\documentclass[mathserif]{beamer}
%\documentclass[mathserif, handout]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}

\begin{document}

\titreCours{5}{Factorisation}{}{}

\begin{frame}{1.1 La factorisation}

\underline{Définition 1.1} Un \bl{facteur} est l'un des éléments constitutifs d'un \ve{produit}.\\[0.2cm]

\uncover<2->{
\underline{Exemple 1.1} 
\begin{enumerate}
\item Dans l'expression $(x-2)\bl{\cdot}(x+3)$, $x-2$ et $x+3$ sont des facteurs.
\item<3-> Dans l'expression $(x-2) \ro{+} (x+3)$, $x-2$ et $x+3$ \ro{ne sont pas} des facteurs.
\end{enumerate}}

\vfill

\uncover<4->{
\underline{Définition 1.2} On dit qu'un polynôme est \bl{factorisé} s'il est écrit comme un \ve{produit de facteurs}.\\[0.2cm]}

\uncover<5->{
\underline{Exemple 1.2} 
\begin{enumerate}
\item Le polynôme $p(x)= 10\cdot(x-5)^2\cdot(x-2)\cdot(x+3)$ est factorisé. 
\item<6-> Le polynôme $p(x)= 10\cdot(x-5)^2 \ro{ + } (x-2)\cdot(x+3)$ \ro{n'est pas pas} factorisé.
\end{enumerate}}


\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.3} Résoudre l'équation $3x -2 = 0$.

\uncover<2-| handout:0>{
\begin{equa}
3x -2 & = & 0 & \uncover<3->{+2}\\ 
\uncover<4->{\LRq 3x & = & 2 }&  \uncover<5->{\div 3}\\ 
\uncover<6->{\LRq x & = & \bl{\frac{2}{3}}} \uzero \uncover<7->{\qquad\Rightarrow  S  =  \left\{\bl{\frac{2}{3}}\right\}}
\end{equa}

\uncover<8->{
On vérifie: $3x - 2  \stackrel{x=\bl{\frac{2}{3}}}{=} \uncover<9->{3\cdot\bl{\frac{2}{3}} - 2 \uncover<10->{= \frac{6}{3} -2 \uncover<11->{= 2 -2 = 0 \uncover<12->{\qquad \myCheck}}}}$}\\[0.5cm]

}

\vfill
\uncover<13->{
\underline{Exercice 1.4} Résoudre l'équation $2x - 4 = 0$.

\uncover<14-| handout:0>{
\begin{equa}
2x -4 & = & 0 & \uncover<15->{+4}\\ 
\uncover<16->{\LRq 2x & = & 4 }&  \uncover<17->{\div 2}\\ 
\uncover<18->{\LRq x & = & \bl{2}} \uzero \uncover<19->{\qquad\Rightarrow S  =  \left\{\bl{2}\right\}}  
\end{equa}

\uncover<20->{
On vérifie: $2x - 4  \stackrel{x=\bl{2}}{=} \uncover<21->{2\cdot\bl{2} - 4 \uncover<22->{= 4 -4 = 0 \uncover<23->{\qquad \myCheck}}}$}
}}


\end{frame}
\begin{frame}

\only<beamer>{\small}
\underline{Exemple 1.5} Résoudre l'équation $(3x-2)\cdot(2x-4) = 0$. \\

\vfill

\uncover<2- | handout:0>{
Vérifions si les réponses trouvées précédemment sont des solutions.\\[0.2cm]
\uncover<3->{
Si $x=\bl{\frac{2}{3}}$, alors
\begin{eqnarray*}
(3x-2)\cdot(2x-4) 
\uncover<4->{&=& \left(3\cdot\bl{\frac{2}{3}}-2\right)\cdot\left(2\cdot\bl{\frac{2}{3}}-4\right)}
\uncover<5->{= \left(\frac{6}{3}-2\right)\cdot\left(\frac{4}{3}-4\right)}\\
\uncover<6->{&=& \left( 2-2 \right)\cdot\left(\frac{4}{3}-\frac{12}{3}\right)}
\uncover<7->{= 0 \cdot\left(-\frac{8}{3}\right)}
\uncover<8->{ = 0 }\uncover<9->{\;\myCheck}
\end{eqnarray*}}

\uncover<9->{Si $x=\bl{2}$, alors
\begin{eqnarray*}
(3x-2)\cdot(2x-4) 
\uncover<10->{&=& \left(3\cdot\bl{2}-2\right)\cdot\left(2\cdot \bl{2}-4\right)}
\uncover<11->{= \left(6 - 2\right)\cdot\left(4 - 4\right)}
\uncover<12->{= 4 \cdot 0 = 0 \;\myCheck}
\end{eqnarray*}}

\uncover<13->{L'équation a donc pour solutions $\boxed{S=\left\{\frac{2}{3};2\right\}}$}
 
 }


\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Règle 1.1} Résoudre une équation du type $$(3x-2)\cdot(2x-4) = 0$$ revient donc à résoudre chacun des facteurs séparément:

$$\boxed{(3x-2)\cdot(2x-4) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} 3x-2 = 0 \\ 2x-4 =0 \end{cases}}$$

et à grouper les solutions. 

\only<handout>{
\vspace{1cm}
\underline{Exercice 1.2} Résoudre l'équation suivante:
$$\bl{10}\cdot\ve{(x+10)}\cdot\ro{(x-\sqrt{2})}\cdot\vi{(12-3x)}=0$$}

\end{frame}

\begin{frame}

\only<beamer>{\small}
\uncover<2- | handout:0>{

\underline{Exercice 1.2} Résoudre l'équation suivante:
$$\bl{10}\cdot\ve{(x+10)}\cdot\ro{(x-\sqrt{2})}\cdot\vi{(12-3x)}=0$$



On résoud une équation pour chaque terme:\\[0.2cm]


\begin{equan}
\uncover<3->{{\bf 1.} & \bl{10} &=& 0  \uncover<4->{\uzero \qqR \bl{S_1 = \emptyset} \\[0.2cm]}}
\uncover<5->{{\bf 2.} & \ve{x + 10} &=& 0  \uncover<6->{& \gr{ -10}\\}}
\uncover<7->{&\LRq x &=& -10}\uncover<8->{ \uzero \qqR \ve{S_2 = \left\{-10\right\}} \\[0.2cm]}
\uncover<9->{{\bf 3.} & \ro{x -\sqrt{2}} &=& 0  \uncover<10->{& \gr{+\sqrt{2}}\\}}
\uncover<11->{&\LRq  x &=&  \sqrt{2}}\uncover<12->{  \uzero \qqR \ro{S_3 = \left\{\sqrt{2}\right\}}  \\[0.2cm]}
\uncover<13->{{\bf 4.} & \vi{12 - 3x} &=& 0 \uncover<14->{ &  \gr{+ 3x}\\}}
\uncover<15->{&\LRq  12 &=& 3x  \uncover<16->{&  \gr{\div 3}\\}}
\uncover<17->{&\LRq  4 &=& x}\uncover<18->{ \uzero \qqR \vi{S_4 = \left\{4\right\} }\\[0.2cm]}
\end{equan}

\uncover<19->{Les solutions de l'équations sont donc $\boxed{S=\left\{\ve{-10};\ro{\sqrt{2}};\vi{4} \right\}}$.}

}

\end{frame}


\begin{frame}

\underline{Exemple 1.6} Ecrire une équation dont les solutions sont \bl{4}, \ve{-5} et \ro{$\sqrt{3}$}. Y a-t-il d'autres équations possibles?

\vfill
\uncover<2-| handout: 0 >{

Solutions possibles:
\begin{enumerate}
\item $(x-\bl{4})\cdot(x-(\ve{-5}))\cdot(x-\ro{\sqrt{3}}) = 0 
\uncover<3->{\Leftrightarrow (x-\bl{4})\cdot(x \ve{\,+\,5})\cdot(x-\ro{\sqrt{3}})=0}$.
\item<4-> $8\cdot(x-\bl{4})\cdot(x\ve{+5})\cdot(x-\ro{\sqrt{3}})=0$.
\item<5-> $(x-\bl{4})^2\cdot(x\ve{+5})^4\cdot(x-\ro{\sqrt{3}})^3=0$.
\end{enumerate}

}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 1.3} Résoudre les équations suivantes. \\

\begin{enumerate}
\item $x-7 = 0 \hunc{2}{\qquad \bl{S=\{7\}}}$\\[1cm]
\item $4 \cdot (4x - 3) \cdot (x + 4)^2  = 0 \hunc{3}{\qquad \bl{S=\{-4; \frac{3}{4}\}}}$\\[1cm]
\item $x^2 \cdot (2 - 3x)^5 \cdot (x + 1)  = 0 \hunc{4}{\qquad \bl{S=\{-1; 0; \frac{2}{3}\}}}$\\[1cm]
\item $4x(1 - x)  = 0 \hunc{5}{\qquad \bl{S=\{0; 1\}}}$\\[1cm]
\item $(x-3)(x^2 + 2x + 1)  = 0 \hunc{6}{\qquad \bl{S=\{-1; 3\}}}$
\end{enumerate}

\end{frame}


\begin{frame}
\underline{Définition 1.3} Un polynôme est factorisé \bl{au maximum} si tous les facteurs le composant sont \bl{réduits} et sont
\begin{enumerate}
\item<2-> de \textbf{degré 1}; ou
\item<3-> de \textbf{degré 2 avec $\Delta= b^2-4ac <0$}. 
\end{enumerate}
\uncover<4->{De plus, les termes ayant le même zéro sont groupés. }

\vfill

\uncover<5->{
\underline{Exemple 1.3} Les polynômes suivants sont-ils factorisés au maximum? Justifier dans le cas contraire.
\begin{enumerate}
\item $5(x+3) \hunc{6}{\qquad\myCheck}$  
\item<7-> $(x+1)(x^2-4) \hunc{5}{\qquad \myFalse}$ \hunc{8}{$\rightarrow x^2 -4$ a un $\Delta>0$}
\item<9-> $2(2 + x + 4) \hunc{9}{\qquad \myFalse}$ \hunc{10}{$\rightarrow (2+x+4)$ n'est pas réduit}
\end{enumerate}}


\vfill

\uncover<11->{\underline{Exercice 1.4}  Les polynômes suivants sont-ils factorisés au maximum?
\vspace{-0.2cm}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item<12-> $3(x-2) -x(x-2) \hunc{13}{\quad \myFalse}$
\item<13-> $5(x+2)(x+2) \hunc{14}{\quad \myFalse}$
\item<15-> $5(x^2+4x+4) \hunc{15}{\quad \myFalse}$
\item<16-> $5(x+2)^2 \hunc{17}{\quad \myCheck}$
\item<18-> $2(x^2 + 1) \hunc{19}{\quad \myCheck}$
\item<19-> $x^2 - 1 \hunc{20}{\quad \myFalse}$
\end{enumerate}
\end{multicols}}

\end{frame}





%%%%%%%%%%%%%%%%
% 2. MISE EN EVIDENCE
%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{2. La mise en évidence (MEE)}

On peut écrire n'importe quelle équation sous \bl{sa forme factorisée}:
$$\underbrace{14x^3 + 28x^2 = 0}_{\mbox{forme non factorisée}}   
\uncover<2->{\qquad\Leftrightarrow\qquad 
\bl{\underbrace{14x^2(x+2) = 0}_{\mbox{forme factorisée}} }}$$
\uncover<3->{La factorisation nous permet de trouver les solutions d'une équation, \uncover<4->{ici $S=\{-2;0\}$. }}

\vfill

\uncover<5->{
Nous allons voir différentes méthodes qui permettent de factoriser une équation. \uncover<6->{Pour commencer, nous allons entraîner la méthode de \ve{mise en évidence} qui consiste à \textbf{identifier un facteur commun dans toutes les expressions de l'équation et à l'extraire.}}}

\end{frame}

\begin{frame}
 
\underline{Exemple 2.1} Résoudre l'équation $x^2 - 5x = 0$

\vfill

\uncover<beamer>{
\uncover<2->{
On met sous forme factorisée:
\begin{equa}
x^2 -5x &=& 0 & \uncover<3->{\mbox{\gr{CL}}} \\
\only<4 | handout:0>{\LRq x\cdot x -5 \cdot x &=& 0 & \\} 
\only<5->{\LRq \bl{x}\cdot x -5 \cdot \bl{x} &=& 0 & \uncover<6->{\mbox{\gr{CL}}}} \\
\uncover<7->{\LRq \bl{x} \cdot (x -5) &=& 0 \uzero\\}
\end{equa} } 

\uncover<8->{
On résoud pour chaque facteur:\\[0.2cm]
\begin{equan}
1.& x &=& 0 \uzero \uncover<9->{\qqR S=\{ 0\} }\\[0.2cm]
\uncover<10->{2.& x - 5 &=& 0 & \uncover<11->{\gr{+5} }\\}
\uncover<12->{ &\LRq x &=& 5 \uzero \uncover<13->{\qqR S = \{ 5 \} }\\}
\end{equan}

\uncover<14->{
Les solutions de l'équation $x^2 -5x = 0$ sont donc $S=\{0;5\}$.
}}}

\end{frame}

\begin{frame}

Nous allons nous concentrer sur la factorisation dans les exercices suivants. 

\vfill

\underline{Exemple 2.2} Factoriser le polynôme suivant $5 - 10x$. \\
\uncover<2- | handout:0>{
$$5 - 10x 
\uncover<3->{= \bl{5} - \bl{5} \cdot 2 \cdot x}
\uncover<4->{= \bl{5}\cdot (1 - 2x)}
\uncover<5->{= \bl{5}(1 - 2x)}$$
}
\vfill

\uncover<6->{
\underline{Exercice 2.1} Factoriser le polynôme suivant $4x^2 - 2x$. \\
\uncover<7- | handout:0>{
$$
4x^2 - 2x 
\uncover<8->{= \bl{2} \cdot 2 \cdot \ve{x} \cdot x - \bl{2} \cdot \ve{x}}
\uncover<9->{= \bl{2}\cdot \ve{x}\cdot (2x - 1)}
\uncover<10->{= \bl{2}\ve{x}(2x - 1)}
$$
}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 2.3} Factoriser le polynôme suivant $(x + 2y)\cdot x  - (x +2y)$\\
\uncover<2- | handout:0>{
$$
(x + 2y)\cdot x  - (x +2y)
\uncover<3->{= \bl{(x + 2y)}\cdot x  - \bl{(x +2y)}\ro{\cdot 1}}
\uncover<4->{= \bl{(x + 2y)}\cdot (x  - \ro{1})}
$$
}

\vfill
\uncover<5->{
\underline{Exercice 2.2} Factoriser le polynôme suivant $5(4x-2) - 3(4x-2)$. \\
\uncover<6- | handout:0>{
\begin{eqnarray*}
5(4x-2) - 3(4x-2)
\uncover<7->{&=& 5 \cdot \bl{(4x-2)} - 3 \cdot \bl{(4x-2)}}\\
\uncover<8->{&=& \bl{(4x-2)}\cdot (5 - 3)}
\uncover<9->{= \bl{(4x-2)}\cdot 2}\\
\uncover<10->{&=& 2\bl{(4x-2)}}
\uncover<10->{= 4\bl{(2x-1)}}
\end{eqnarray*}
}}


\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 3. Les produits remarquables
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{3. Les produits remarquables (PR)}


Pour factoriser, nous pouvons utiliser les \textbf{produits remarquables}. \\ 

\vfill

\textbf{Produits remarquables du deuxième degré}
\begin{eqnarray*}
(A \bl{+} B)^{\ora{2}} &=& A^{\ora{2}} \bl{+} \ora{2}AB \bl{+} B^{\ora{2}} \\
\uncover<2->{(A \ro{-} B)^{\ora{2}} &=& A^{\ora{2}} \ro{-} {\ora{2}}AB \bl{+} B^{\ora{2}} } \\
\uncover<3->{(A \bl{+} B)(A \ro{-} B) &=& A^{\ora{2}} \ro{-} B^{\ora{2}} }
\end{eqnarray*}
\vfill 
\uncover<4->{
\textbf{Produits remarquables du troisième degré }
\begin{eqnarray*}
(A \bl{+} B)^{\vi{3}} &=& A^{\vi{3}} \bl{+} \vi{3}A^{\ora{2}}B \bl{+} \vi{3}AB^{\ora{2}} \bl{+} B^{\vi{3}} \\
\uncover<5->{(A \ro{-} B)^{\vi{3}} &=& A^{\vi{3}} \ro{-} {\vi{3}}A^{\ora{2}}B \bl{+} {\vi{3}}AB^{\ora{2}} \ro{-} B^{\vi{3}} } \\
\uncover<6->{(A \bl{+} B)(A^{\ora{2}} \ro{-} AB \bl{+} B^{\ora{2}}) &=& A^{\vi{3}} \bl{+} B^{\vi{3}} }\\ 
\uncover<7->{(A \ro{-} B)(A^{\ora{2}} \bl{+} AB \bl{+} B^{\ora{2}}) &=& A^{\vi{3}} \ro{-} B^{\vi{3}} }
\end{eqnarray*}}

\end{frame}

%~ \begin{frame}
%~ 
%~ \underline{Exercice 3.1} Développer les expressions suivantes
%~ 
%~ \end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 3.1} Factoriser le polynôme suivant $9x^2 + 12xy  + 4y^2$.\\[0.2cm]

\vfill 

\uncover<2-| handout: 0>{
Le polynôme ressemble au produit remarquable suivant: 

\begin{math}
\begin{array}{c c c c c c c c c}
(\bl{A} & + & \ro{B})^2 & = & \bl{A}^2 & + & 2\bl{A}\ro{B} & + & \ro{B}^2\\
\uncover<3->{(\bl{?} & + & \ro{?})^2 & = & 9x^2 & + & 12xy & + & 4y^2}
\end{array}
\end{math}

\vfill
\uncover<4->{
On a donc 
\begin{enumerate}
\item $\bl{A}^2 = 9x^2 \uncover<6->{\quad\Rightarrow\quad \bl{A = 3x}}$
\item<5-> $\ro{B}^2 = 4y^2 \uncover<7->{\quad\Rightarrow\quad \ro{B = 2y}}$
\end{enumerate}}

\vfill
\uncover<8->{
On vérifie si cela fonctionne avec le terme $2\bl{A}\ro{B}$: 
$$2\bl{A}\ro{B} \uncover<9->{= 2 \cdot \bl{3x} \cdot \ro{2y}} \uncover<10->{= 12xy}\uncover<11->{ \qquad \myCheck}$$}

\vfill
\uncover<12->{
On a donc $$9x^2 + 12xy + 4y^2 = (\bl{3x} +\ro{2y})^2$$  } 

} 

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Contre-exemple 3.1} Factoriser le polynôme $x^2 - 5x + 4$

\vfill 

\uncover<2-| handout: 0>{
Le polynôme ressemble au produit remarquable suivant: 

\begin{math}
\begin{array}{c c c c c c c c c}
(\bl{A} & - & \ro{B})^2 & = & \bl{A}^2 & - & 2\bl{A}\ro{B} & + & \ro{B}^2\\
\uncover<3->{(\bl{?} & - & \ro{?})^2 & = & x^2 & - & 5x & + & 4}
\end{array}
\end{math}

\vfill
\uncover<4->{
On a donc 
\begin{enumerate}
\item $\bl{A}^2 = x^2 \uncover<6->{\quad\Rightarrow\quad \bl{A = x}}$
\item<5-> $\ro{B}^2 = 4 \uncover<7->{\quad\Rightarrow\quad \ro{B = 2}}$
\end{enumerate}}

\vfill
\uncover<8->{
On vérifie si cela fonctionne avec le terme $2\bl{A}\ro{B}$: 
$$2\bl{A}\ro{B} \uncover<9->{= 2 \cdot \bl{x} \cdot \ro{2}} \uncover<10->{= 4x} \uncover<11->{\neq 5x} 
\uncover<12->{ \qquad \myFalse}$$}

\vfill
\uncover<13->{
Nous ne pouvons factoriser ce polynôme pour l'instant.}}
 
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 3.1} Factoriser le polynôme suivant $x^2y^2 - 16z^2$.

\vfill 

\uncover<2-| handout: 0>{
Le polynôme ressemble au produit remarquable suivant: 

\begin{math}
\begin{array}{c c c c c c c c c}
(\bl{A} & + & \ro{B})(\bl{A} & - & \ro{B}) & = & \bl{A}^2  & - & \ro{B}^2\\
\uncover<3->{(\bl{?} & + & \ro{?})(\bl{?} & - & \ro{?}) & = & x^2y^2 & - & 16z^2}
\end{array}
\end{math}

\vfill
\uncover<4->{
On a donc 
\begin{enumerate}
\item $\bl{A}^2 = x^2y^2 \uncover<6->{\quad\Rightarrow\quad \bl{A = xy}}$
\item<5-> $\ro{B}^2 = 16z^2 \uncover<7->{\quad\Rightarrow\quad \ro{B = 4z}}$
\end{enumerate}}

\vfill
\uncover<8->{
Il n'y a pas besoin de faire de vérification dans ce cas. \uncover<9->{On a donc 
$$x^2y^2 - 16z^2 = \uncover<10->{(\bl{xy} + \ro{4z})(\bl{xy} - \ro{4z})}$$}}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 3.2} Factoriser le polynôme $27x^3 - 108x^2 + 144x - 64$. \\

\vfill

\hunc{2}{Le polynôme pourrait être du type
$$(\bl{A}-\ro{B})^3 = \bl{A}^3 - 3\bl{A}^2\ro{B} + 3\bl{A}\ro{B}^2 - \ro{B}^3$$

\uncover<3->{
Nous vérifions:
\begin{enumerate}
\item<4-> Si $\bl{A}^3 = 27x^3$, alors $\bl{A\uncover<5->{=3x}}$. 
\item<6-> Si $\ro{B}^3 = 64$, alors $\ro{B\uncover<7->{=4}}$. \\
\end{enumerate}}

\vfill 
\uncover<8->{
On devrait donc avoir
\begin{enumerate}
\item $3\bl{A}^2\ro{B} 
\uncover<9->{= 3\cdot(\bl{3x})^2\cdot \ro{4}}
\uncover<10->{= 3 \cdot 9\cdot x^2 \cdot 4}
\uncover<11->{= 108x^2 }\uncover<12->{\qquad \myCheck}$
\item<13-> $3\bl{A}\ro{B}^2 
\uncover<14->{= 3\cdot \bl{3x} \cdot (\ro{4})^2} 
\uncover<15->{= 3 \cdot 3 \cdot x \cdot 16}
\uncover<16->{ = 144x }\uncover<17->{\qquad \myCheck}$ \\
\end{enumerate}}

\vfill
\uncover<18->{
On a donc $27x^3 - 108x^2 + 144x - 64 = (\bl{3x} - \ro{4})^3$. }}

\end{frame} 

\begin{frame}

\underline{Exercice 3.2} Factoriser le polynôme $125 + 8x^3$.  \\

\vfill

\hunc{2}{On remarque que le polynôme est du type:
$$(\bl{A} + \ro{B})(\bl{A}^2 - \bl{A}\ro{B} + \ro{B}^2) = \bl{A}^3 + \ro{B}^3$$

\uncover<3->{
Nous calculons les valeurs de $\bl{A}$ et $\ro{B}$
\begin{enumerate}
\item<4-> Si $\bl{A}^3 = 125$, alors $\bl{A\uncover<5->{=5}}$. 
\item<6-> Si $\ro{B}^3 = 8x^3$, alors $\ro{B\uncover<7->{=2x}}$. \\
\end{enumerate}}

\vfill 
\uncover<8->{
Nous devons ensuite calculer les valeurs de $\bl{A}^2$, $\bl{A}\ro{B}$ et $\ro{B}^2$. 
\begin{enumerate}
\item $\bl{A}^2
\uncover<9->{= (\bl{5})^2}
\uncover<10->{= 25}$
\item<11-> $\bl{A}\ro{B} 
\uncover<12->{= \bl{5}\cdot \ro{2x}} 
\uncover<13->{= 10x}$
\item<14-> $\ro{B}^2 
\uncover<15->{= (\ro{2x})^2} 
\uncover<16->{= 4x^2}$
\end{enumerate}}

\vfill
\uncover<18->{
On a donc $125 + 8x^3 = (\bl{5} + \ro{2x})(25 - 10x + 4x^2)$. }}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 4. Le trinôme unitaire du deuxième degré
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{4. Méthode Somme-Produit (SP)}

\underline{Exemple 4.1} Effectuer le calcul suivant\\[0.2cm]
\begin{enumerate}
\item $(x \ro{+\,4})(x \bl{+\,3})
\hunc{2}{
\uncover<2->{=  x^2 + 3x + 4x + 12}
\uncover<3->{=  x^2 \ora{+\,7}x \ve{+\,12}}}$\\
\uncover<4->{On remarque que: 
$\begin{cases}
\ora{7} = \hunc{5}{\ro{4} +\bl{3}} \\
\ve{12} = \hunc{6}{\ro{4}\cdot\bl{3}}
\end{cases}$}
\item<7-> $(x\ro{-\,4})(x\bl{+\,3})
\hunc{8}{
\uncover<8->{=  x^2 + 3x - 4x - 12}
\uncover<9->{=  x^2 \ora{-1}x \ve{ -\,12}}}$\\
\uncover<10->{On remarque que: 
$\begin{cases}
\ora{-1} = \hunc{11}{\ro{-4} \bl{+\,3}} \\
\ve{-12} = \hunc{12}{(\ro{-4})\cdot\bl{3}}
\end{cases}$}
\end{enumerate}

\vfill
\uncover<13->{\underline{Propriété 4.1} Si $(x +\ro{d})(x + \bl{e}) = x + \ora{b}x + \ve{c}$, alors 
$$\boxed{\begin{cases}
\ora{b} = \hunc{11}{\ro{d} + \bl{e}} \\
\ve{c} = \hunc{12}{\ro{d}\cdot\bl{e}}
\end{cases}}$$}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 4.1} Factoriser le polynôme $x^2 \ve{+ 9}x \ro{+ 8}$. 

\vfill

\hunc{2}{
On cherche $\ro{d}$ et $\bl{e}$ tels que 
$(x + \ro{d})(x + \bl{e}) = x^2 +\ora{9}x + \ve{8}$.\\[0.5cm]

\uncover<3->{
On a $\ora{b = \uncover<4->{9}}$ et $\ve{c = \uncover<4->{8}}$, donc \uncover<5->{
$\begin{cases}
\ora{9} = \hunc{6}{\ro{d} +\bl{e}} \\
\ve{8} = \hunc{7}{\ro{d}\cdot\bl{e}}
\end{cases}$\\[0.5cm]}}

\uncover<8->{On essaie: $\ve{8} = \ro{4} \cdot \bl{2}$. \uncover<9->{Donc $\ro{d=4}$ et $\bl{e=2}$.}\uncover<10->{On vérifie:
$$\ro{d} +\bl{e} \uncover<11->{= \ro{4} + \bl{2} \uncover<12->{= 6 \uncover<13->{\neq \ora{9} \qquad\myFalse}}}$$}}

\uncover<14->{On essaie encore: $\ve{8} = \ro{8} \cdot \bl{1}$. \uncover<15->{Donc $\ro{d=8}$ et $\bl{e=1}$.}\uncover<16->{ On vérifie:
$$\ro{d} +\bl{e} \uncover<17->{= \ro{8} + \bl{1} \uncover<18->{= \ora{9} \uncover<19->{\qquad\myCheck}}}$$}}
 
\uncover<20->{
On a bien $(x + \ro{8})(x + \bl{1}) \uncover<21->{= x^2 + x + 8x + 8 \uncover<22->{= x^2 + \ora{9}x + \ve{8} \qquad \myCheck}}$}

}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 4.1} Factoriser le polynôme $x^2 \ora{-11}x \ve{+ 24}$. 

\vfill

\hunc{2}{
On a $\ora{b = \uncover<3->{-11}}$ et $\ve{c = \uncover<4->{24}}$, donc \uncover<5->{
$\begin{cases}
\ora{-11} = \hunc{6}{\ro{d} +\bl{e}} \\
\ve{24} = \hunc{7}{\ro{d}\cdot\bl{e}}
\end{cases}$\\[0.5cm]}

\uncover<8->{On essaie jusqu'à ce que l'on trouve que $\ro{d = -3}$ et $\bl{e = -8}$ (ou l'inverse). \uncover<9->{On a donc que 
$$x^2 \ora{-11}x \ve{+ 24} \uncover<10->{= (x +(\ro{-\,3}))(x + (\bl{-\,8})) \uncover<11->{= (x \ro{\,-\,3})(x \bl{\,-\,8})}}$$ }}

\uncover<12->{On vérifie
$$(x \ro{-3})(x \bl{-8}) \uncover<13->{= x^2 -8x -3x +24}\uncover<14->{ = x^2 \ora{- 11}x \ve{+ 24} \qquad \myCheck}$$}}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 5. La méthode du discriminant
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}{5. La méthode du discriminant ($\Delta$)}

Pour factoriser un polynôme du type $\bl{a}x^2 + \ve{b}x + \ro{c}$, on utilise la méthode du discriminant:
$\ora{\Delta}= \uncover<2->{\ve{b}^2 -4\bl{a}\ro{c}}$.

\begin{itemize}
\item<3-> Si $\ora{\Delta>0}$, \uncover<4->{il y a deux solutions: 
$\ora{x_1} = \dfrac{-\ve{b} + \sqrt{\ora{\Delta}}}{2\bl{a}} \mbox{ et } 
\vi{x_2} = \dfrac{-\ve{b} - \sqrt{\ora{\Delta}}}{2\bl{a}}$}\uncover<5->{ et alors
$$\boxed{\bl{a}x^2 + \ve{b}x + \ro{c} = \bl{a}(x- \ora{x_1})(x - \vi{x_2})} \qquad \hunc{6}{\myDanger \mbox{ Signes}}$$}
\item<7-> Si $\ora{\Delta=0}$, \uncover<8->{il y a une seule solution: 
$\ora{x_1} = \dfrac{-\ve{b}}{2\bl{a}}$}\uncover<9->{ et alors
$$\boxed{\bl{a}x^2 +\ve{b}x + \ro{c} = \bl{a}(x- \ora{x_1})^2} \qquad \hunc{10}{\myDanger \mbox{ Signes}}$$}
\item<11-> Si $\ora{\Delta<0}$, \uncover<12->{il n'y a pas de solutions \uncover<13->{et $\bl{a}x^2 + \ve{b}x + \ro{c}$ n'est pas plus factorisable.}}
\end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}

\underline{Exemple 5.1} Factoriser le polynôme $\bl{-}x^2 \ve{+ 5}x \ro{- 6}$.\\[0.2cm]

\hunc{2}{
On a $\bl{a\uncover<3->{=-1}}$, $\ve{b\uncover<4->{=5}}$ et $\ro{c\uncover<5->{=-6}}$.\uncover<6->{ On calcule $\ora{\Delta}$:}
$$\uncover<7->{\ora{\Delta} = \ve{b}^2 - 4\bl{a}\ro{c}}\uncover<8->{ = \ve{(5)}^2 - 4\cdot\bl{(-1)}\cdot\ro{(-6)}}\uncover<9->{= 25 -24 = \ora{1}}\uncover<10->{>0}$$
\uncover<11->{On a donc deux solutions:}
$$\uncover<12->{\ora{x_1} = \frac{-\ve{b} + \sqrt{\ora{\Delta}}}{2\bl{a}} }
\uncover<13->{= \frac{-\ve{5} + \sqrt{\ora{1}}}{2\cdot\bl{(-1)}}}\uncover<14->{ = \frac{-4}{-2} = \ora{2}}$$
$$\uncover<12->{\vi{x_2} = \frac{-\ve{b} - \sqrt{\ora{\Delta}}}{2\bl{a}} }
\uncover<15->{= \frac{-\ve{5} - \sqrt{\ora{1}}}{2\cdot\bl{(-1)}}}\uncover<16->{= \frac{-6}{-2} = \vi{3}}$$

\uncover<17->{On a donc 
$$\bl{-}x^2 \ve{+ 5}x \ro{- 6} = \uncover<18->{\bl{-1}\cdot(x - \ora{2})(x - \vi{3})} \uncover<19->{= \bl{-}(x - \ora{2})(x -\vi{3})}$$}

\uncover<20->{On vérifie
$$\bl{-}(x - \ora{2})(x -\vi{3}) \uncover<21->{= -[x^2 -3x -2x + 6] \uncover<22->{= \bl{-}x^2 \ve{+ 5}x \ro{- 6} \qquad \myCheck}}$$ 

}}
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 5.1} Factoriser le polynôme $4x^2 \ve{+ 8}x \ro{+ 4}$.\\[0.2cm]

\hunc{2}{
On a $\bl{a\uncover<3->{=4}}$, $\ve{b\uncover<4->{=8}}$ et $\ro{c\uncover<5->{=4}}$.\uncover<6->{ On calcule $\ora{\Delta}$:}
$$\uncover<7->{\ora{\Delta} = \ve{b}^2 - 4\bl{a}\ro{c}}
\uncover<8->{ = \ve{8}^2 - 4\cdot\bl{4}\cdot\ro{4}}
\uncover<9->{= 64 -64 = \ora{0}}$$
\uncover<10->{On a donc une seule solution:}
$$\uncover<11->{\ora{x_1} = \frac{-\ve{b}}{2\bl{a}} }
\uncover<12->{= \frac{-\ve{8}}{2\cdot\bl{4}}}\uncover<13->{ = \frac{-8}{8} = \ora{-1}}$$

\uncover<14->{On a donc 
$$\bl{4}x^2 \ve{+ 8}x \ro{+ 4} 
\uncover<15->{=\bl{4}\cdot(x - (\ora{-1}))^2}
\uncover<15->{=\bl{4}(x + 1)^2}
$$}

\uncover<16->{On vérifie
$$\bl{4}(x + 1)^2 \uncover<17->{= 4 \cdot [x^2 +2x + 1] \uncover<18->{= \bl{4}x^2 \ve{+ 8}x \ro{+4} \qquad \myCheck}}$$ }}

\end{frame}

\begin{frame}{6. Les bicarrés}

Lorsque l'on a un polynôme du type $\bl{a}x^4 + \ve{b}x^2 + \ro{c}$, \uncover<2->{on effectue le \bl{changement de variable} $y=x^2$ pour le ramener à un polynôme du deuxième degré. }

\vfill
\uncover<3->{
\underline{Exemple 6.1} Factoriser le polynôme $x^4 - 5x^2 + 4$

\hunc{4}{
\begin{eqnarray*}
x^4 - 5x^2 + 4 
\uncover<5->{&=&\left(\ora{x^2}\right)^2 - 5\ora{x^2} + 4 }
\uncover<6->{\Stack{\ora{x^2=y}}{=} y^2 - 5y + 4}\\
\uncover<7->{&\Stack{SP}{=}& (y-1)(y-4)}
\uncover<8->{\Stack{\ora{y=x^2}}{=} (x^2-1)(x^2-4)}\\
\uncover<9->{&\Stack{\ora{PR}}{=}& (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}
\end{eqnarray*}

}

}



\end{frame}

\begin{frame}{7. La méthode du groupement} 

La \bl{méthode du groupement} consiste à former des \textbf{groupes de termes} pour pouvoir les mettre en évidence ou appliquer des formules connues. \\[0.2cm]


\uncover<2->{\underline{Exemple 6.1} Factoriser le polynôme $ax - ay + bx - by$
\uncover<beamer>{\begin{eqnarray*}
ax - ay + bx - by 
\uncover<3->{&=& \boxed{(ax -ay)} + \boxed{(bx -by)}} 
\uncover<4->{= a\bl{(x- y)} + b\bl{(x-y)}}\\
\uncover<5->{&=& \bl{(x-y)}(a+b)}
\end{eqnarray*}}}

\uncover<6->{\underline{Exemple 6.2} Factoriser le polynôme $x^2 + 6x + 9 - 4y^2$
\uncover<beamer>{\begin{eqnarray*}
x^2 + 6x + 9 - 4y^2
\uncover<7->{&=& \boxed{x^2 + 6x + 9} - \boxed{4y^2}} 
\uncover<8->{= \boxed{(x+3)^2} - \boxed{(2y)^2}} \\
\uncover<9->{&=& ((x+3)- 2y)((x+3)+ 2y)}\\
\uncover<10->{&=& (x+3- 2y)(x + 3 + 2y)}
\end{eqnarray*}}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 7.1} Factoriser les polynômes suivants

\only<handout>{

\vfill

\begin{enumerate}
\item $xy + 3y - x - 3$ \\[1.5cm]
\item $3x^3 + 2x + 6x^2 + 4$ \\[1.5cm]
\item $(x^2 - 8x + 16) - (x^2 + 4x +4)$\\[2cm]
\end{enumerate}
}

\only<beamer>{

\vfill

\footnotesize
\begin{equan}

1. & xy + 3y - x - 3 
\uncover<2->{&=& (xy + 3y) - (x + 3)} \uzero \\
&\uncover<3->{&\Stack{\mbox{\tiny MEE}}{=}& y\bl{(x + 3)} - \bl{(x + 3)}} \uzero \\ 
&\uncover<4->{&\Stack{\mbox{\tiny MEE}}{=}& \bl{(x+3)}(y - 1)}
\uzero \\[0.5cm]

\uncover<5->{
2. & 3x^3 + 4 + 2x + 6x^2
\uncover<6->{&=& (3x^3 + 2x) + (6x^2 + 4)} \uzero \\
&\uncover<7->{&\Stack{\mbox{\tiny MEE}}{=}& x\bl{(3x^2 + 2)} + 2\bl{(3x^2 + 2)}} \uzero \\
&\uncover<8->{&\Stack{\mbox{\tiny MEE}}{=}& (x + 2)\bl{(3x^2 + 2)}}
\uzero \\[0.5cm]}

\uncover<9->{
3. & (x^2 - 8x + 16) - (x^2 + 4x +4)
\uncover<10->{&\Stack{\mbox{\tiny PR}}{=}& (x-4)^2 - (x+2)^2} \uzero \\
&\uncover<11->{&\Stack{\mbox{\tiny PR}}{=}&  ((x-4) - (x+2))((x-4) + (x+2))} \uzero \\
&\uncover<12->{&=& (x-4-x+2)(x-4+x+2)}\uzero \\ 
&\uncover<13->{&=& (-2)(2x-2)} 
\uncover<14->{= (-4)(x-1)} 
\uzero \\}

\end{equan}
}

\end{frame}

\begin{frame}{8. Méthode de complétion}

La méthode de complétion consiste à ajouter des termes \textbf{dont la somme vaut zéro} pour pouvoir utiliser un produit remarquable. 

\vfill
\uncover<2->{
\underline{Exemple 8.1} Factoriser le polynôme suivant $x^4 + x^2 + 25$.

\hunc{3}{
\begin{eqnarray*}
x^4 + x^2 + 25 
\uncover<4->{&=& x^4 + x^2 + 25 \ro{ + 9x^2 - 9x^2}}\\
\uncover<5->{&=& x^4 + x^2 \ro{ + 9x^2} + 25 \ro{ - 9x^2}}\\
\uncover<6->{&\Stack{Group}{=}& \boxed{x^4 + 10x^2 + 25} - \boxed{9x^2}}\\
\uncover<7->{&\Stack{PR}{=}& (x^2 + 5)^2 - (3x)^2}\\
\uncover<8->{&\Stack{A^2-B^2}{=}& (x^2 + 5 - 3x)(x^2 + 5 + 3x)}\\
\uncover<9->{&=&}\only<9>{(x^2 - 3x + 5)(x^2 + 3x + 5)}
\only<10>{\underbrace{(x^2 - 3x + 5)}_{\Delta =-11 <0}(x^2 + 3x + 5)}
\only<11->{\underbrace{(x^2 - 3x + 5)}_{\Delta =-11 <0}
\underbrace{(x^2 + 3x + 5)}_{\Delta =-11 <0}}
\end{eqnarray*}
}}

 

\end{frame}

\begin{frame}{9. Résolution d'équations}

On va utiliser les méthodes étudiées pour résoudre des équations. \\[0.5cm]

\uncover<1->{
\underline{Exemple 9.1} Résoudre l'équation $12x^3 - x^4 -36x^2 = 0$.

\uncover<beamer>{

\begin{equa}
12x^3 - x^4 -36x^2 &=& 0 & \uncover<2->{MEE}\\
\uncover<3->{\LRq x^2(12x - x^2 -36) &=& 0 & \uncover<4->{MEE}}\\
\uncover<5->{\LRq -x^2(x^2 - 12x + 36) &=& 0 & \uncover<6->{PR}}\\
\uncover<7->{\LRq -x^2(x - 6)^2 &=& 0 \uzero }
\end{equa}

\uncover<8->{
On résoud pour chaque terme\\[0.5cm]

\begin{equan}
1. & -x^2 &=& 0 \uncover<9->{\uzero \qquad S_1=\{ 0 \} }\\ 
2. & (x-6)^2 &=& 0 \uncover<10->{\uzero \qquad S_2=\{ 6 \} }\\ [0.5cm]
\end{equan}}

\uncover<11->{Les solutions sont donc $S=\{0;6\}$}}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 9.2} Résoudre l'équation $x^4 + x^3 - 27x -27 = 0$. 

\uncover<beamer>{

\begin{equa}
x^4 + x^3 - 27x -27 &=& 0 & \uncover<2->{GR}\\
\uncover<3->{\LRq (x^4 + x^3) - (27x + 27) &=& 0& \uncover<4->{MEE}}\\
\uncover<5->{\LRq x^3(x + 1) - 27(x + 1) &=& 0& \uncover<6->{MEE}}\\
\uncover<7->{\LRq (x^3 - 27)(x + 1) &=& 0& \uncover<8->{PR}}\\
\uncover<9->{\LRq (x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x + 1) &=& 0 &\uncover<10->{\Delta}}\\
\uncover<11->{\LRq (x - 3)\underbrace{(x^2 + 3x + 9)}_{\Delta = 3^2 - 4\cdot9 =-27 < 0}(x + 1) &=& 0 \uzero}\\
\end{equa}

\vspace{-0.1cm}
\uncover<12->{
On résoud pour chaque terme\\

\begin{equan}
1. & x-3 &=& 0 & \uncover<10->{+ 3} \\
\uncover<11->{& \LRq x &=& 3 \uncover<12->{\uzero \qqR S_1=\{ 3 \} }}\\[0.2cm] 
\uncover<13->{3. & x + 1 &=& 0 & \uncover<14->{-1} }\\
\uncover<15->{& \LRq x &=& -1 \uncover<16->{\uzero \qqR S_3=\{ -1 \} }}\\[0.2cm]
\end{equan}}

\uncover<17->{Les solutions de l'équation sont donc \uncover<18->{$S=\{-1; 3\}$.} }
} 

\end{frame}



\end{document}






