\documentclass[mathserif, t]{beamer} %diaporama
%\documentclass[mathserif, handout, t]{beamer} %polycopié

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours} % préambule
\Teachtrue % solutions

\begin{document}

\titreCours
{9} % chapitre
{\\Polynômes et fractions rationnelles} % titre
{} % sujet
{} % références

\begin{frame}{1. La division euclidienne}

 \underline{Exemple 1.1 (Exemple numérique)} Effectuer $45023 \div 34$ .\\[1cm]
 
\hunc{1}{ 
 \begin{tabular}{c c c c c c | r}
  & \bf\only<1>{4}\only<2->{\vi{4}} &\bf \only<1>{5}\only<2->{\vi{5}}	&\bf 0	&\bf 2 &\bf 3 & \ora{34} \\ \cline{7-7}
  
 \uncover<3->{\uncover<4->{\ro{-}} 	& \uncover<4->{\ro{3}} & \uncover<4->{\ro{4}} & \uncover<6->{$\downarrow$} & \uncover<6->{$\downarrow$} & \uncover<6->{$\downarrow$} & \bl{\uncover<3->{1}\uncover<9->{3}\uncover<15->{2}\uncover<21->{4}} \\ \cline{1-3}}
 
    & \only<5-7>{1}\only<8->{\vi{1}}& \only<5-7>{1}\only<8->{\vi{1}}	& \only<7>{0}\only<8->{\vi{0}} & \only<7->{2} & \only<7->{3} &  \\ 
  \uncover<10->{\ro{ -}	& \ro{1}	& \ro{0}	& \ro{2} & \uncover<12->{$\downarrow$} & \uncover<12->{$\downarrow$} & \\ \cline{1-4}}
  
 \uncover<11->{ & 	& 	& \only<11-13>{8}\only<14->{\vi{8}} & \only<13>{2}\only<14->{\vi{2}} & \only<13->{3} &  \\ }
 \uncover<16->{ & 	& \ro{-}	& \ro{6} & \ro{8} & \only<18->{$\downarrow$} & \\ \cline{3-5}}
 \uncover<17->{ & 	& 	& \only<17-19>{1}\only<20->{\vi{1}}  & \only<17-19>{4}\only<20->{\vi{4}}  & \only<19>{3}\only<20->{\vi{3}}  &  \\ }
 \uncover<22->{& 	& \ro{-}	& \ro{1} & \ro{3} & \ro{6} & \\ \cline{3-6}}
 \uncover<23->{		& 	& &  & & \ve{7} &  \\ }
 \end{tabular}

 
 \uncover<24->{{\bf 45023} est appelé le \textbf{dividende} et \ora{34} le \ora{diviseur}. 
 \uncover<25->{\bl{1324} est le \bl{quotient} de la division et \ve{7} son \ve{reste}.}}\uncover<26->{ On a que:
 $${\bf 45023} =  \bl{1324} \cdot \ora{34} + \ve{7}$$}}

 \end{frame}
 
 
 \begin{frame}
 
 \underline{Exemple 1.2} Calculer le quotient et le reste de la division de $\bf x^3 -3x^2 + 5x -1$ (le dividende) par $\ora{x^2-1}$ (le diviseur):\\
 
 \vfill
 \hunc{1}{
 \begin{center}
 \scalebox{0.8}{
 \begin{tabular}{c c c c c c c c c| c l}
 &$\bf\only<1>{x^3}\only<2->{\vi{x^3}}$ & $-$ & $\bf 3x^2$ & $+$ &$\bf 5x$ & $-$ & $\bf 1$ & & $\ora{x^2 -1}$ & \uncover<3->{1. $\frac{\vi{x^3}}{\ora{x^2}} = \bl{x}$}\\ \cline{10-10}   
 \uncover<4->{$\uncover<8->{\ro{- [}}$ &$\uncover<7->{\ro{x^3}}$ &     &        & $\uncover<7->{\ro{-}}$ & $\uncover<7->{\ro{x}}$  &     &     &  $\uncover<8->{\ro{]}}$ & $\uncover<4->{\bl{x}}\,\uncover<13->{\bl{-\,3}}$ & \uncover<5->{2. $\bl{x}\ora{(x^2-1)} \uncover<6->{= \ro{x^3-x}}$}\\ \cline{1-9}}
 \uncover<9->{& 0 & $\only<9-11>{-}\only<12->{\vi{-}}$ & $\only<9-11>{3x^2}\only<12->{\vi{3x^2}}$ & \only<10->{$+$} & \only<10->{$6x$} & \only<11->{$-$} & \only<11->{$1$} & & & \uncover<12->{3. $\frac{\vi{-3x^2}}{\ora{x^2}} = \bl{-3}$}\\} 
 
 \uncover<15->{\uncover<17->{$\ro{- [}$} &  & \uncover<16->{$\ro{-}$} & 
 \uncover<16->{$\ro{3x^2}$}  &     &    & \uncover<16->{$\ro{+}$} & \uncover<16->{$\ro{3}$}  &  \uncover<17->{$\ro{]}$} & & \uncover<13->{4. $\bl{-3}\ora{(x^2-1)} \uncover<14->{= \ro{-3x^2+3}}$}\\ \cline{1-9}}
 
 \uncover<18->{&  &  & 0  & \uncover<18->{$+$} & \only<18-19>{$6x$}\only<20-23>{\vi{$6x$}}\only<24->{\ve{$6x$}} & \only<19-23>{$-$}\only<24->{\ve{$-$}} & \only<19-23>{$4$}\only<24->{\ve{$4$}} & & & 
 \uncover<21->{5. $\frac{\vi{6x}}{\ora{x^2}}\uncover<22->{=\frac{1}{x}}$ \uncover<23->{\ro{STOP}}}\\} 
 \end{tabular}}
 \end{center}
 
 \vfill
 \uncover<25->{Le quotient de la division vaut donc $\bl{x-3}$ et son reste $\ve{6x - 4}$.} \uncover<26->{ On a donc 
 $$ {\bf x^3 -3x^2 + 5x -1 }\uncover<27->{= (\bl{x-3})\cdot (\ora{x^2-1}) \uncover<28->{+  \ve{6x-4}}}$$
 
 }}
 
 \end{frame}

\begin{frame}


Le schéma de Horner permet d'effectuer de manière simple la  division d'un polynôme par $\boxed{x-a}$.\\[0.2cm]

\uncover<1->{\underline{Exemple 1.3} Diviser $x^4 \bl{- 3}x^3 \bl{+ 2}x^2 \bl{-}x \bl{+ 2}$ par $x-\ve{3}$. }

\hunc{2}{\small
\uncover<2->{
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 0.8cm, row sep = 0.8cm, ampersand replacement=\&] 
	{
		 \bl{1} \& {}\only<3->{\bl{-3}} \& {}\only<4->{\bl{2}} \& {}\only<5->{\bl{-1}} \& {}\only<6->{\bl{2}} \\
				\&  {}\only<10->{3} \& {}\only<14->{0} \& {}\only<18->{6} \& {}\only<22->{15} \\
		{}\only<8->{\ora{1}}	\&   \only<12->{\ora{0}} \& \only<16->{\ora{2}} \& \only<20->{\ora{5}} \& {}\only<24->{\boxed{\vi{17}}} \\
	};
	
	\node[above, black!60] at (A-1-1.north) {$x^4$};
	\only<3->{\node[above, black!60] at (A-1-2.north) {$x^3$};}
	\only<4->{\node[above, black!60] at (A-1-3.north) {$x^2$};}
	\only<5->{\node[above, black!60] at (A-1-4.north) {$x$};}
	\only<6->{\node[above, black!60] at (A-1-5.north) {$1$};}
	\uncover<7->{\node[draw, circle, above right, yshift=0.2cm, xshift=0.5cm, dgreen] at (A-3-5.north east) {$\cdot 3$};}
	
	\only<8->{\draw[->] (A-1-1.south) -- (A-3-1.north); }
	\only<9->{\draw[->] (A-3-1) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{3}$} (A-2-2); }
	\only<13->{\draw[->] (A-3-2) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{3}$} (A-2-3);} 
	\only<17->{\draw[->] (A-3-3) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{3}$} (A-2-4); }
	\only<21->{\draw[->] (A-3-4) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{3}$} (A-2-5); }
	\only<12->{\draw[->] (A-2-2) -- (A-3-2); }
	\only<16->{\draw[->] (A-2-3) -- (A-3-3); }
	\only<20->{\draw[->] (A-2-4) -- (A-3-4); }
	\only<24->{\draw[->] (A-2-5) -- (A-3-5); }
	\only<11->{\path (A-1-2) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-2); }
	\only<15->{\path (A-1-3) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-3); }
	\only<19->{\path (A-1-4) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-4); }
	\only<23->{\path (A-1-5) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-5); }
	
    \uncover<26->{\node[below, black!60] at (A-3-1.south) {$x^3$};}
    \uncover<26->{\node[below, black!60] at (A-3-2.south) {$x^2$};}
    \uncover<26->{\node[below, yshift=-0.13cm, black!60] at (A-3-3.south) {$x$};}
    \uncover<26->{\node[below, yshift=-0.08cm, black!60] at (A-3-4.south) {$1$};}
    \uncover<33->{\node[below, yshift=-0.0cm, black!60] at (A-3-5.south) {reste};}

	
 
\end{tikzpicture} 
\end{center}}

\uncover<25->{Les nombres de la dernière ligne (sauf le dernier) sont les coefficients du quotient: }
\uncover<27->{$$\ora{1}\cdot x^3 \uncover<28->{+ \ora{0}\cdot x^2}\uncover<29->{ + \ora{2}\cdot x}\uncover<30->{ + \ora{5}\cdot 1} \uncover<31->{= \ora{x^3 + 2x + 5}}$$}
\uncover<32->{Le dernier nombre, ici $\vi{17}$, correspond au reste de la division.}\uncover<34->{ On a donc:
$$x^4 - 3x^3 + 2x^2 -x + 2 = \uncover<33->{(x-\ve{3})\cdot (\ora{x^3+2x+5}) \uncover<34->{\vi{+ 17}}}$$} }

\end{frame}


\begin{frame}{Notion de divisibilité}

On dit qu'un polynôme p est \textbf{divisible} par un polynôme \ve{d} si \textbf{le reste \vi{r} de la division de p par \ve{d} est \vi{0}}. \\[0.5cm]

\uncover<2->{
\underline{Exemple 1.4} $p(x)=x^3-8$  est divisible par \ve{$d(x)=x-2$}.}
\hunc{3}{\small
\uncover<3->{
En effet, 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 0.8cm, row sep = 0.8cm, ampersand replacement=\&] 
	{
		 \bl{1} \& {}\only<4->{\bl{0}} \& {}\only<5->{\bl{0}} \& {}\only<6->{\bl{-8}}  \\
				\&  {}\only<10->{2} \& {}\only<14->{4} \& {}\only<18->{8}  \\
		{}\only<8->{\ora{1}}	\&   \only<12->{\ora{2}} \& \only<16->{\ora{4}} \& \only<20->{\ora{0}}  \\
	};
	
	\node[above, black!60] at (A-1-1.north) {$x^3$};
	\only<4->{\node[above, black!60] at (A-1-2.north) {$x^2$};}
	\only<5->{\node[above, black!60] at (A-1-3.north) {$x$};}
	\only<6->{\node[above, black!60] at (A-1-4.north) {$1$};}
	\uncover<7->{\node[draw, circle, above right, yshift=0.2cm, xshift=0.5cm, dgreen] at (A-3-5.north east) {$\cdot 2$};}
	
	\only<8->{\draw[->] (A-1-1.south) -- (A-3-1.north); }
	\only<9->{\draw[->] (A-3-1) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{2}$} (A-2-2); }
	\only<13->{\draw[->] (A-3-2) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{2}$} (A-2-3);} 
	\only<17->{\draw[->] (A-3-3) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{2}$} (A-2-4); }
	\only<12->{\draw[->] (A-2-2) -- (A-3-2); }
	\only<16->{\draw[->] (A-2-3) -- (A-3-3); }
	\only<20->{\draw[->] (A-2-4) -- (A-3-4); }
	\only<11->{\path (A-1-2) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-2); }
	\only<15->{\path (A-1-3) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-3); }
	\only<19->{\path (A-1-4) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-4); }
	
    \uncover<21->{\node[below, black!60] at (A-3-1.south) {$x^2$};}
    \uncover<22->{\node[below, black!60] at (A-3-2.south) {$x$};}
    \uncover<23->{\node[below, yshift=-0.13cm, black!60] at (A-3-3.south) {$1$};}
    \uncover<24->{\node[below, yshift=-0.08cm, black!60] at (A-3-4.south) {reste};}
 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\uncover<25->{Le reste de la division est $\ora{0}$, le polynôme est donc divisible par $\ve{x-2}$.}\uncover<26->{On peut écrire le polynôme comme:
$$x^3-8 = (x-2)(x^2 +2x + 4)$$}
}}

\end{frame}

\begin{frame}
\underline{Contre-exemple 1.5} $p(x)=2x^3+x - 5$ n'est pas divisible par \ve{$d(x)=x+3$}.

\hunc{3}{\small
\uncover<3->{
En effet, 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 0.8cm, row sep = 0.8cm, ampersand replacement=\&] 
	{
		 \bl{2} \& {}\only<4->{\bl{0}} \& {}\only<5->{\bl{1}} \& {}\only<6->{\bl{-5}}  \\
				\&  {}\only<10->{-6} \& {}\only<14->{18} \& {}\only<18->{-57}  \\
		{}\only<8->{\ora{2}}	\&   \only<12->{\ora{-6}} \& \only<16->{\ora{19}} \& \only<20->{\ora{-62}}  \\
	};
	
	\node[above, black!60] at (A-1-1.north) {$x^3$};
	\only<4->{\node[above, black!60] at (A-1-2.north) {$x^2$};}
	\only<5->{\node[above, black!60] at (A-1-3.north) {$x$};}
	\only<6->{\node[above, black!60] at (A-1-4.north) {$1$};}
	\uncover<7->{\node[draw, circle, above right, yshift=0.2cm, xshift=0.5cm, dgreen] at (A-3-5.north east) {$\cdot (-3)$};}
	
	\only<8->{\draw[->] (A-1-1.south) -- (A-3-1.north); }
	\only<9->{\draw[->] (A-3-1) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{-3}$} (A-2-2); }
	\only<13->{\draw[->] (A-3-2) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{-3}$} (A-2-3);} 
	\only<17->{\draw[->] (A-3-3) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{-3}$} (A-2-4); }
	\only<12->{\draw[->] (A-2-2) -- (A-3-2); }
	\only<16->{\draw[->] (A-2-3) -- (A-3-3); }
	\only<20->{\draw[->] (A-2-4) -- (A-3-4); }
	\only<11->{\path (A-1-2) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-2); }
	\only<15->{\path (A-1-3) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-3); }
	\only<19->{\path (A-1-4) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-4); }
	
    \uncover<21->{\node[below, black!60] at (A-3-1.south) {$x^2$};}
    \uncover<22->{\node[below, black!60] at (A-3-2.south) {$x$};}
    \uncover<23->{\node[below, yshift=-0.13cm, black!60] at (A-3-3.south) {$1$};}
    \uncover<24->{\node[below, yshift=-0.08cm, black!60] at (A-3-4.south) {reste};}
 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\uncover<25->{Le reste de la division est $\ora{-62}$, le polynôme n'est donc pas divisible par $\ve{x+3}$.}}}
\ifTeach \else \vspace{6cm} \fi

\uncover<26->{
\underline{Critère de divisibilité}
$$\boxed{\mbox{p(x) est divisible par x-\ve{a}}  \Leftrightarrow \mbox{\ve{a} est un zéro de p(x) [p(\ve{a})=0]}} $$
}
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.4} Factoriser le polynôme suivant $p(x)=x^3-3x^2 + 3x -2$ en effectuant une division euclidienne. \\

\vfill

\hunc{2}{\small
Cherchons un zéro du polynôme $p(x)=x^3-3x^2 + 3x -2$. 
\begin{enumerate}
\item<3-> $p(\bl{0}) 
\uncover<4->{=  \bl{0}^3 - 3\cdot(\bl{0})^2 + 3\cdot(\bl{0}) -2} 
\uncover<5->{= -2}$ \uncover<6->{$\rightarrow$ pas divisible par $x$}
\item<7-> $p(\bl{1}) 
\uncover<8->{= \bl{1}^3 - 3\cdot(\bl{1})^2 + 3 \cdot (\bl{1}) - 2}
\uncover<9->{= -10}$ \uncover<10->{$\rightarrow$ pas divisible par $x-1$}
\item<11-> $p(\bl{2}) 
\uncover<12->{= \bl{2}^3 - 3\cdot(\bl{2})^2 + 3 \cdot (\bl{2}) - 2}
\uncover<12->{= 8 - 12 + 6 - 2}
\uncover<13->{= 0}$ \uncover<14->{$\rightarrow$ Divisible par $x-2$ !}
\end{enumerate}

\vfill
\uncover<15->{
\vspace{-0.5cm}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

	\matrix (A) [matrix of math nodes, column sep = 0.8cm, row sep = 0.8cm, ampersand replacement=\&] 
	{
		 \bl{1} \& \bl{-3} \& \bl{3} \& \bl{-2}\\
				\&  {}\only<19->{2} \& {}\only<23->{-2} \& {}\only<26->{2} \\
		{}\only<17->{\ora{1}}	\&   \only<21->{\ora{-1}} \& \only<24->{\ora{1}} \& \only<27->{\ora{0}} \\
	};
	
	\node[above, black!60] at (A-1-1.north) {$x^3$};
	\only<1->{\node[above, black!60] at (A-1-2.north) {$x^2$};}
	\only<1->{\node[above, black!60] at (A-1-3.north) {$x$};}
	\only<1->{\node[above, black!60] at (A-1-4.north) {$1$};}
	\uncover<16->{\node[draw, circle, above right, yshift=0.2cm, xshift=0.5cm, dgreen] at (A-3-4.north east) {$\cdot 2$};}
	
	\only<17->{\draw[->] (A-1-1.south) -- (A-3-1.north); }
	
	\only<18->{\draw[->] (A-3-1) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{2}$} (A-2-2); }	
	\only<22->{\draw[->] (A-3-2) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{2}$} (A-2-3);} 
	\only<25->{\draw[->] (A-3-3) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.65]{$\cdot \ve{2}$} (A-2-4); }
	
	\only<20->{\draw[->] (A-2-2) -- (A-3-2); }
	\only<24->{\draw[->] (A-2-3) -- (A-3-3); }
	\only<27->{\draw[->] (A-2-4) -- (A-3-4); }

	\only<20->{\path (A-1-2) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-2); }
	\only<24->{\path (A-1-3) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-3); }
	\only<27->{\path (A-1-4) -- node[draw, circle, fill=white, scale=0.6]{$+$} (A-2-4); }
	
    \uncover<28->{\node[below, black!60] at (A-3-1.south) {$x^2$};}
    \uncover<28->{\node[below, yshift=-0.13cm, black!60] at (A-3-2.south) {$x^{\hspace{0.2cm}}$};}
    \uncover<28->{\node[below, yshift=-0.08cm, black!60] at (A-3-3.south) {$1$};}
    \uncover<28->{\node[below, yshift=-0.13cm, black!60] at (A-3-4.south) {reste};}
 
\end{tikzpicture} 
\end{center}
\vspace{-0.5cm}
\uncover<29->{On a donc $p(x) = x^3-3x^2 + 3x -2 \uncover<30->{= (x-2)(x^2-x+1)}$ \uncover<31->{qui n'est pas plus factorisable ($\Delta<0$ pour $x^2-x+1$)}} 
}}

\end{frame}

\begin{frame}{2. La notion de fraction rationnelle}

\underline{Exercice 2.1} Un groupe d'amis s'entraîne au basket en faisant des lancers francs. \\[0.2cm]


Annie a réussi 14 paniers. Sachant que son taux de réussite est de $\dfrac{2}{3}$, combien a-t-elle fait de lancers francs?\\[0.5cm]
   
\hunc{2}{
On cherche à résoudre $\frac{14}{x} = \frac{2}{3}$. \uncover<3->{$x$ \ro{ne peut donc pas} être égal à zéro.
\begin{equa}
\frac{14}{x} &=& \frac{2}{3} \uncover<4->{& \cdot x }\\[0.2cm] 
\uncover<5->{\LRq 14 &=& \frac{2}{3}\cdot x \uncover<6->{& \cdot \frac{3}{2}, \leftrightarrow }}\\[0.2cm]  
\uncover<7->{\LRq x &=& \frac{3}{2}\cdot 14 \uncover<8->{& \mbox{CN} }}\\[0.2cm]  
\uncover<9->{\LRq x &=& 21 \uzero\uncover<10->{ \qqR S=\{21\}}}\\  
\end{equa}}
\uncover<11->{Annie a donc fait 21 lancers francs.}}
\end{frame}


\begin{frame}

Paul a fait 24 lancers francs et Sophie en a fait 36. Sachant que 20 paniers ont été réussis entre les deux joueurs et que le taux de réussite des joueurs est le même, combien de paniers a réussi Paul?
\vfill
\hunc{2}{Soit x le nombre de paniers réussi par Paul. Sophie a donc réussi 20-x paniers. \uncover<3->{Les taux de réussite étant les mêmes, on a:
\begin{equa}
\dfrac{x}{24} &=& \dfrac{20-x}{36} & \uncover<4->{-\dfrac{20-x}{36}}\\[0.2cm]
\uncover<5->{\LRq \dfrac{x}{24} - \dfrac{20-x}{36} &=& 0 & \uncover<6->{\mbox{Même dénominateur}}}\\[0.2cm]
\uncover<7->{\LRq \dfrac{3x}{72} - \dfrac{40-2x}{72} &=& 0 & \uncover<8->{\cdot 72}}\\[0.2cm]
\uncover<9->{\LRq 3x - (40-2x) &=& 0 & \uncover<10->{\mbox{CN}}}\\[0.2cm]
\uncover<11->{\LRq 5x - 40 &=& 0 &\uncover<12->{+40}}\\[0.2cm]
\uncover<13->{\LRq 5x &=& 40 &\uncover<14->{\div 5}}\\[0.2cm]
\uncover<15->{\LRq x &=& 8 \uncover<16->{\uzero \qqR S=\{8\}}}\\
\end{equa}}
\uncover<17->{Paul a réussi 8 paniers. \uncover<18->{Sophie en a réussi $20-8 = 12$.}}}


\end{frame}

\begin{frame}{3. Amplification et simplification de fractions}

Lorsque l'on \bl{mutliplie} le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même terme, on ne change pas sa valeur:\\
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{5}{4} \hunc{2}{= \dfrac{5 \bl{\cdot 3}}{4 \bl{\cdot 3}} \uncover<3->{= \dfrac{15}{12}}}$
\item $\dfrac{x^3 + 3}{x -4} 
\hunc{4}{= \dfrac{(x^3 + 3)\bl{\cdot 3x}}{(x -4)\bl{\cdot 3x}} 
\uncover<5->{= \dfrac{3x^4 + 9x}{3x^2 -12x}} }$\\
\end{enumerate}
\uncover<6->{On parle d'\bl{amplification}.}\uncover<7->{ On utilise l'\bl{amplification} pour mettre différentes fractions \textbf{au même dénominateur} lorsque l'on veut les additionner ou les soustraire. }\\

\uncover<8->{
De même, lorsque l'on \ro{divise} le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même terme, on ne change pas sa valeur:\\
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{9}{15} \hunc{9}{
\only<9>{= \dfrac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5} }
\only<10->{= \dfrac{\cancel{3} \cdot 3}{\cancel{3} \cdot 5} }
\uncover<11->{= \dfrac{3}{5}}}$
\item $\dfrac{(x^2-1)}{x^2 + 2x + 1} \hunc{12}{
\uncover<12->{= \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} }
\only<13>{= \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)} }
\only<14->{= \dfrac{(x-1)\cancel{(x+1)}}{(x+1)\cancel{(x+1)}} }
\uncover<15->{= \dfrac{x-1}{x+1}} }$\\
\end{enumerate}
\uncover<16->{On parle de \ro{simplification}.}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 3.1} Simplifier les fractions suivantes.\\[0.5cm]

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3(x-2)^2}{6(x-2)}$
\hunc{2}{$= \dfrac{\cancel{3}(x-2)^{2}}{\cancel{6}\,\ro{2}(x-2)}
\uncover<3->{=\dfrac{(x-2)^{\cancel{2}\, \ro{1}}}{2\cancel{(x-2)}}}
\uncover<4->{=\dfrac{(x-2)}{2}}$}\ifTeach\\[0.5cm]\else\\[1cm]\fi
\item $\dfrac{5x^3y^2}{15x^5y}$
\hunc{5}{$= \dfrac{\cancel{5}x^3y^2}{\cancel{15}\,\ro{3} x^5y} 
\uncover<6->{= \dfrac{\cancel{x^3}y^{2}}{3 x^{\cancel{5}\,\ro{2}}y}}
\uncover<7->{= \dfrac{y^{\cancel{2}\,\ro{1}}}{3 x^2\cancel{y}} }
\uncover<8->{=\dfrac{y}{3x^2}}$}\ifTeach\\[0.5cm]\else\\[1cm]\fi
\item $\dfrac{5x}{15x^2+25x}$ 
\hunc{9}{$= \dfrac{5x}{5x(x+5)}
\uncover<10->{= \dfrac{\cancel{5x}\,\ro{1}}{\cancel{5x}(x+5)}}
\uncover<11->{= \dfrac{1}{x+5}}$}\ifTeach\\[0.5cm]\else\\[1cm]\fi
\item $\dfrac{16-x^2}{x-4}$
\hunc{12}{$= \dfrac{(4-x)(4+x)}{x-4}
\only<13>{= \dfrac{(4-x)(4+x)}{-(4-x)}}
\only<14->{=\dfrac{(4+x)\cancel{(4-x)}}{-\cancel{(4-x)}\,\ro{1}}}
\uncover<15->{= -(4+x)}$} 
\end{enumerate}



\end{frame}

\begin{frame}{4. Multiplication et division}
 
\underline{Exercice 4.1} Effectuer les calculs suivants \\[0.5cm]
\begin{equan}
1. & \dfrac{25}{12} \cdot \dfrac{9}{15} 
\hunc{2}{&=& \dfrac{25 \cdot 9}{12 \cdot 15} 
\uncover<3->{= \dfrac{\Canc{4}{3}{5} \cdot 5 \cdot \Canc{5}{3}{3} \cdot \Canc{6}{3}{3}}{\Canc{5}{3}{3} \cdot 4 \cdot \Canc{6}{3}{3} \cdot \Canc{4}{3}{5}} }
\uncover<7->{= \dfrac{5}{4} }} \uzero\ifTeach\\[0.5cm]\else\\[1cm]\fi

\uncover<8->{2. & \dfrac{32}{3} \div \dfrac{16}{9}
\hunc{9}{ &=& \dfrac{32}{3} \bl{\cdot} \dfrac{\bl{9}}{\bl{16}}
\uncover<10->{ = \dfrac{32 \cdot 9}{3 \cdot 16}}
\uncover<11->{ = \dfrac{\Canc{12}{11}{16} \cdot 2 \cdot \Canc{13}{11}{3} \cdot 3}{\Canc{13}{11}{3} \cdot \Canc{12}{11}{16}\uncover<14->{\,\cdot \ro{1}}}}
\uncover<15->{= \dfrac{6}{1} = 6}} \uzero \ifTeach\\[0.5cm]\else\\[1cm]\fi}

\uncover<16->{3. & \dfrac{15}{16} \div 3
\hunc{17}{ &=&\dfrac{15}{16} \div \dfrac{3}{1}
\uncover<18->{ = \dfrac{15}{16} \bl{\cdot \dfrac{1}{3}}}
\uncover<19->{ = \dfrac{15}{16 \cdot 3}}
\uncover<20->{ = \dfrac{5 \cdot \Canc{21}{20}{3}}{4 \cdot 4 \cdot \Canc{21}{20}{3}}}
\uncover<22->{ = \dfrac{5}{16}} \uzero }\ifTeach\\[0.5cm]\else\\[1cm]\fi}

\uncover<23->{4. & \dfrac{5^2}{2^3} \cdot \dfrac{2 \cdot 5^3}{5^2}
\hunc{24}{&=& \dfrac{5^2 \cdot 2 \cdot 5^3}{2^3 \cdot 5^2} 
\uncover<25->{= \dfrac{5^5 \cdot 2}{2^3 \cdot 5^2} }
\only<26>{= \dfrac{5^5 \cdot 2}{2^3 \cdot 5^3}}
\only<27>{= \dfrac{5^{\cancel{5}\,\ro{2}} \cdot 2}{2^3 \cdot \cancel{5^3}}}
\only<28->{= \dfrac{5^{\cancel{5}\,\ro{2}} \cdot \cancel{2}}{2^{\cancel{3}\,\ro{2}} \cdot \cancel{5^3}}}
\uncover<29->{= \dfrac{5^2}{2^2}}
\uncover<30->{= \dfrac{25}{4}}\uzero}}
\end{equan}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 4.1} Effectuer les calculs suivants et réduire les fractions. \\[0.5cm]

\begin{equan}
1. & \dfrac{x^2-4}{x+3}\cdot\dfrac{x^2-9}{x+2} 
\hunc{2}{\uncover<2->{&=& \dfrac{(x^2-4)\cdot(x^2-9)}{(x+3)\cdot(x+2)}}
\uzero\\[0.2cm]
&\uncover<3->{&=& \dfrac{\Canc{4}{3}{(x+2)}\cdot(x-2)\cdot \Canc{5}{3}{(x+3)}\cdot(x-3)}{\Canc{5}{3}{(x+3)}\cdot \Canc{4}{3}{(x+2)}\uncover<6->{\ro{\,\cdot 1}}}}
\uzero\\[0.2cm]
&\uncover<7->{&=& \dfrac{(x-2)\cdot(x-3)}{1}}
\uncover<8->{= (x-2)\cdot(x-3)}
\uzero\\[0.5cm]}

\uncover<9->{2. & \dfrac{x^2-x}{x^2-1}\div \dfrac{x^2}{x^2+x}
\hunc{10}{\uncover<10->{&=& \dfrac{x^2-x}{x^2-1}\bl{\cdot}\dfrac{\bl{x^2+x}}{\bl{x^2}}}\uzero\\[0.2cm]
&\uncover<11->{&=& \dfrac{x\cdot(x-1)}{(x-1)\cdot(x+1)}\cdot\dfrac{x\cdot(x+1)}{x\cdot x} }
\uzero\\[0.2cm]
&\uncover<12->{&=& \dfrac{\Canc{13}{12}{x}\cdot\Canc{14}{12}{(x-1)}\cdot \Canc{15}{12}{x}\cdot\Canc{16}{12}{(x+1)}\,\uncover<17->{\cdot\ro{1}}}
{\Canc{14}{12}{(x-1)}\cdot\Canc{16}{12}{(x+1)}\cdot \Canc{13}{12}{x} \cdot \Canc{15}{12}{x}\uncover<18->{\cdot\ro{1}}}}
\uncover<19->{= \dfrac{1}{1}}
\uncover<20->{= 1}
\uzero}}
\end{equan}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Marche à suivre pour la multiplication}\\[0.25cm]
\begin{enumerate}
\item<1-> Factoriser au maximum chaque terme
\item<2-> Mettre sur la même barre de fractions
\item<3-> Simplifier
\end{enumerate}

\vfill
\uncover<4->{
\underline{Marche à suivre pour la division}\\[0.25cm]
\begin{enumerate}
\item<5-> \ro{Transformer la division en multiplication}
\item<6-> Factoriser au maximum chaque terme
\item<7-> Mettre sur la même barre de fractions
\item<8-> Simplifier
\end{enumerate}

}

\end{frame}

\begin{frame}

\only<beamer>{\small}
\underline{Exemple 4.2} Effectuer et réduire: 
$\dfrac{5x^2 - 5}{27x^3 - 8} \cdot \dfrac{9x^2+6x+4}{7x + 7}$. \\[0.2cm]

\hunc{2}{
\vfill
On commence par factoriser chaque terme:
\begin{enumerate}
\item<3-> $5x^2-5 \uncover<4->{\stackrel{MEE}{=} 5(x^2 -1)}\uncover<5->{= 5(x-1)(x+1)}$
\item<6-> $27x^3-8 \uncover<7->{\stackrel{PR}{=} (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}$
\item<8-> $9x^2 + 6x + 4 \uncover<9->{\Rightarrow \Delta \uncover<10->{= 6^2-4\cdot 4 \cdot 9}\uncover<11->{= -108}\uncover<11->{<0}}$ \uncover<12->{$\Rightarrow$ Factorisé au maximum} 
\item<13-> $7x+7 \uncover<14->{\stackrel{MEE}{=} 7(x + 1)} $ \\[0.2cm]
\end{enumerate}

\uncover<15->{
\vfill
On remplace dans l'expression de départ
\begin{equa}
\dfrac{5x^2 - 5}{27x^3 - 8} \cdot \dfrac{9x^2+6x+4}{7x + 7}
\uncover<16->{&=&\dfrac{5(x-1)(x+1)}{(3x-2)(9x^2+6x+4)}\cdot \dfrac{9x^2+6x+4}{7(x+1)}\uzero}\\[0.5cm]
\uncover<17->{&=&}
\only<17>{\dfrac{5(x-1)(x+1)(9x^2+6x+4)}{(3x-2)(9x^2+6x+4)\cdot 7 \cdot (x+1)}}
\only<18>{\dfrac{5(x-1)\cancel{(x+1)}(9x^2+6x+4)}{(3x-2)(9x^2+6x+4)\cdot 7 \cdot \cancel{(x+1)}}}
\only<19->{\dfrac{5(x-1)\cancel{(x+1)}\cancel{(9x^2+6x+4)}}{(3x-2)\cancel{(9x^2+6x+4)}\cdot 7 \cdot \cancel{(x+1)}}}\uzero \\[0.5cm]
\uncover<20->{&=&\dfrac{5(x-1)}{7(3x-2)}}\uzero\\[0.5cm]
\end{equa}}

}
\end{frame}

\begin{frame}

\only<beamer>{\small}
\underline{Exercice 4.2} Effectuer et réduire $\dfrac{3x^2}{x^3-1}:\dfrac{x^3}{x-1}$.\\[0.2cm]

\hunc{2}{
\vfill
On transforme la division en multiplication:
$$\dfrac{3x^2}{x^3-1}:\dfrac{x^3}{x-1} \uncover<3->{= \dfrac{3x^2}{x^3-1}\bl{\cdot\dfrac{x-1}{x^3}}}$$

\uncover<4->{
On factorise ensuite chaque terme:
\begin{enumerate}
\item<5-> $3x^2$, $x^3$ et $x-1$ \uncover<6->{$\Rightarrow$ Factorisé au maximum} 
\item<7-> $x^3-1 \uncover<8->{\stackrel{PR}{=} (x - 1)(x^2 + x + 1)}$\\[0.2cm]
\end{enumerate}}

\uncover<9->{
\vfill
On remplace dans l'expression de départ
\begin{equa}
\dfrac{3x^2}{x^3-1}\cdot\dfrac{x-1}{x^3}
\uncover<10->{&=&\dfrac{3x^2}{(x-1)(x^2 + x + 1}\cdot\dfrac{x-1}{x^3} \uzero}\\[0.5cm]
\uncover<11->{&=&}
\only<11>{\dfrac{3x^2 \cdot (x-1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)x^3}}
\only<12>{\dfrac{3x^2 \cdot \cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x^2 + x + 1)x^3}}
\only<13->{\dfrac{3\cancel{x^2} \cdot \cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}(x^2 + x + 1)x^{\cancel{3}\,\ro{1}}}} \uzero\\[0.5cm]
\uncover<14->{&=&\dfrac{3}{x(x^2 + x + 1)} \uzero}\\[0.5cm]
\end{equa}}

}

\end{frame}

\begin{frame}{5. Addition et soustraction de fractions}

\underline{Exercice 5.1}. Effectuer et réduire les calculs suivants.\\[0.5cm]

\begin{equan}

1. & \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6} 
\hunc{2}{&=&\dfrac{3 \ve{\cdot 3}}{4 \ve{\cdot 3}} + \dfrac{5 \ve{\cdot 2}}{6 \ve{\cdot 2}}
\uncover<3->{=\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12}}
\uncover<4->{=\dfrac{19}{12}} \uzero}\\\ifTeach\\[0.5cm]\else\\[1.5cm]\fi 

\uncover<5->{
2. & \dfrac{4}{6} + \dfrac{3}{72} - \dfrac{5}{4}
\hunc{6}{&=& \dfrac{4}{6} + \dfrac{\ro{1}}{\ro{24}} - \dfrac{5}{4}
\uncover<7->{=\dfrac{4 \ve{\cdot 4}}{6 \ve{\cdot 4}} + \dfrac{\ro{1}}{\ro{24}} - \dfrac{5 \ve{\cdot 6}}{4 \ve{\cdot 6}}}\uzero \\[0.2cm]
&\uncover<8->{&=&\dfrac{16}{24} + \dfrac{\ro{1}}{\ro{24}} - \dfrac{30}{24}}
\uncover<9->{=\dfrac{16+1-30}{24}}
\uncover<10->{=\dfrac{-13}{24}} \uzero} \\\ifTeach\\[0.5cm]\else\\[1.5cm]\fi }

\uncover<11->{
3. & \dfrac{5}{2\cdot 3^3} + \dfrac{7}{2^3 \cdot 3^2}
\hunc{12}{&=& \dfrac{5 \ve{\cdot 2^2}}{2 \cdot 3^3 \ve{\cdot 2^2}} + \dfrac{7 \ve{\cdot 3}}{2^3 \cdot 3^2 \ve{\cdot 3}} 
\uncover<13->{= \dfrac{20}{2^3 \cdot 3^3} + \dfrac{21}{2^3 \cdot 3^3}} \uzero\\[0.2cm]
&\uncover<14->{&=& \dfrac{20}{216} + \dfrac{21}{216}} 
\uncover<15->{= \dfrac{41}{216}}  \uzero}
}
\end{equan}

\end{frame}

\begin{frame}
\underline{Exemple 5.1} Effectuer les calculs suivants. \\[0.5cm]

\begin{equan}
1. & \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{5-3x}{x^2-x}
\hunc{2}{&=& \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{5-3x}{x(x-1)} 
\uncover<3->{= \dfrac{2\ve{x}}{\ve{x}(x-1)} + \dfrac{5-3x}{x(x-1)} }\uzero\\[0.3cm]
&\uncover<4->{&=& \dfrac{2x + 5 -3x}{x(x-1)}}
\uncover<5->{= \dfrac{-x + 5}{x(x-1)}}
\uncover<6->{= \dfrac{5-x}{x(x-1)}}\uzero}\ifTeach\\[0.5cm]\else\\[3cm]\fi 
\uncover<7->{
2. & \dfrac{x-2}{x+2} - \dfrac{x+2}{x-2} 
\hunc{8}{&=& \dfrac{(x-2)\ve{(x-2)}}{(x+2)\ve{(x-2)}} - \dfrac{(x+2)\ve{(x+2)}}{(x-2)\ve{(x+2)}}\uzero\\[0.3cm]
&\uncover<9->{&=& \dfrac{x^2-4x+4 - [x^2+4x+4]}{(x-2)(x+2)}}\uzero\\[0.3cm]
&\uncover<10->{&=& \dfrac{-8x}{(x-2)(x+2)}} \uzero}}\\[0.5cm]
\end{equan}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Marche à suivre pour l'addition et la soustraction} \\[0.25cm]
\begin{enumerate}
\item<1-> Factoriser au maximum les termes
\item<2-> Simplifier
\item<3-> Trouver le plus petit dénominateur commun
\item<4-> Amplifier les fractions pour qu'elles soient au même dénominateur
\item<5-> Mettre sur la même barre de fractions
\item<6-> Factoriser au maximum le numérateur
\item<7-> Simplifier
\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 5.2} Réduire: $\dfrac{x+1}{x-3} - \dfrac{2x+18}{x^2-9}$.\\[0.2cm]

\hunc{2}{
\begin{equa}
\dfrac{x+1}{x-3} - \dfrac{2x+18}{x^2-9} 
\uncover<3->{&=&\dfrac{x+1}{x-3} - \dfrac{2(x+9)}{(x-3)(x+3)} }\uzero\\[0.2cm]
\uncover<4->{&=&\dfrac{(x+1)\ve{(x+3)}}{(x-3)\ve{(x+3)}} - \dfrac{2(x+9)}{(x-3)(x+3)} }\uzero\\[0.2cm]
\uncover<5->{&=&\dfrac{(x+1)(x+3)- 2(x+9)}{(x-3)(x+3)}}\uzero\\[0.2cm]
\uncover<6->{&=&\dfrac{x^2+4x+3- 2x- 18)}{(x-3)(x+3)}}\uzero\\[0.2cm]
\uncover<7->{&=&\dfrac{x^2+2x-15}{(x-3)(x+3)} }
\only<8>{=\dfrac{(x-3)(x+5)}{(x-3)(x+3)} }
\only<9->{=\dfrac{\cancel{(x-3)}(x+5)}{\cancel{(x-3)}(x+3)} }
\uncover<10->{=\dfrac{x+5}{x+3}}\uzero
\end{equa}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 5.2} Réduire: $\dfrac{3x^2-4x-1}{x^2-2x+1} - \dfrac{x+3}{x-1}$.\\[0.2cm]

\hunc{2}{
\begin{equa}
\dfrac{x^2+4x-5}{x^2-2x+1} - \dfrac{x+3}{x-1} 
\uncover<3->{&=& \dfrac{(x+5)(x-1)}{(x-1)^2} - \dfrac{x+3}{x-1}}\uzero\\[0.2cm]
\uncover<5->{&=&}\only<4>{ \dfrac{(x+5)(x-1)}{(x-1)^{2}} - \dfrac{x+3}{x-1}}
\only<5->{ \dfrac{(x+5)\cancel{(x-1)}}{(x-1)^{\cancel{2}}} - \dfrac{x+3}{x-1}}\uzero\\[0.2cm]
\uncover<6->{&=& \dfrac{(x+5)}{(x-1)} - \dfrac{x+3}{x-1}}\uzero\\[0.2cm]
\uncover<7->{&=& \dfrac{(x+5) -(x+3)}{(x-1)}}\uzero\\[0.2cm]
\uncover<8->{&=& \dfrac{x+5 - x- 3}{(x-1)}}\uzero\\[0.2cm]
\uncover<9->{&=& \dfrac{2}{(x-1)}}\uzero\\[0.2cm]

\end{equa}}

\end{frame}

\begin{frame}{6. Résolution d'équations rationnelles}

\underline{Règle de résolution} Avant de résoudre un équation rationnelle, il faut ôter de l'ensemble des solutions possibles \textbf{toutes les valeurs qui annulent le dénominateur des fractions}. On parle d'\bl{ensemble de définition}, noté D. 

\vspace{0.2cm}

\uncover<2->{
\underline{Exemple 6.1} Résoudre l'équation $\dfrac{2x-10}{x}=3$. \\[0.2cm]

\hunc{3}{

Le dénominateur s'annule quand $x=0$. \uncover<4->{Notre ensemble contient donc toutes les valeurs sauf 0.} \uncover<5->{On le note $D= \mathbb{R}\backslash\{0\}$. }
%
\uncover<6->{
\begin{equa}
\dfrac{2x-10}{x} &=& 3 & \uncover<7->{\cdot x}\\
\uncover<8->{\Stack{\mbox{\footnotesize Résolvante}}{\ro{\Rightarrow}}\quad 2x-10 &=& 3x} & \uncover<9->{-3x + 10}\\
\uncover<10->{\Leftrightarrow\quad -x &=& 10} & \uncover<11->{\cdot (-1)}\\
\uncover<12->{\Leftrightarrow\quad x &=& -10} \uzero \uncover<13->{\qqR  \ro{S_R=\{-10\}}}\\
\end{equa}}

\uncover<14->{-10 se trouve dans l'ensemble de définition D, on a donc $S=\{-10\}$. }
%
}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 6.2} Résoudre l'équation $\dfrac{x^3-4x}{x+2}=0$. 
\vfill
\hunc{2}{

Le dénominateur s'annule quand $x+2=0 \uncover<3->{\Leftrightarrow x=-2}$\uncover<4->{. On a donc $D=\mathbb{R}\backslash\{-2\}$. }

\uncover<5->{
\begin{equa}
\dfrac{x^3-4x}{x+2} &=& 0 & \uncover<6->{\cdot (x+2)}\\
\uncover<7->{\Stack{\mbox{\footnotesize Résolvante}}{\ro{\Rightarrow}} x^3-4x &=& 0 & \uncover<8->{\mbox{Mise en évidence}}}\\
\uncover<9->{\Leftrightarrow\quad x(x^2-4) &=& 0 & \uncover<10->{\mbox{Produit remarquable}}}\\
\uncover<11->{\Leftrightarrow\quad x(x-2)(x+2) &=& 0 \uzero \qqR \uncover<12->{\ro{S_R=\{-2;0;2\}}}}\\
\end{equa}

\uncover<13->{-2 n'étant pas dans D, on a $S=\{0;2\}$.}
}}

\end{frame}

\end{document}



