\documentclass[mathserif]{beamer}
%\documentclass[mathserif, handout]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule//Preambule_Cours}

\begin{document}


\titreCours{2}{Exponentielles et Logarithmes}{}

\begin{frame}{1. Les équations exponentielles}

\underline{Exemple 1.1} Une action en bourse vaut \ve{100.-}. Sa valeur double chaque année. 
\begin{enumerate}
\item Quelle sera sa valeur dans \ro{4} ans?
\item Quelle sera sa valeur dans $\ro{n}$ ans?
\end{enumerate}

\hunc{2}{
\vfill
Dans \ro{1} ans, l'action vaudra $P(\ro{1}) = 200.- \only<7-13>{=\bl{2} \cdot \ve{100}.-}\only<14->{=\bl{2}^{\ro{1}} \cdot \ve{100}.-}$\\
\uncover<3->{Dans \ro{2} ans, $P(\ro{2}) = 400.- \uncover<8->{=4 \cdot \ve{100}.-}\only<11-14>{=\bl{2^2} \cdot \ve{100}.-}\only<15->{=\bl{2^{\ro{2}}} \cdot \ve{100}.-}$}\\
\uncover<4->{Dans \ro{3} ans, $P(\ro{3}) = 800.- \uncover<9->{=8 \cdot \ve{100}.-}\only<12-15>{=\bl{2^3} \cdot \ve{100}.-}\only<16->{=\bl{2^{\ro{3}}} \cdot \ve{100}.-}$}\\
\uncover<5->{Dans \ro{4} ans, $P(\ro{4}) = 1'600.- \uncover<10->{=16 \cdot \ve{100}.-}\only<13-16>{=\bl{2^4} \cdot \ve{100}.-}\only<17->{=\bl{2^{\ro{4}}} \cdot \ve{100}.-}$}\\[0.5cm]

\uncover<6->{Dans \ro{4} ans, l'action vaudra $1'600.-$.}\\[0.5cm]
\uncover<18->{En généralisant, on voit que, dans $\ro{n}$ ans, le prix de l'action $P(\ro{n})$ sera de 
$$P(\ro{n}) = \uncover<19->{\bl{2^{\ro{n}}} \cdot \ve{100}.-}$$ }
}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Définition 1.1} Une \bl{équation exponentielle} est une équation dans laquelle \textbf{la variable apparaît en exposant}.  

\vfill

\uncover<2->{
\underline{Exemple 1.2}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $3^{\ro{x}-1} = 9$
\item<3-> $5^{\ro{x}^2-1}=125$
\item<4-> $5^{\ro{x}+1} + 5^{-\ro{x}} = 6$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\vfill

\uncover<5->{
\underline{Propriété 1.1} Soit $a\in\mathbb{R}^*_+$, $a\neq 1$ et $\bl{x},\ve{y}\in\mathbb{Q}$. \\[0.2cm]
\begin{redbox}
$$\ro{a}^{\bl{x}}=\ro{a}^{\ve{y}} \Leftrightarrow \bl{x} = \ve{y}$$
\end{redbox}
}

\vfill

\uncover<6->{\underline{Exemple 1.3} Résoudre l'équation $3^{x-1} = 9$.
\hunc{7}{
\begin{equa}
3^{x-1} &=& 9 & \uncover<8->{\mbox{CL}}\\
\uncover<9->{\LRq 3^{x-1} &=& 3^2 & \uncover<10->{a^x = a^y \Leftrightarrow x = y}}\\
\uncover<11->{\LRq x-1 &=& 2 & \uncover<12->{+1}}\\
\uncover<13->{\LRq x &=& 3 \uzero \uncover<14->{\qqR S=\{3\}}}\\
\end{equa} }}
 
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 1.1} Résoudre les équations suivantes. \\[0.5cm]

\begin{equan}
1. & 25^{x-1} &=& 125 \hunc{2}{& \mbox{CL (même base)}}\\
\hunc{3}{& \LRq (5^2)^{x-1} &=& 5^3 \hunc{4}{& \mbox{CL}}}\\
\hunc{5}{& \LRq 5^{2(x-1)} &=& 5^3 \hunc{6}{& \mbox{CL}}}\\
\hunc{7}{& \LRq 5^{2x-2} &=& 5^3 \hunc{8}{& a^x = a^y \Leftrightarrow x = y}}\\
\hunc{9}{& \LRq 2x-2 &=& 3 \hunc{10}{&+2}}\\
\hunc{11}{& \LRq 2x &=& 5 \hunc{12}{&\div 2}}\\
\hunc{13}{& \LRq x &=& \frac{5}{2} \hunc{14}{\uzero \qqR S=\left\{\frac{5}{2}\right\}}}\\[0.5cm]

\uncover<15->{
2. & 2^{3x+2} &=& \frac{1}{16} \hunc{16}{& \mbox{CL (même base)}}\\
\hunc{17}{& \LRq 2^{3x+2} &=& \frac{1}{2^{4}} \hunc{18}{& \mbox{CL}}}\\
\hunc{19}{& \LRq 2^{3x+2} &=& 2^{-4} \hunc{20}{& a^x = a^y \Leftrightarrow x = y}}\\
\hunc{21}{& \LRq 3x+2 &=& -4 \hunc{22}{& -2}}\\
\hunc{23}{& \LRq 3x &=& -6 \hunc{24}{& \div 3}}\\
\hunc{25}{& \LRq x &=& -2 \hunc{26}{\uzero \qqR S=\{-2\}}}\\
}
\end{equan}

\end{frame}

\begin{frame}{Le nombre d'Euler}

Le nombre d'Euler\footnote{Mathématicien suisse, 1707-1783.} $\ro{e = 2.718281... }$ est un nombre qui est souvent utilisé comme base dans les équations exponentielles. Nous verrons plus tard les raisons de ce choix. 

\vfill

\uncover<2->{La fonction exponentielle de base $\ro{e}$ peut être calculée grâce à la touche $\boxed{\ro{e^x}}$ sur les calculatrices.}

\vfill 
\uncover<3->{
\underline{Exemple 1.4} Résoudre l'équation $e^{x^2-x-6} = 1$.
\hunc{4}{
\begin{equa}
e^{x^2-x-6} &=& 1 & \uncover<5->{\mbox{CL (même base)}}\\
\uncover<6->{\LRq e^{x^2-x-6} &=& e^0 & \uncover<7->{a^x = a^y \Leftrightarrow x = y}}\\
\uncover<8->{\LRq x^2-x-6 &=& 0 & \uncover<9->{\mbox{Somme-produit}}}\\
\uncover<10->{\LRq (x+2)(x-3) &=& 0 \uncover<11->{\uzero \qquad\qqR  S=\{-2; 3\}}}
\end{equa}}
}

\end{frame}

\begin{frame}{2. Logarithmes}

\underline{Exercice 2.1} Résoudre l'équation $10^x = 7$ en donnant une réponse avec 2 chiffres après la virgule.  \\[0.2cm]

\vfill

\hunc{2}{
On essaie: 
\begin{enumerate}
\item<3-> $x=0.5:$ $10^{0.5} \uncover<4->{\approx 3.16}$ \uncover<5->{$\Rightarrow x>0.5$}
\item<6-> $x=0.8:$ $10^{0.8} \uncover<7->{\approx 6.31}$ \uncover<8->{$\Rightarrow x>0.8$}
\item<9-> $x=0.85:$ $10^{0.85} \uncover<10->{\approx 7.08}$ \uncover<11->{$\Rightarrow 0.8<x<0.85$}
\item<12-> $x=0.84:$ $10^{0.84} \uncover<13->{\approx 6.92}$ \uncover<14->{$\Rightarrow 0.84<x<0.85$}
\item<15-> $x=0.845:$ $10^{0.845} \uncover<16->{\approx 6.99}$ \uncover<17->{$\Rightarrow 0.845 <x<0.85$}
\end{enumerate}

\vfill

\uncover<18->{On a donc $x \approx 0.85$}\uncover<19->{ ($x\approx 0.84509804$ sur la machine)}.
}

\end{frame}

\begin{frame} 

\underline{Relation 2.1} Soit $\ro{a}, \ve{u} \in\mathbb{R}^*_+$, $\ro{a\neq 1}$ et $\bl{x}\in\mathbb{R}$, alors 
\begin{redbox}
$$\ro{a}^{\bl{x}} = \ve{u} \Leftrightarrow \log_{\ro{a}}(\ve{u}) = \bl{x}$$
\end{redbox}


\uncover<2->{
\vfill
Par convention, 
\begin{enumerate}
\item $\log_{10}(x)$ s'écrit $\log(x)$ ($\boxed{\mbox{\bl{LOG}}}$ sur la calculatrice)
\item<3-> $\log_e(x)$ s'écrit $\ln(x)$ ($\boxed{\mbox{\bl{LN}}}$ sur la calculatrice)\\[0.2cm]
\end{enumerate}}

\vfill 
\uncover<4->{
\underline{Exemple 2.1} Résoudre l'équation suivante $10^x = 0.01$
\hunc{5}{
\begin{equa}
10^x &=& 0.01 & \uncover<6->{a^x = u \Leftrightarrow \log_a(u) =x}\\
\uncover<7->{\LRq \log_{10}(0.01) &=& x & \uncover<8->{\leftrightarrow, \log_{10}(x) = \log(x)}}\\
\uncover<9->{\LRq x &=& \log(0.01) & \uncover<10->{\mbox{CL (calculatrice)}}}\\
\uncover<11->{\LRq x &=& -2 \uzero \uncover<12->{\qquad \qqR S=\{-2\} }}
\end{equa}}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.2} Résoudre les équations suivantes. \\[0.5cm]

\only<handout>{
\begin{enumerate}
\item $e^{x} = 10$\\[2cm]
\item $e^{2x} = 15$\\[2.5cm]
\end{enumerate}}

\only<beamer>{
\begin{equan}
1. & e^x &=& 10 & \uncover<2->{a^x = u \Leftrightarrow \log_a(u) =x}\\
\uncover<3->{&\LRq \log_e(10) &=& x & \uncover<4->{\leftrightarrow, \log_e(x) = \ln(x)} }\\
\uncover<5->{&\LRq x &=& \ln(10) & \uncover<6->{\mbox{CL (calculatrice)}} }\\
\uncover<7->{&\LRq x &\approx& 2.30259 \uncover<8->{\uzero\qquad \qqR S=\{2.30259\}}}\\[0.5cm]
\uncover<9->{
2. & e^{2x} &=& 15 & \uncover<10->{a^x = u \Leftrightarrow \log_a(u) =x}\\
\uncover<11->{&\LRq \log_e(15) &=& 2x & \uncover<12->{\leftrightarrow, \log_e(x) = \ln(x)} }\\
\uncover<13->{&\LRq 2x &=& \ln(15) & \uncover<14->{\div 2} }\\
\uncover<15->{&\LRq x &=& \dfrac{\ln(15)}{2} & \uncover<16->{\mbox{CL (calculatrice)}} }\\
\uncover<17->{&\LRq x &\approx& 1.35403 \uzero \uncover<18->{\qquad \qqR S=\{1.35403\}} }\\
}
\end{equan}}

\end{frame}

\begin{frame}{Propriétés des logarithmes}

\underline{Exemple 2.2} Résoudre l'équation $\log_2(1) = x$.\\[0.2cm]

\hunc{2}{
\begin{equan}
1. & \log_2(1) &=& x & \uncover<3->{a^x = u \Leftrightarrow \log_a(u) =x}\\
\uncover<4->{& \LRq 2^x &=& 1 &  \uncover<5->{\mbox{CL (même base)}}}\\
\uncover<6->{& \LRq 2^x &=& 2^0 &  \uncover<7->{a^x = a^y \Leftrightarrow x = y}}\\
\uncover<8->{& \LRq x &=& 0   \uncover<9->{\uzero \qquad \qqR S=\{0\}}}\\
\end{equan}}

\vfill
\uncover<10->{
\underline{Propriété 2.1} $\boxed{\log_a(1) \hunc{11}{= 0}}$}

\vfill
\uncover<12->{
\underline{Exercice 2.3} Résoudre l'équation $\log_5(5) = x$.}\\[0.2cm]

\vfill
\hunc{13}{
\begin{equan}
1. & \log_5(5) &=& x & \uncover<14->{a^x = u \Leftrightarrow \log_a(u) =x}\\
\uncover<15->{& \LRq 5^x &=& 5 &  \uncover<16->{\mbox{CL (même base)}}} \\
\uncover<17->{& \LRq 5^x &=& 5^1 &  \uncover<18->{a^x = a^y \Leftrightarrow x = y}}\\
\uncover<19->{& \LRq x &=& 1   \uncover<20->{\uzero \qquad \qqR S=\{1\}}}\\
\end{equan}}

\vfill
\uncover<21->{
\underline{Propriété 2.2} $\boxed{\log_a(a) \hunc{22}{= 1}}$}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 2.3} Résoudre l'équation $\log_2(2^3) = x$.\\[0.2cm]

\hunc{2}{
\begin{equan}
1. & \log_2(2^3) &=& x & \uncover<3->{a^x = u \Leftrightarrow \log_a(u) =x}\\
\uncover<4->{& \LRq 2^x &=& 2^3 &  \uncover<5->{a^x = a^y \Leftrightarrow x = y}}\\
\uncover<6->{& \LRq x &=& 3   \uncover<7->{\uzero \qquad \qqR S=\{3\}}}\\
\end{equan}}

\vfill
\uncover<8->{
\underline{Propriété 2.3} $\boxed{\log_a(a^u) \hunc{9}{= u}}$}

\vfill
\uncover<10->{
\underline{Exercice 2.4} Résoudre l'équation $4^{\log_4(64)} = x$.}\\[0.2cm]

\vfill
\hunc{11}{
\begin{equan}
1. & 4^{\log_4(64)} &=& x & \uncover<12->{\mbox{CL (même base)}}\\
\uncover<13->{& \LRq 4^{\log_4(4^3)} &=& x & \uncover<14->{\log_a(a^n)=n}}\\
\uncover<15->{& \LRq 4^{3} &=& x &  \uncover<16->{\mbox{ CL}, \leftrightarrow}} \\
\uncover<17->{& \LRq x &=& 64  \uncover<18->{\uzero \qquad \qqR S=\{64\}}}\\
\end{equan}}

\vfill
\uncover<19->{
\underline{Propriété 2.4} $\boxed{a^{\log_a(u)} \hunc{20}{= u}}$}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 2.4} Résoudre l'équation $\log_2(4) + \log_2(8) = \log_2(x)$.\\[0.2cm]

\hunc{2}{
\begin{equan}
1. & \log_2(4) + \log_2(8) &=& \log_2(x) & \uncover<3->{\mbox{CL (même base)}}\\
\uncover<4->{& \LRq \log_2(2^2) + \log_2(2^3) &=& \log_2(x) &  \uncover<5->{\log_a(a^n)=n}}\\
\uncover<6->{& \LRq 2 + 3 &=& \log_2(x) &  \uncover<7->{\mbox{CL}}}\\
\uncover<8->{& \LRq 5 &=& \log_2(x) &  \uncover<9->{a^x = u \Leftrightarrow \log_a(u) =x}}\\
\uncover<10->{& \LRq x &=& 2^5 &  \uncover<11->{\mbox{CL}}}\\
\uncover<12->{& \LRq x &=& 32   \uncover<13->{\uzero \qquad \qqR S=\{32\}}}\\
\end{equan}}

\vfill

\uncover<14->{\underline{Propriété 2.5} $\boxed{\log_a(u) + \log_a(v) \hunc{15}{= \log_a(u\cdot v)}}$}

\vfill

\uncover<16->{\underline{Propriété 2.6} $\boxed{\log_a(u) - \log_a(v) = \log_a\left(\frac{u}{v}\right)}$}

\vfill

\uncover<17->{\underline{Exercice 2.5} Montrer que $\log_a\left(\frac{1}{v}\right) = - \log_a(v)$.}
\hunc{18}{$$\log_a\left(\frac{1}{v}\right) 
\uncover<19->{= \log_a(1) - \log_a(v) }
\uncover<20->{\stackrel{\log_a(1)=0}{=} 0 - \log_a(v)}
\uncover<21->{ = - \log_a(v) }\uncover<21->{\qquad \myCheck}$$
}


\end{frame}

\begin{frame}


\underline{Propriété 2.7 (Récapitulatif)} Soit $u,v\in\mathbb{R}_+^*$, alors\\[0.2cm]
\begin{redbox}
\begin{enumerate}
\item $\log_a(1) = 0$\\[0.25cm]
\item<2-> $\log_a(a) = 1$\\[0.25cm]
\item<3-> $\log_a(a^u) = u$\\[0.25cm]
\item<4-> $a^{\log_a(u)} = u$\\[0.25cm]
\item<5-> $\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u\cdot v)$\\[0.25cm]
\item<6-> $\log_a(u) - \log_a(v) = \log_a\left(\frac{u}{v}\right)$\\[0.25cm]
\item<7-> $\log_a\left(\frac{1}{v}\right) = - \log_a(v)$\\[0.25cm]
\item<8-> $\log_a(u^n) = n\log_a(u) \quad(n\in\mathbb{R})$ \\[0.25cm]
\end{enumerate}
\end{redbox}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.6} Effectuez les calculs suivants en utilisant les propriétés des logarithmes (sans calculatrice).

\begin{enumerate}
\item $\log_5\left(25\right) 
\hunc{2}{= \log_5\left(5^2\right) 
\uncover<3->{=2 }
}$\\[0.5cm]
\item $\log_4\left(\frac{1}{64}\right)
\hunc{4}{= \log_4\left(4^{-3}\right) 
\uncover<5->{=-3 }
}$\\[0.5cm]
\item $\log_4(2) + \log_4(8)
\hunc{6}{= \log_4(2\cdot 8)
\uncover<7->{=\log_4(16) }
\uncover<8->{=\log_4(4^2) }
\uncover<9->{= 2 }
}$\\[0.5cm]
\item $\log_7(21) - \log_7(3)
\hunc{10}{= \log_7\left(\frac{21}{3}\right)
\uncover<11->{=\log_7(7)}
\uncover<12->{= 1}
}$\\[0.5cm]
\item $\log_{17}(1) \hunc{13}{= 0}$\\[0.5cm]
\item $e^{\ln(53)} \hunc{14}{= 53}$
\end{enumerate}

\end{frame}


\begin{frame}

\underline{Exemple 2.5} Résoudre l'équation $\log_3(5 + x) = \log_3(4-x) + 1$.\\[0.2cm]

\uncover<beamer>{
\uncover<2->{
On sait que $\log_a(u)$ n'existe que si $u > 0$. \uncover<3->{On commence donc par calculer le domaine de définition $D$. 
$$\begin{cases}
5 + x > 0 \uncover<4->{\Leftrightarrow x > -5} \\
4 - x > 0 \uncover<5->{\Leftrightarrow x < 4}
\end{cases} 
\uncover<6->{\Rightarrow -5 < x < 4 }
\uncover<7->{\Rightarrow D = ]-5; 4[}$$}}

\uncover<8->{
On résoud:
\begin{equa}
 \log_3(5 + x) & = & \log_3(4-x) + 1 & \uncover<9->{a^x = a^y \Leftrightarrow x = y} \\
\uncover<10->{\LRq  3^{\log_3(5 + x)} & = & 3^{\log_3(4-x) + 1} & \uncover<11->{a^{x+y} = a^x \cdot a^y }}\\
\uncover<12->{\LRq  3^{\log_3(5 + x)} & = & 3^{\log_3(4-x)} \cdot 3^{1} & \uncover<13->{ a^{\log_a(u)} = u }}\\
\uncover<14->{\LRq  5 + x & = & (4-x) \cdot 3 & \uncover<15->{\mbox{CL} }}\\
\uncover<16->{\LRq  5 + x & = & 12-3x & \uncover<17->{-5 + 3x }}\\
\uncover<18->{\LRq  4x & = & 7 & \uncover<19->{\div 4}}\\
\uncover<20->{\LRq  x & = & \dfrac{7}{4} \uzero}\\
\end{equa}}

\uncover<21->{On vérifie les solutions: $\uncover<22->{\dfrac{7}{4} \in D} \uncover<23->{ \Rightarrow S= \left\{\dfrac{7}{4}\right\}}$}


}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.7} Résoudre l'équation $\log_2(3x-4) + \log_2(10x-4) = 2\log_2(5x-2)$.\\[0.2cm]

\uncover<beamer>{\small
\uncover<2->{On calcule le domaine de définition $D$. 
$$\begin{cases}
3x - 4 > 0 \uncover<3->{\Leftrightarrow x > \frac{4}{3}} \\
10x - 4 > 0 \uncover<4->{\Leftrightarrow x > \frac{2}{5}}\\
5x - 2 > 0 \uncover<5->{\Leftrightarrow x > \frac{2}{5}}
\end{cases} 
\uncover<6->{\Rightarrow x > \frac{4}{3}}
\uncover<7->{\Rightarrow D = \left]\frac{4}{3}; \infty \right[}$$}
\vspace{-0.5cm}
\uncover<8->{
\begin{equa}
\log_2(3x-4) + \log_2(10x-4) &=& 2\log_2(5x-2) & \uncover<9->{a^x = a^y \Leftrightarrow x = y} \\
\uncover<10->{\Leftrightarrow  2^{\log_2(3x - 4)  + \log_2(10x-4)} & = & 2^{2\log_2(5x-2)} & 
\uncover<11->{\shortstack{$a^{x+y} = a^xa^y$ \\ $a^{xy} = (a^x)^y$}}}\\
\uncover<12->{\Leftrightarrow  2^{\log_2(3x - 4)} \cdot 2^{\log_2(10x-4)} & = & (2^{\log_2(5x-2)})^2 & 
\uncover<13->{ a^{\log_a(u)} = u }}\\
\uncover<14->{\Leftrightarrow   (3x - 4) \cdot (10x - 4) & = & (5x-2)^2 & \uncover<15->{- (5x -2)^2 }}\\
\uncover<16->{\Leftrightarrow   (3x - 4) \cdot (10x - 4) - (5x-2)^2 &=& 0 & \uncover<17->{\mbox{MEE} }}\\
\uncover<18->{\Leftrightarrow   (5x-2)((3x - 4) \cdot 2 - (5x-2)) &=& 0 & \uncover<19->{\mbox{CL} }}\\
\uncover<20->{\Leftrightarrow   (5x-2)(6x - 8 - 5x + 2) &=& 0 & \uncover<21->{\mbox{CL} }}\\
\uncover<22->{\Leftrightarrow   (5x-2)(x - 6) &=& 0 \uncover<23->{\uzero\Rightarrow S_T=\left\{\dfrac{2}{5};6\right\} }}\\
\end{equa}}
\uncover<24->{On vérifie les solutions: $\uncover<25->{\dfrac{2}{5} \ro{\notin D},} \uncover<26->{6 \in D}  
\uncover<27->{ \Rightarrow S= \left\{6\right\}}$}

}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Formule de changement de base} \\[0.2cm]
\begin{redbox}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\log_a(u) = \frac{\log_b(u)}{\log_b(a)}$
\item<2-> $a^x = b^{\log_b(a)\cdot x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{redbox}

\vfill
\uncover<3->{
En particulier, en base 10, on a \\[0.2cm]
\begin{redbox}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\log_a(u) = \frac{\log(u)}{\log(a)}$
\item $a^x = 10^{\log(a)\cdot x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{redbox}}

\vfill
\uncover<4->{
Et en base $e$ \\[0.2cm]
\begin{redbox}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\log_a(u) = \frac{\ln(u)}{\ln(a)}$
\item $a^x = e^{\ln(a)\cdot x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{redbox}}

\vfill

\uncover<5->{
\underline{Exemple 2.6} Effectuez les calculs suivants avec la machine en donnant les réponses avec trois chiffres après la virgule.
\vfill
\begin{enumerate}
\item $\log_3(15) \hunc{6}{= \dfrac{\log(15)}{\log(3)} \uncover<7->{= 2.465}}$ 
\hunc{8}{ On vérifie: $3^{2.465} \approx 15.000\, \myCheck$}
\item $\log_7(346) \hunc{9}{= \dfrac{\ln(346)}{\ln(7)} \uncover<10->{= 3.004}}$
\hunc{11}{ On vérifie: $7^{3.004} \approx 345.680\, \myCheck$}
\end{enumerate}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.8} Résoudre les équations suivantes avec la machine en donnant les réponses avec trois chiffres après la virgule.

\vfill

\only<handout>{
\begin{enumerate}
\item $3^x = 24$ \\[2.5cm]
\item $5^{-3x} = 15'625$  \\[2.5cm]
\end{enumerate}}

\only<beamer>{
\hunc{2}{
\vfill
\begin{equan}
1. &3^x &=& 24 \uncover<3->{& \mbox{Relation 2.1}}\\
&\uncover<4->{\LRq \log_3(24) &=& x \uncover<5->{& \log_a(u) = \frac{\log_b(u)}{\log_b(a)}, \leftrightarrow}}\\
&\uncover<6->{\LRq x &=& \dfrac{\ln(24)}{\ln(3)} \uncover<7->{& \mbox{Calculatrice}}}\\
&\uncover<8->{\LRq x &\approx& 2.893 \uzero \uncover<9->{\qqR S=\{ 2.893 \}}}
\end{equan}

\uncover<10->{On vérifie: $3^{2.893} = 24.006 \qquad \myCheck$}
}

\hunc{12}{
\vfill
\begin{equan}
2. & 5^{-3x} &=& 1'953'125 \uncover<13->{& a^x = u \Leftrightarrow \log_a(u) =x}\\
&\uncover<14->{\LRq \log_5(15'625) &=& -3x \uncover<15->{& \log_a(u) = \frac{\log_b(u)}{\log_b(a)}, \leftrightarrow}}\\
&\uncover<16->{\LRq -3x &=& \dfrac{\log(15'625)}{\log(5)} \uncover<17->{& \div (-3)}}\\
&\uncover<18->{\LRq x &=& -\dfrac{\log(15'625)}{3\log(5)} \uncover<19->{& \mbox{Calculatrice}}}\\
&\uncover<20->{\LRq x &=& -2 \uzero \uncover<21->{\qqR S=\{ -2 \}}}
\end{equan}

\uncover<22->{On vérifie: $5^{-3\cdot (-2)} \uncover<23->{= 5^{6}}\uncover<24->{ = 15'625 \qquad \myCheck}$}
}}

\end{frame}

\begin{frame}{3. Applications}

\underline{Exemple 3.1 (intérêts composés)} Si vous déposez 2'600.- dans une banque à un taux d'intérêt annuel de 3.6$\%$, de combien d'argent disposerez-vous 15 ans plus tard? \\

\vfill
\uncover<beamer>{\uncover<2->{Chaque année la somme va augmenter de 3.6$\%$, on aura donc la première année }
\uncover<3->{$$2'600 + 2'600 \cdot 0.036 \uncover<4->{= 2'600(1 + 0.036)}$$}
\uncover<5->{La deuxième année, on aura  $$\uncover<6->{[2'600(1 + 0.036)]\cdot(1 + 0.036)}\uncover<7->{= 2'600(1 + 0.036)^2}$$}
\uncover<8->{Après 15 ans, on aura donc $\uncover<9->{= 2'600(1 + 0.036)^{15} \uncover<10->{\approx 4'420.-}}$}

\vfill
\uncover<11->{De manière générale, si on place un capital inital $C_0$  à un taux annuel $t$, le capital $C$ après $n$ années sera de $\boxed{ C(n) = C_0(1 + t)^n }$
}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Définition 3.1} On dit qu'une variable $C$ \bl{augmente de façon exponentielle} si elle augmente régulièrement d'un même \textbf{pourcentage $t$} sur un intervalle de temps fixé, autrement dit si 
$$\boxed{ C(n) = C_0(1 + t)^n }$$ 
De même, on dit qu'une variable $C$ \bl{diminue de façon exponentielle} si elle diminue régulièrement d'un même \textbf{pourcentage $t$} sur un intervalle de temps fixé, autrement dit si 
$$\boxed{ C(n) = C_0(1 - t)^n }$$ 
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 3.1} Une forêt renferme aujourd’hui 200'000 m$^{3}$ de bois. Combien en contiendra-t-elle dans 15 ans si la décroissance annuelle de la quantité de bois est de 3.25$\%$?

\vfill
\uncover<beamer>{
\uncover<2->{On se trouve dans la cas d'une quantité qui \textbf{diminue de manière exponentielle}, on a donc $$ C(n) = C_0(1-t)^n$$}
\uncover<3->{Ici, 
$$C(15) \uncover<4->{= 200'000(1-0.0325)^{15}}\uncover<5->{\approx 121'841}$$}


}



\end{frame}


\end{document}



