\documentclass[mathserif]{beamer}
%\documentclass[mathserif, handout]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}

\begin{document}

\titreCours{4}{Norme et produit scalaire}{Géométrie vectorielle}

\begin{frame}{1. Norme d'un vecteur}

\underline{Définition 1.1} La \bl{norme} d'un vecteur $\Vecs{a}$, notée \bl{$\Norm{a}$}, est la \textbf{longueur d'un représentant de $\Vecs{a}$}. \uncover<2->{Un vecteur dont \textbf{la norme est égale à 1} est dit \bl{unitaire}}.

\vfill 
\uncover<3->{
\underline{Définition 1.2} Deux vecteurs $\Vecs{a}$ et $\Vecs{b}$ sont \bl{orthogonaux} s'ils ont des directions \textbf{perpendiculaire}. \uncover<4->{On le note \b{$\Vecs{a} \perp \Vecs{b}$}. }}

\vfill 
\uncover<5->{
\underline{Définition 1.3} Une base est dite \bl{orthonormée} si elle est composée de deux vecteurs \textbf{orthogonaux et unitaires}. \uncover<6->{ Un repère est dit \bl{orthonormé} s'il est associé à une base orthonormée. }}

\end{frame}
%~ 

\begin{frame}

\small 

\def\ax{4}
\def\ay{3}
\def\nA{5}

\underline{Exemple 1.1 (Calcul de la norme)} Soit $\mathcal{R}=(O;\Vecs{e_1};\Vecs{e_2})$ un \textbf{repère orthonormé}, \uncover<5->{\ro{$A(\ax;\ay)$} un point et \bl{$\Vecs{OA}$} le vecteur associé.}
\uncover<7->{Quelle est la \ve{norme} du vecteur \bl{$\Vecs{OA}$}?}

\vfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]

\coordinate (E1) at (1,0);
\coordinate (E2) at (0,1);
\coordinate (O) at (0,0);

\coordinate (A) at (\ax,\ay);
\coordinate (A1) at (A |- O); 
\coordinate (A2) at (O |- A); 

\def\max{5};
\def\min{-1};

\def\qmax{4};
\def\qmin{0};


% quadrillage
\uncover<4->{

\foreach \x in {\qmin, ..., \qmax}{
\draw[black!50, very thin] (\x, \min) -- (\x, \max);}

\foreach \y in {\qmin, ..., \qmax}{
\draw[black!50,very thin]  (\min , \y) -- (\max, \y );}

}

% axes
\uncover<3->{
\draw[->] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{$x$};
\draw[->] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{$y$};}

%repère
\uncover<2->{

% origine
\node[below left] at (O) {O};

% base
\draw[-latex, nline] (O) -- node[below]{$\Vecs{e_{1}}$} (E1);
\draw[-latex, nline] (O) -- node[left]{$\Vecs{e_{2}}$} (E2);

}

% point A 

\uncover<6->{
\node[dot={}, dred] at (A) {};
\node[above, dred] at (A) {$A(\ax;\ay)$};}

\hunc{7}{
\uncover<7->{
\draw[-latex, bline] (O) -- node[sloped, below]{$\Vecs{OA}$} node[sloped, above]{$\uncover<17->{\sqrt{\ax^2+\ay^2}= \nA}$}(A);}

\uncover<8->{
\node[dot={}, dred] at (A1) {};
\node[below, dred] at (A1) {$A_1\uncover<9->{(\ax;0)}$};}

\uncover<10->{
\draw[rline] (O) -- node[below]{$\uncover<11->{\ax}$} (A1);
\draw[rline] (A1) -- node[right]{$\uncover<12->{\ay}$} (A);
}}

\end{tikzpicture}

\end{minipage}\quad\begin{minipage}{0.5\textwidth}

\hunc{13}{
\uncover<13->{Le triangle $OA_1A$ est \ve{rectangle}.\uncover<14->{ On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur:
\uncover<15->{$$\boxed{\mbox{\bl{hyp}} = \sqrt{\ro{\mbox{cat}_x}^2 + \ro{\mbox{cat}_y}^2}}$$ 
}}}
\uncover<16->{On a donc ici: $\sqrt{\ax^2 + \ay^2}\uncover<17->{= \nA}$}}

\end{minipage}
\vfill
\hunc{18}{
\uncover<18->{
On écrit $\ve{\|\Vecs{OA}\| = 5}$ et on dit que la \ve{norme} de $\Vecs{OA}$ vaut 5. }}

\end{frame}

%~ %%%%%%%%%% Cas général %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%~ 
\begin{frame}

\underline{Propriété 1.1} La \ve{norme} d'un vecteur \bl{$\Vecs{a} = \colvec{2}{a_1}{a_2}$} dans un \textbf{repère orthonormé} est donnée par:

$$\ve{\boxed{\left\|\Vecs{a}\right\| = \sqrt{\bl{a_1}^2 + \bl{a_2}^2}}}$$

\vfill

\uncover<2->{
\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants (le repère est orthonormé).
\begin{enumerate}
\item $\Vecs{a} = \colvec{2}{2}{-3}$\\[0.2cm]
\hunc{3}{On a $\Norm{a} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} \uncover<4->{= \sqrt{4 + 9} \uncover<5->{= \sqrt{13}}}$}
\item $\Vecs{AB}$ avec $A(-2;0)$ et $B(4; -2)$. \\[0.2cm]
\hunc{6}{Les composantes du vecteur sont $\Vecs{AB} = \colvec{2}{4-(-2)}{-2-0} \uncover<7->{= \colvec{2}{6}{-2}}$\uncover<8->{. On a donc: $\Norm{a} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} \uncover<9->{= \sqrt{36 + 4}} \uncover<10->{= \sqrt{40}} \uncover<11->{= 2\sqrt{10}}$}}
\end{enumerate}}

\end{frame}


\begin{frame}

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires?
\begin{itemize}
	\item<2-> \vi{$\Vecs{a}=\colvec{2}{3}{-4}$} ? 
	\hunc{3}{\uncover<3->{$\Norm{a} = \sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}$} 
	\uncover<4->{ = $\sqrt{25} = 5$} 
	\uncover<5->{ $\Rightarrow$ \vi{Non}} }
	\item<6-> \vi{$\Vecs{u}=\displaystyle\frac{1}{5}\colvec{2}{3}{-4}$} ? \\
	\hunc{4}{\uncover<7->{$\Norm{u} = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}}$} 
	\uncover<8->{ = $\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}$}
	\uncover<9->{ = $\sqrt{\frac{25}{25}} = 1$} 
	\uncover<10->{ $\Rightarrow$ \vi{Oui}} \\}
\end{itemize}

\vspace{0.2cm}	
	
\uncover<11->{Pour trouver \textbf{le vecteur unitaire $\Vecs{u}$ de même sens et de même direction} qu'un vecteur donné $\Vecs{a}$, il suffit de diviser les composantes de $\Vecs{a}=\colvec{2}{a_1}{a_2}$ par la norme du vecteur: 
$$\boxed{\bl{\Vecs{u}  = \frac{1}{\Norm{a}}\colvec{2}{a_1}{a_2}} }$$
}

\end{frame}


\begin{frame}

\def\ax{3}
\def\ay{2}

\def\ux{0.83205}
\def\uy{0.55470}

\small
\underline{Exemple 1.3} Trouver le vecteur unitaire \bl{$\Vecs{u}$} de même sens et de même direction que le vecteur \ve{$\Vecs{a}=\colvec{2}{3}{2}$}.

\begin{minipage}{0.39\textwidth}

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\coordinate (E1) at (1,0);
\coordinate (E2) at (0,1);
\coordinate (O) at (0,0);

\coordinate (A) at (\ax,\ay);
\coordinate (U) at (\ux,\uy);


\def\max{4};
\def\min{-1};

\def\qmax{3};
\def\qmin{0};


% quadrillage

\foreach \x in {\qmin, ..., \qmax}{
\draw[black!50, very thin] (\x, \min) -- (\x, \max);}

\foreach \y in {\qmin, ..., \qmax}{
\draw[black!50,very thin]  (\min , \y) -- (\max, \y );}


%repère

% origine
\node[below left] at (O) {O};

% base
\draw[-latex, nline] (O) -- node[below]{$\Vecs{e_{1}}$} (E1);
\draw[-latex, nline] (O) -- node[left]{$\Vecs{e_{2}}$} (E2);


% axes

\draw[->] (0:\min) -- (0:\max) node[right]{$x$};
\draw[->] (90:\min) -- (90:\max) node[above]{$y$};


% vecteur a
\draw[-latex, rline] (O) -- node[sloped, below]{$\Vecs{a}$} (A);

\hunc{8}{
\uncover<8->{
% vecteur u
\draw[-latex, bline] (O) -- node[sloped, above]{$\Vecs{u}$} (U);

}}


\end{tikzpicture}


\end{minipage}\begin{minipage}{0.59\textwidth}

\hunc{2}{

\uncover<2->{
On calcule la norme de \ve{$\Vecs{a}$}: 
$$\ro{\Norm{a}} = \uncover<3->{\sqrt{\ve{3}^2 + \ve{2}^2} =} \uncover<4->{\sqrt{9 + 4} = \ro{\sqrt{13}}}$$
}

\uncover<5->{On utilise la formule:
$$\bl{\Vecs{u}} = \frac{1}{\ro{\Norm{a}}} \ve{\Vecs{a}} = 
\uncover<6->{\frac{1}{\ro{\sqrt{13}}}\ve{\colvec{2}{3}{2}} = }   
\uncover<7->{\colvec{2}{\frac{\ve{3}}{\ro{\sqrt{13}}}}{\frac{\ve{2}}{\ro{\sqrt{13}}}}}
$$}}

\end{minipage}

\hunc{10}{
\uncover<10->{On vérifie:
$$\Norm{u} = \uncover<11->{\sqrt{\left(\frac{\ve{3}}{\ro{\sqrt{13}}}\right)^2 + \left(\frac{\ve{2}}{\ro{\sqrt{13}}}\right)^2}}
\uncover<12->{= \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}}}
\uncover<13->{= \sqrt{\frac{13}{13}}}
\uncover<14->{= \sqrt{1} = 1}
$$}}


\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Propriétés 1.2}
\begin{itemize}
	\item<1-> $\Norm{AB}\geq 0$ 
	\item<2-> $\Norm{AB}= 0 \Leftrightarrow  \Vecs{AB}=\Vecs{0}$ 
	\item<3-> $\Norm{AB} = \Norm{BA}$
	\item<4-> $\| k \cdot \Vecs{AB} \| = |k| \cdot \| \Vecs{AB} \| $
\end{itemize}

\vfill
\uncover<5->{
\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur $\Vecs{a} = -\dfrac{1}{4}\colvec{2}{4}{3}$. \\[0.2cm]

\hunc{6}{On utilise la propriété $\| k \cdot \Vecs{AB} \| = |k| \cdot \| \Vecs{AB} \| $:
\uncover<7->{
\begin{eqnarray*}\Norm{a} &=& |-\dfrac{1}{4}|\left\|\colvec{2}{4}{3}\right\| 
\uncover<8->{= \dfrac{1}{4}\sqrt{4^2 + 3^2} }
\uncover<9->{= \dfrac{1}{4}\sqrt{16 +9} }\\
\uncover<10->{&=& \dfrac{1}{4}\sqrt{25}}
\uncover<11->{= \dfrac{1}{4}\cdot 5}
\uncover<12->{= \dfrac{5}{4}}
\end{eqnarray*}}} }

\end{frame}

%~ 

%%%%%%%%%% PRODUIT SCALAIRE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%~ 


\begin{frame}{2. Produit scalaire}


\underline{Propriété 1.2} Deux vecteurs $\Vecs{a}=\colvec{2}{a_1}{a_2}$ et $\Vecs{b}=\colvec{2}{b_1}{b_2}$ sont \bl{orthogonaux} si et seulement si
			$$\bl{\boxed{ a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0}}$$


\vfill
\uncover<2->{
\underline{Définition 2.1}
On appelle l'expression \bl{$a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}$} le \bl{produit scalaire} des vecteurs $\Vecs{a}$ et $\Vecs{b}$ et on la note: $$\bl{\boxed{\Vecs{a}\cdot\Vecs{b}= a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}}}$$	}

\vfill
\uncover<3->{
\underline{Exemple 2.1}: Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants $\ro{\Vecs{a}=\colvec{2}{2}{3}}$ et $\ve{\Vecs{b}=\colvec{2}{1}{5}}$\\[0.2cm]

\vfill
\hunc{4}{
\uncover<4->{

	$$\uncover<4->{\bl{\Vecs{a} \cdot \Vecs{b}}}
	\uncover<5->{= \ro{2} \cdot \ve{1} + \ro{3} \cdot \ve{5}}
	\uncover<6->{ = 2 + 15 = \vi{17}}$$}
}}

\end{frame}
%~ 
%~ 
\begin{frame}

	%~ 
\underline{Définition 1.4} Il existe aussi une \bl{formulation trigonométrique} du produit scalaire:

$$\bl{\boxed{\Vecs{a} \cdot \Vecs{b} = \|\Vecs{a}\| \cdot \|\Vecs{b}\| \cdot \cos(\angle (\Vecs{a};\Vecs{b})) }}$$

\vspace{0.2cm}

\uncover<2->{
\underline{Exemple 1.2} Calculer l'angle entre les vecteurs $\Vecs{a} = \colvec{2}{1}{2}$ et $\Vecs{b} = \colvec{2}{2}{-3}$.\\[0.2cm]

\hunc{4}{
\uncover<4->{
On calcule $\Vecs{a}\cdot\Vecs{b}$\uncover<5->{$=1 \cdot 2 + 2 \cdot -3 = -4$}}\\[0.2cm]
\uncover<6->{
Puis les normes 
$$\Norm{a}\uncover<7->{ = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}} \uncover<8->{\mbox{ et } \Norm{b}\uncover<9->{ = \sqrt{2^{2} + -3^{2}} = \sqrt{13}}}$$}\\[0.2cm]

\uncover<10->{
On remplace dans la formule 
		$$\cos(\angle (\Vecs{a};\Vecs{b})) = \frac{-4}{\sqrt{5}\sqrt{13}}
		\uncover<11->{\Rightarrow \angle (\Vecs{a};\Vecs{b}) = 119.74^{\circ}}$$ }

}}
	
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.1} Soit $\Vecs{a}=\colvec{2}{3}{2}$ et $\Vecs{b}=\colvec{2}{-2}{5}$. Indiquer si les calculs suivants sont possibles et, le cas échéant, si la réponse sera un nombre ou un vecteur. Effectuer les calculs lorsque c'est possible. 
\only<handout>{
\begin{enumerate}
\item $\Vecs{a}+ \Vecs{b}$:\\[0.5cm]
\item $\Vecs{a}\cdot\Vecs{b}$:\\[0.5cm]
\item $3\Vecs{a}$:\\[0.5cm]
\item $\frac{\Vecs{a}}{\Vecs{b}}$:\\[0.5cm]
\item $\frac{\Vecs{a}}{2}$:\\[0.5cm]
\item $\Norm{a}$:\\[0.5cm]
\item $3\Norm{a}^2$:\\[0.5cm]
\item $\Norm{a} + \Vecs{a}$:\\[0.5cm]
\end{enumerate} }

\only<beamer>{
\begin{enumerate}
\item $\Vecs{a}+ \Vecs{b}$:
\hunc{2}{\ve{Vecteur}: \uncover<3->{$\Vecs{a}+ \Vecs{b} \uncover<4->{= \colvec{2}{3-2}{2+5} \uncover<5->{= \colvec{2}{-1}{7}}}$}}
\item $\Vecs{a}\cdot\Vecs{b}$:
\hunc{6}{\bl{Nombre}: \uncover<7->{$\Vecs{a}\cdot\Vecs{b} \uncover<8->{= 3\cdot(-2)+2\cdot 5 \uncover<9->{= 4}}$}}
\item $3\Vecs{a}$:
\hunc{10}{\ve{Vecteur}: \uncover<11->{$3\Vecs{a}\uncover<12->{= 3\colvec{2}{3}{2} \uncover<13->{= \colvec{2}{9}{6}}}$}}
\item $\frac{\Vecs{a}}{\Vecs{b}}$:
\hunc{14}{\ro{Impossible}}
\item $\frac{\Vecs{a}}{2}$:
\hunc{15}{\ve{Vecteur}: \uncover<16->{$\dfrac{\Vecs{a}}{2}\uncover<17->{= \dfrac{1}{2}\colvec{2}{3}{2} \uncover<18->{= \colvec{2}{\frac{3}{2}}{1}}}$}}
\item $\Norm{a}$:
\hunc{19}{\bl{Nombre}: \uncover<20->{$\Norm{a} \uncover<21->{= \sqrt{3^2 + 2^2} \uncover<22->{= \sqrt{13}}}$}}
\item $3\Norm{a}^2$:
\hunc{23}{\bl{Nombre}: \uncover<24->{$3\Norm{a}^2 \uncover<25->{= 3\sqrt{13}^2 \uncover<26->{= 39}}$}}
\item $\Norm{a} + \Vecs{a}$:
\hunc{27}{\ro{Impossible}}
\end{enumerate} }

\end{frame}

\end{document}

	
	
\begin{frame}\frametitle{Norme}

On peut simplifier le calcul de la norme en utilisant la formule suivante:
$$\bl{\boxed{\left\|\ro{k}\cdot\Vecs{a}\right\| = \ro{|k|}\cdot \left\|\Vecs{a}\right\|}}$$

\uncover<2->{
\vi{Exemple:}

$$\left\|\colvec{2}{-\frac{1}{2}}{-\frac{3}{2}}\right\| = 
\uncover<3->{\left\|\ro{-\frac{1}{2}}\cdot\colvec{2}{1}{3}\right\| =  }
\uncover<4->{\ro{\left|-\frac{1}{2}\right|}\cdot\left\|\colvec{2}{1}{3}\right\| =  }
\uncover<5->{\ro{\frac{1}{2}}\sqrt{1^2+3^2} =  }
\uncover<6->{\ro{\frac{1}{2}}\sqrt{10} = \frac{\sqrt{10}}{2} }
$$
}

\end{frame}


















