslant 0$, $ax_1\geqslant ax_2$. D'où  $ax_1 +b \geqslant ax_2+b$
 
 Soit $f\left( x_1 \right) \geqslant f\left( x_2 \right)$

 Donc $f$ est décroissante
 	\end{tabularx}
 	
 \subsection{signe de $ax+b$ avec $a \ne 0$}
 
 \cadreR{Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par $f(x)= ax+b$ avec $a \ne 0$.

 $f(x)$ est du signe de $a$ pour les valeurs de $x$ supérieures à $-\dfrac{b}{a}$.
  
}
\dem 

 Si $a\ne0$ alors l'équation $ax+b=0$ admet pour solution $x=-\dfrac{b}{a}$. 

 	\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X}
Si $a >0$ alors  $f$ est strictement croissante : 
 
donc pour tout réel $x < -\dfrac{b}{a}$,  $f(x) < f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$
 
 soit pour tout réel $x < -\dfrac{b}{a}$,  $f(x) < 0$
 
D'où le tableau du signe de $f(x)$

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,3.25)
\psframe[linewidth=0.6pt](15,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.5)(15,1.5)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,3) 
 \rput(1.5,2.25){$x$} \rput(4,2.25){$- \infty$} \rput(9,2.25){$-\frac{b}{a}$}   \rput(14,2.25){$+\infty$}
\rput(1.5,.75){$f(x)$} \rput(6.5,.75){$-$} \pnode(9,0){m1}\pnode(9,1.5){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(11.5,.75){$+$}
 \end{pspicture}
& Si $a <0$ alors  $f$ est strictement décroissante : 
 
donc pour tout réel $x < -\dfrac{b}{a}$,  $f(x) > f\left(-\dfrac{b}{a}\right)$
 
 soit pour tout réel $x < -\dfrac{b}{a}$,  $f(x) > 0$
 
D'où le tableau du signe de $f(x)$

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,3.25)
\psframe[linewidth=0.6pt](15,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.5)(15,1.5)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,3) 
 \rput(1.5,2.25){$x$} \rput(4,2.25){$- \infty$} \rput(9,2.25){$-\frac{b}{a}$}   \rput(14,2.25){$+\infty$}
\rput(1.5,.75){$f(x)$} \rput(6.5,.75){$+$} \pnode(9,0){m1}\pnode(9,1.5){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(11.5,.75){$-$}
 \end{pspicture}
 	\end{tabularx} 
 	
 Par conséquent, si $a\ne0$ :	
 	\begin{center}
\psset{unit=.75cm}
\begin{pspicture}(18,3)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=0.6pt](18,3)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1.5)(18,1.5)
 \psline[linewidth=0.6pt](4,0)(4,3) 
 \rput(2,2.25){$x$} \rput(4.8,2.25){$- \infty$} \rput(11,2.25){$-\dfrac{b}{a}$}   \rput(17.2,2.25){$+\infty$}
\rput(2,.75){$f(x)=ax+b$} \rput(7.9,.75){\prune{signe de $-a$}} \pnode(11,0){m1}\pnode(11,1.5){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0}\rput(14.1,.75){\prune{signe de $a$}}
 \end{pspicture}
\end{center}
	
\subsection{courbe représentative}

\cadreR{Soit $a$ et $b$ deux réels.

La courbe représentative de la fonction affine $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax+b$ est la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=ax+b$.
}

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-.5*x+1.5}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\rput(1,5){$a<0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\uput[ur](-4,3.5){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\uput[d](3,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{a}$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\rput(1,5){$a=0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=bleu](-4,1.8)(6,1.8)
\uput[ur](-4,1.8){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{.5*x-1}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\rput(1,5){$a>0$}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-3)(6,4)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(-0.1,-0.1)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](6,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,4){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-4}{6}{\f}
\uput[ur](-4,-2.6){\bleu{\footnotesize{$\mathcal{D}$}}}
\uput[d](2,0){\prune{\footnotesize{$-\dfrac{b}{a}$}}}
\end{pspicture}
\end{center}


\section{inéquations}

Pour résoudre une inéquation à une inconnue on peut être amené à étudier le signe d'une expression.

\begin{center}
Résoudre $A(x) \leqslant B(x)$ équivaut à résoudre $A(x) - B(x) \leqslant 0$.
\end{center}

\subsection{étude du signe d'un produit}

\subsubsection{règle des signes d'un produit}

\cadreB{
 Le produit de deux nombres de même signe est positif.  Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. 
} 
  
 \subsubsection{tableau de signes d'un produit}

Pour étudier le signe d'un produit :

\begin{itemize}
 \item On étudie le signe de chaque facteur. 
 \item On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
 \item On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
 \end{itemize} 
 
 \medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip
 
Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\left( 2x+3 \right)^2 \leqslant \left( 3x-1 \right)^2$

Pour tout réel $x$, \[
\begin{split}
\left( 2x+3 \right)^2 \leqslant \left( 3x-1 \right)^2 & \Leftrightarrow \left( 2x+3 \right)^2 - \left( 3x-1 \right)^2 \leqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \left[ (2x+3) +( 3x-1) \right]\times\left[ (2x+3) -( 3x-1) \right] \leqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \left(2x+3 + 3x-1 \right)\left(2x+3 - 3x+1 \right) \leqslant 0\\
&  \Leftrightarrow \left(5x+2 \right)\left(4-x \right) \leqslant 0\\
\end{split}
\]
\'Etudions le signe du produit $\left(5x+2 \right)\left(4-x \right)$ à l'aide d'un tableau de signe.

On étudie les signe de chacun des facteurs du produit :
\[ 5x+2 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant - \dfrac{2}{5} \qquad \text{et} \qquad 4-x \leqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 4\]
On résume dans un seul tableau le signe de chacun des facteurs et, on en déduit le signe du produit en utilisant la règle des signes d'un
produit  :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,4)
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psframe[linewidth=0.6pt](16,4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,1)(16,1)\psline[linewidth=0.6pt](0,2)(16,2)\psline[linewidth=0.6pt](0,3)(16,3)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,4)
 \psset{arrows=-,linewidth=.5pt} 
 \rput(1.5,3.5){$x$} \rput(3.5,3.5){$- \infty$} \rput(7.5,3.5){$-\dfrac{2}{5}$} \rput(11.5,3.5){$4$}  \rput(15.5,3.5){$+\infty$}
 \rput(1.5,2.5){$5x+2$} \rput(5.5,2.5){$-$}\pnode(7.5,3){m3}\pnode(7.5,2){m2}\ncline{m3}{m2}\ncput*{0} \rput(9.5,2.5){$+$} \pnode(11.5,3){n3}\pnode(11.5,2){n2}\ncline{n3}{n2}\rput(13.5,2.5){$+$} 
 \rput(1.5,1.5){$4-x$} \rput(5.5,1.5){$+$}\pnode(7.5,1){m1}\ncline{m2}{m1} \rput(9.5,1.5){$+$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n2}{n1}\ncput*{0}\rput(13.5,1.5){$-$}
 \rput(1.5,0.5){$\left(5x+2 \right)\left(4-x \right)$} \rput(5.5,0.5){$-$}\pnode(7.5,0){m0}\ncline{m1}{m0}\ncput*{0} \rput(9.5,0.5){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){$-$}  
 \end{pspicture}
\end{center}

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\left(5x+2 \right)\left(4-x \right) \leqslant 0$ est $S=\left] - \infty ; -\dfrac{2}{5}\right] \cup \left[\vphantom{\dfrac{2}{5}} 4 ; + \infty \right[$.


\subsection{étude du signe d'un quotient}

\subsubsection{Règle des signes d'un quotient}

\cadreB{
 Le quotient de deux nombres de même signe est positif.  Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. 
} 
 
  
 \subsubsection{tableau de signes d'un quotient}

Pour étudier le signe d'un quotient :

\begin{itemize}
 \item On cherche les valeurs qui annulent le dénominateur (valeurs interdites). 
 \item On regroupe dans un tableau le signe de chaque terme. 
 \item On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.
 \end{itemize} 
 
 \medskip

\textsf{\textsc{\small{exemple}}}

\medskip
 

Résoudre dans $\R$  l'inéquation $\dfrac{2x+7}{3x+2} \geqslant 2$

Le quotient $\dfrac{2x+7}{3x+2}$ est défini pour tout réel $x$ tel que le dénominateur $3x+2 \ne 0$.

Comme $3x+2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -\dfrac{2}{3}$, le quotient $\dfrac{2x+7}{3x+2}$ est défini pour tout réel $x \ne -\dfrac{2}{3}$ : \[
\begin{split}
\dfrac{2x+7}{3x+2} \geqslant 2 & \Leftrightarrow \dfrac{2x+7}{3x+2} -2 \geqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \dfrac{(2x+7)-2\times (3x+2)}{3x+2} \geqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \dfrac{2x+7-6x-4}{3x+2} \geqslant 0 \\
&  \Leftrightarrow \dfrac{3-4x}{3x+2} \geqslant 0 \\
\end{split}
\]
\'Etudions le signe du quotient $\dfrac{3-4x}{3x+2}$ à l'aide d'un tableau de signe.

On étudie les signe de chacun des termes du quotient :
\[ 3-4x \leqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant  \dfrac{3}{4} \qquad \text{et} \qquad 3x+2 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant -\dfrac{2}{3} \]
On résume dans un seul tableau le signe de chacun des termes et, on en déduit le signe du quotient en utilisant la règle des signes d'un quotient.

La double barre dans le tableau indique que $-\dfrac{2}{3}$ est une valeur interdite   :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,4)
\psline[linewidth=0.6pt](0,2)(16,2)\psline[linewidth=0.6pt](0,3)(16,3)
 \psline[linewidth=0.6pt](3,0)(3,4)
 \psset{arrows=-,linewidth=.5pt} 
 \rput(1.5,3.5){$x$} \rput(3.5,3.5){$- \infty$} \rput(7.5,3.5){$-\dfrac{2}{3}$} \rput(11.5,3.5){$\dfrac{3}{4}$}  \rput(15.5,3.5){$+\infty$}
 \rput(1.5,2.5){$3-4x$} \rput(5.5,2.5){$+$}\pnode(7.5,3){m3}\pnode(7.5,2){m2}\ncline{m3}{m2}\rput(9.5,2.5){$+$} \pnode(11.5,3){n3}\pnode(11.5,2){n2}\ncline{n3}{n2}\ncput*{0}\rput(13.5,2.5){$-$} 
 \rput(1.5,1.5){$3x+2$} \rput(5.5,1.5){$-$} \pnode(7.5,1){m1}\ncline{m2}{m1}\ncput*{0} \rput(9.5,1.5){$+$} \pnode(11.5,1){n1}\ncline{n2}{n1}\rput(13.5,1.5){$+$}
 \rput(1.5,0.5){$\dfrac{3-4x}{3x+2}$} \rput(5.5,0.5){$-$} \pnode(7.5,0){m0}\ncline[doubleline=true,doublesep=2pt,linewidth=.5pt]{m1}{m0} \rput(9.5,0.5){$+$} \pnode(11.5,0){n0}\ncline{n1}{n0}\ncput*{0}\rput(13.5,0.5){$-$}
 \psframe[linewidth=0.6pt](16,4)
 \psline[linewidth=0.6pt](0,1)(16,1)  
 \end{pspicture}
\end{center}

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{3-4x}{3x+2} \geqslant 0$ est $S=\left]  -\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4} \right]$.
\pagebreak

\addcontentsline{toc}{section}{Exercices} 

 \exo

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$ par $f(x) =3-2x$ et $g(x)= \dfrac{x}{2}-1$.

\begin{enumerate}
	\item Tracer les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère.
	\item Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux courbes.	
\end{enumerate}

\bigskip

 \exo 

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm}		
\begin{pspicture}(-10,-7)(10,8)	
\def\pshlabel#1{\textsf{\footnotesize{#1}} }
\def\psvlabel#1{\textsf{\footnotesize{#1}} }
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-10,-7)(10,8)
\psset{unit=.8cm}		
\psaxes[linewidth=.8pt,ticksize=-2pt 2pt,labelsep=1mm]{->}(0,0)(-5,-3.5)(5,4)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5,0){$x$} \uput[dl](0,4){$y$}
\newrgbcolor{bleu}{0 0 .6}
\newrgbcolor{rougef}{.8 0 .2}
\newrgbcolor{violet}{.5 0 .5}
\newrgbcolor{vertf}{0 .5 .2}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{0.6*x+.8}
\psdots[linecolor=bleu,dotscale=1](-3,-1)(2,2)
\psline[linecolor=vertf,linewidth=1.25pt](-5,-2.5)(5,-2.5)
\psline[linecolor=violet,linewidth=1.25pt](-4,-3.5)(-4,4)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt, linecolor=rougef]{-2.66}{5}{2-.75*x}
\psdots[linecolor=rougef,dotscale=1](-2,3.5)(4,-1)
\uput[d](-3,-1){\bleu {\footnotesize{$A$}}}
\uput[u](2,2){\bleu {\footnotesize{$B$}}}
\uput[d](4,-1){\rougef {\footnotesize{$F$}}}
\uput[d](-2,3.5){\rougef {\footnotesize{$E$}}}
\rput(-3.5,3.5){\violet {\footnotesize{$\mathcal{D}_1$}}}
\rput(4.5,-3){\vertf {\footnotesize{$\mathcal{D}_2$}}}
\rput(4.5,-2){\rougef {\footnotesize{$\mathcal{D}_3$}}}
\rput(4.5,3){\bleu {\footnotesize{$\mathcal{D}_4$}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Dans chaque cas où la droite représentée ci-dessus, est la courbe représentative d'une fonction, déterminer la fonction affine associée. 

 \bigskip 

\exo 

\medskip

Le tableau ci-dessous, donne le signe d'une fonction définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(8.5,1.6)
\psset{linewidth=.5pt}
\psframe(8.5,1.6) \psline(1.5,0)(1.5,1.6) \psline(0,.8)(8.5,.8)
\rput(0.75,1.2){$x$}\rput(2,1.2){$- \infty$} \rput(5,1.2){$-2$} \rput(8,1.2){$+ \infty$}
\rput(0.75,.4){$\Gamma(x)$} \rput(3.5,.4){$+$}\pnode(5,0){m1}\pnode(5,.8){m2}\ncline [arrows=-,linewidth=.5pt]{m1}{m2}\ncput*{0} \rput(6.5,.4){$-$}
\end{pspicture}
\end{center}

Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui admettent le même tableau de signes ?

$f(x)=-x+2$ ; \hfill $g(x)=-1-\dfrac{x}{2}$ ; \hfill  $h(x)=x^2+4$ ; \hfill  $k(x)= 2x+4$ ; \hfill  $l(x)= -\dfrac{2x}{3} -\dfrac{4}{3}$


\bigskip
\exo

\medskip

 $ABCD$ est un carré de côté 6. 
 
\`A tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe le réel  $x=AM$. 

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(7,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=bleu,fillstyle=vlines,hatchcolor=prune](0,0)(0,2.5)(6,6)(6,0)(0,0)
\psframe[linewidth=1pt, linecolor=bleu](0,0)(6,6)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[dr](6,0){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ur](6,6){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[ul](0,6){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[l](0,4.25){\prune{$x$}}
\uput[l](0,2.5){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1pt, linecolor=prune](0,2.5)(6,6)
\end{pspicture} 
\end{center}

  \medskip
  
  Le nombre $f(x)$ est égal à l'aire du trapèze $BCDM$.
  
\begin{enumerate}
	\item Donner une expression de $f(x)$.
		\item Résoudre $f(x) \leqslant 24$.
\end{enumerate}
 	
\bigskip
 \exo

\medskip

\parbox{0.5\linewidth}{ $ABCD$ est un trapèze rectangle.  À tout point $M$ du segment $[AB]$, on associe le réel  $x=AM$. 

Le réel $f(x)$ est égal à l'aire du triangle $BMC$. 

Le réel $g(x)$ est égal à l'aire du trapèze $AMCD$.
}\parbox{0.5\linewidth}{

\psset{unit=.5cm}
\begin{flushright}
\scalebox{.9}{
\begin{pspicture}(0,0)(17,6)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\pspolygon[linewidth=1.25pt, linecolor=bleu](0,0)(16,0)(8,6)(0,6)(0,0)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{\bleu{$A$}}}
\uput[dr](16,0){\footnotesize{\bleu{$B$}}}
\uput[ur](8,6){\footnotesize{\bleu{$C$}}}
\uput[ul](0,6){\footnotesize{\bleu{$D$}}}
\uput[d](2,0){\prune{$x$}}
\uput[d](4,0){\footnotesize{\prune{$M$}}}
\psline[linewidth=1.25pt, linecolor=prune](8,6)(4,0)
\end{pspicture}
}
\end{flushright}
}


 Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées ci-dessous :

	
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(22,18)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(22,18)
\psset{xunit=1cm, yunit=.25cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=4]{->}(0,0)(11,36)
\uput[dl](11,0){$x$} \uput[dl](0,36){$y$}
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=bleu](0,20)(10,0)
\psline[linewidth=1.5pt, linecolor=prune](0,12)(10,32)
\end{pspicture}
\end{center}

 \`A l'aide du graphique, déterminer les distances $AB$, $AD$ et $CD$.
 
\bigskip

\exo

\medskip

Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction affine $f$ puis donner son sens de variation 

\begin{enumerate}
	\item $f(-2)=3$ et $f(3)=-1$
	\item La droite représentant la fonction $f$ passe par les points de coordonnées $(-2 ; -1)$ et $(1 ; 3)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip
 
\begin{enumerate}
	\item $f$ est une fonction affine définie pour tout réel $x$ telle que $f(-1,5)=-2$ et $f(3)=1$.
	
	Donner une expression de $f(x)$.
	\item $g$ est une fonction affine définie pour tout réel $x$ telle que $g(2)=-1$ et $g(4)-g(-2)=-9$.
	
	Donner une expression de $g(x)$.
	
	\item Résoudre dans $\R$, l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$.
\end{enumerate}

 \bigskip 
 
 \exo  

 \medskip
 
\begin{itemize}
\item Augmenter une grandeur de $t \%$ revient à multiplier cette grandeur par $1 +\dfrac{t}{100}$
\item Diminuer une grandeur de $t \%$ revient à multiplier cette grandeur par $1 -\dfrac{t}{100}$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Quel est le pourcentage d'évolution d'un article qui baisse successivement de 8\% puis de 5\%  ?
	\item  Après une hausse de 6,25\% le prix d'un article est de 272\euro. Quel était le prix de cet article avant la hausse ?	
	\item  Après une baisse de 5,6\% le prix d'un article est de 236\euro. Quel était le prix de cet article avant la baisse ? 
	\item Le cours d'une action a baissé de 20\%. Quel devra être le taux du pourcentage d'augmentation pour que cette action retrouve son cours initial ?
\end{enumerate}	

\bigskip

\exo

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R$  par $f(x)=(x+3)^2$ et $g(x)=(5x+1)^2$. 

\begin{enumerate}
	\item Factoriser l'expression de $f(x)-g(x)$.
	\item \`A l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x)-g(x)$.
	\item Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant g(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Résoudre dans $\R$  les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $(3x-2)^2-(x+1)^2\geqslant 0$
	\item $(2-3x)^2\leqslant(2-3x)(3-5x)$	
	\item  $\dfrac {3x+4}{1-2x}\geqslant 0$	
\item  $\dfrac {2x}{3x+2}<1$	
\end{enumerate}

\bigskip

\exo 

  \medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=x^2-\dfrac{9}{2}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. 

La courbe $C_f$ est tracée ci dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
	\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g\left(-\dfrac{9}{4}\right)=-6$  et $g\left(\dfrac{13}{4}\right)=5$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère orthogonal donné ci dessous.
\end{enumerate}
\begin{center}

\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-16,-7)(16,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x^2-4.5}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-16,-7)(16,10)
\psset{xunit=2cm, yunit=0.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-7)(4,10)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](4,0){$x$} \uput[dl](0,10){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-3.8}{3.8}{\f}
\uput[dr](3.75,10){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$,  $f(x)-g(x)= (x-3) (x+1)$.
\item Étudier les positions relatives des courbes $C_f$ et $D$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\exo  

\medskip 
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$  par $f(x)=-4x^3+12x-2$. 

Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée dans le repère orthogonal ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-11)(16,8)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{12*x-4*x^3-2}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-15,-11)(16,8)
\psset{xunit=3cm, yunit=.5cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-11)(2.66,8)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](2.6,0){$x$} \uput[dl](0,8){$y$}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.2pt, linecolor=bleu]{-2.053}{2.027}{\f}
%\psline[linewidth=1.2pt, linecolor=prune](-2,-8)(2,4)
\uput[r](2.05,-10){\bleu $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
	\item Soit $g$ la fonction affine définie sur $\R$ telle que $g(3)-g(-1)=12$  et $g(2)=4$. 
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'expression de $g$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la courbe $D$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\end{enumerate}
	\item 
\begin{enumerate}
\item Factoriser $f(x)-g(x)$.
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$. 	
	\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la droite $D$ avec la courbe $C_f$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\exo

\medskip

Deux offres de location de vacances sont proposées dans deux résidences similaires.

\begin{itemize}
\item \textsf{\textbf{\textsc{offre a : }}} 50 \euro{} par nuit pour les trois premières nuits puis, 44 \euro{} par nuit supplémentaire.
\item \textsf{\textbf{\textsc{offre b : }}} Un forfait de 350 \euro{} pour sept nuits consécutives puis, 32 \euro{} par nuit supplémentaire.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On appelle $f$ la fonction qui à tout séjour de $x$ nuits fait correspondre le montant en euros à payer pour un client qui a choisi l'offre A.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(3)$ et $f(5)$.
\item Donner une expression de $f(x)$.
\end{enumerate}
\item On appelle $g$ la fonction qui à tout séjour de $x$ nuits fait correspondre le montant en euros à payer pour un client qui a choisi l'offre B.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g(5)$ et $g(12)$.
\item Donner une expression de $g(x)$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Représenter dans un même repère les fonctions $f$ et $g$.
\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de nuits à partir duquel l'offre B est plus avantageuse que l'offre A.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}