GYMNASE DE BURIER

Géométrie vectorielle

Chapitre 4 - Norme et produit scalaire

1. Norme d’un vecteur

Sarah Dégallier Rochat \underline{Définition 1.1} La norme d’un vecteur \overrightarrow{a}, notée ||\overrightarrow{a}||, est la longueur d’un représentant de \overrightarrow{a}. Un vecteur dont la norme est égale à 1 est dit unitaire.

\underline{Définition 1.2} Deux vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} sont orthogonaux s’ils ont des directions perpendiculaire. On le note ¯ \overrightarrow{a} ⊥ \overrightarrow{b}.

\underline{Définition 1.3} Une base est dite orthonormée si elle est composée de deux vecteurs orthogonaux et unitaires. Un repère est dit orthonormé s’il est associé à une base orthonormée.

\underline{Définition 1.1} La norme d’un vecteur \overrightarrow{a}, notée ||\overrightarrow{a}||, est la longueur d’un représentant de \overrightarrow{a}. Un vecteur dont la norme est égale à 1 est dit unitaire.

\underline{Définition 1.2} Deux vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} sont orthogonaux s’ils ont des directions perpendiculaire. On le note ¯ \overrightarrow{a} ⊥ \overrightarrow{b}.

\underline{Définition 1.3} Une base est dite orthonormée si elle est composée de deux vecteurs orthogonaux et unitaires. Un repère est dit orthonormé s’il est associé à une base orthonormée.

\underline{Définition 1.1} La norme d’un vecteur \overrightarrow{a}, notée ||\overrightarrow{a}||, est la longueur d’un représentant de \overrightarrow{a}. Un vecteur dont la norme est égale à 1 est dit unitaire.

\underline{Définition 1.2} Deux vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} sont orthogonaux s’ils ont des directions perpendiculaire. On le note ¯ \overrightarrow{a} ⊥ \overrightarrow{b}.

\underline{Définition 1.3} Une base est dite orthonormée si elle est composée de deux vecteurs orthogonaux et unitaires. Un repère est dit orthonormé s’il est associé à une base orthonormée.

\underline{Définition 1.1} La norme d’un vecteur \overrightarrow{a}, notée ||\overrightarrow{a}||, est la longueur d’un représentant de \overrightarrow{a}. Un vecteur dont la norme est égale à 1 est dit unitaire.

\underline{Définition 1.2} Deux vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} sont orthogonaux s’ils ont des directions perpendiculaire. On le note ¯ \overrightarrow{a} ⊥ \overrightarrow{b}.

\underline{Définition 1.3} Une base est dite orthonormée si elle est composée de deux vecteurs orthogonaux et unitaires. Un repère est dit orthonormé s’il est associé à une base orthonormée.

\underline{Définition 1.1} La norme d’un vecteur \overrightarrow{a}, notée ||\overrightarrow{a}||, est la longueur d’un représentant de \overrightarrow{a}. Un vecteur dont la norme est égale à 1 est dit unitaire.

\underline{Définition 1.2} Deux vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} sont orthogonaux s’ils ont des directions perpendiculaire. On le note ¯ \overrightarrow{a} ⊥ \overrightarrow{b}.

\underline{Définition 1.3} Une base est dite orthonormée si elle est composée de deux vecteurs orthogonaux et unitaires. Un repère est dit orthonormé s’il est associé à une base orthonormée.

\underline{Définition 1.1} La norme d’un vecteur \overrightarrow{a}, notée ||\overrightarrow{a}||, est la longueur d’un représentant de \overrightarrow{a}. Un vecteur dont la norme est égale à 1 est dit unitaire.

\underline{Définition 1.2} Deux vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} sont orthogonaux s’ils ont des directions perpendiculaire. On le note ¯ \overrightarrow{a} ⊥ \overrightarrow{b}.

\underline{Définition 1.3} Une base est dite orthonormée si elle est composée de deux vecteurs orthogonaux et unitaires. Un repère est dit orthonormé s’il est associé à une base orthonormée.

\underline{Exemple 1.1 (Calcul de la norme)} Soit R = (O; \overrightarrow{e_{1}}; \overrightarrow{e_{2}}) un repère

orthonormé, A(4; 3) un point et \overrightarrow{OA} le vecteur associé. Quelle est la norme du vecteur \overrightarrow{OA}?

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

x yO \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} A(4; 3) \overrightarrow{OA} \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5 A_{1}(4; 0) 4 3

Le triangle OA_{1}A et rectangle. On peut donc utiliser Pythagore pour calculer la longueur :

hyp = \sqrt{cat_{x}^{2} + cat_{y}^{2}}

On a donc ici : \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5

\underline{Propriété 1.1} La norme d’un vecteur \overrightarrow{OA} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) dans un repère orthonormé est donnée par :

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}

∥\overrightarrow{OA}∥ = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

\underline{Exercice 1.2} Calculer la norme de vecteurs suivants.

1. \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ −3 \end{matrix} )

On a ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{2^{2} + (−3)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

2. \overrightarrow{AB} avec A(−2; 0) et B(4; −2). Les composantes du vecteur sont

\overrightarrow{AB} = ( \begin{matrix}4 − (−2) \\ −2 − 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −2 \end{matrix} ). On a donc :

||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{6^{2} + (−2)^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.2} Les vecteurs suivants sont-ils unitaires ?

▶ \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + (−4)^{2}} = \sqrt{25} = 5 ⇒ Non

▶ \overrightarrow{u} = \frac{1}{5}( \begin{matrix}3 \\ −4 \end{matrix} )? ||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{5})^{2} + (−\frac{4}{5})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} =

\sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ⇒ Oui Pour trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction qu’un vecteur donné \overrightarrow{a}, il suffit de diviser les composantes de \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) par la norme du vecteur :

\overrightarrow{u} = ( \frac{a_{1}}{||\overrightarrow{a}||} ; \frac{a_{2}}{||\overrightarrow{a}||} ) = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} )

\underline{Exemple 1.3} Trouver le vecteur unitaire \overrightarrow{u} de même sens et de même direction que le vecteur \overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} )?

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

O \overrightarrow{e_{1}} \overrightarrow{e_{2}} x y\overrightarrow{a} \overrightarrow{u}

On calcule la norme de \overrightarrow{a} : ||\overrightarrow{a}|| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

On utilise la formule :

\overrightarrow{u} = \frac{1}{||\overrightarrow{a}||}\overrightarrow{a} = \frac{1}{\sqrt{13}}( \begin{matrix}3 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \frac{3}{\sqrt{13}} ; \frac{2}{\sqrt{13}} )

On vérifie :

||\overrightarrow{u}|| = \sqrt{(\frac{3}{\sqrt{13}})^{2} + (\frac{2}{\sqrt{13}})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{13} + \frac{4}{13}} = \sqrt{\frac{13}{13}} = \sqrt{1} = 1

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

Propriétés 1.2 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| ≥ 0 ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = 0 ⇔ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} ▶ ||\overrightarrow{AB}|| = ||\overrightarrow{BA}|| ▶ ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥

\underline{Exemple 1.2} Calculer la norme du vecteur \overrightarrow{a} = −\frac{1}{4}( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} ).

On utilise la propriété ∥k · \overrightarrow{AB}∥ = |k| · ∥\overrightarrow{AB}∥ :

||\overrightarrow{a}|| = | − \frac{1}{4}| ∥( \begin{matrix}4 \\ 3 \end{matrix} )∥ = \frac{1}{4}\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \frac{1}{4}\sqrt{16 + 9}
= \frac{1}{4}\sqrt{25} = \frac{1}{4} · 5 = \frac{5}{4}

2. Produit scalaire

\underline{Propriété 1.2} Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si

a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0

\underline{Définition 2.1} On appelle l’expression a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} et on la note :

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

\underline{Exemple 2.1} : Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants

\overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) et \overrightarrow{b} = ( \begin{matrix}1 \\ 5 \end{matrix} )

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = 2 · 1 + 3 · 5 = 2 + 15 = 17

2. Produit scalaire

\underline{Propriété 1.2} Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si

a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0

\underline{Définition 2.1} On appelle l’expression a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} et on la note :

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

\underline{Exemple 2.1} : Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants

\overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) et \overrightarrow{b} = ( \begin{matrix}1 \\ 5 \end{matrix} )

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = 2 · 1 + 3 · 5 = 2 + 15 = 17

2. Produit scalaire

\underline{Propriété 1.2} Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si

a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0

\underline{Définition 2.1} On appelle l’expression a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} et on la note :

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

\underline{Exemple 2.1} : Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants

\overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) et \overrightarrow{b} = ( \begin{matrix}1 \\ 5 \end{matrix} )

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = 2 · 1 + 3 · 5 = 2 + 15 = 17

2. Produit scalaire

\underline{Propriété 1.2} Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si

a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0

\underline{Définition 2.1} On appelle l’expression a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} et on la note :

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

\underline{Exemple 2.1} : Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants

\overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) et \overrightarrow{b} = ( \begin{matrix}1 \\ 5 \end{matrix} )

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = 2 · 1 + 3 · 5 = 2 + 15 = 17

2. Produit scalaire

\underline{Propriété 1.2} Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si

a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0

\underline{Définition 2.1} On appelle l’expression a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} et on la note :

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

\underline{Exemple 2.1} : Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants

\overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) et \overrightarrow{b} = ( \begin{matrix}1 \\ 5 \end{matrix} )

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = 2 · 1 + 3 · 5 = 2 + 15 = 17

2. Produit scalaire

\underline{Propriété 1.2} Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si

a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0

\underline{Définition 2.1} On appelle l’expression a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{a} et \overrightarrow{b} et on la note :

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}

\underline{Exemple 2.1} : Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants

\overrightarrow{a} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix} ) et \overrightarrow{b} = ( \begin{matrix}1 \\ 5 \end{matrix} )

\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b} = 2 · 1 + 3 · 5 = 2 + 15 = 17