\documentclass[mathserif]{beamer}
%\documentclass[mathserif, handout]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}


\begin{document}

\titreCours{3}{Repère et coordonnées}{Géométrie vectorielle}

\begin{frame}{1. La notion de repère}

\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]

\coordinate (O) at (0,0); 
\coordinate (U) at (1,0); 
\coordinate (V) at (0,1); 
\coordinate (A) at (3,4); 

%base
\draw[gray] (-2,-1) grid (5,5);
\path (-2,-1) -- node[below]{Base $(\Vecs{u};\Vecs{v})$} (5,-1);

\draw[very thick, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{u}$}(U);
\draw[very thick, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{v}$}(V);
\draw[bline, -latex] (O) -- node[above left, xshift=0.2cm]{$\Vecs{a} \only<3-| handout: 0>{ = 3\vec{u} + 4\vec{v}}$}(A);
\uncover<2-| handout: 0>{
\draw[bline, -latex, dashed] (O) -- node[below, xshift=0.2cm]{$3\Vecs{u}$}(3,0);
\draw[bline, -latex, dashed] (3,0) -- node[right]{$4\Vecs{v}$}(A);}

%axes
\uncover<4->{
\begin{scope}[xshift = 10cm]
\draw[gray] (-2,-1) grid (5,5);
\path (-2,-1) -- node[below]{Système d'axes $x$ et $y$} (5,-1);

\coordinate (O) at (0,0); 
\coordinate (U) at (1,0); 
\coordinate (V) at (0,1); 
\coordinate (A) at (3,4); 

\draw[very thick, -latex] (-2,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\foreach \x in {-1, 1,2,3} {\draw[very thick] (\x,0.2) -- (\x,-0.2) node[below]{\x};}
\foreach \x in {1,2,3, 4} {\draw[very thick] (0.2,\x) -- (-0.2,\x) node[left]{\x};}
\draw[very thick, -latex] (0,-1) -- (0,5) node[below left, yshift=0.1cm]{$y$};
\uncover<5-| handout: 0>{
\draw[bline, dashed] (A) -- (3,0);
\draw[bline, dashed] (A) -- (0,4);}
\fill[dblue] (A) circle (0.1cm) node[above, yshift=-0.1cm]{$A\only<6-| handout: 0>{(3;4)}$};
\fill (O) circle (0.1cm) node[below left, xshift=0.1cm]{$O$};
\end{scope}}

%repère
\uncover<7->{
\begin{scope}[xshift=5cm, yshift=-7.5cm]
\draw[gray] (-2,-1) grid (5,5);
\uncover<10->{
\path (-2,-1) -- node[below]{\ve{Repère $(0;\Vecs{u};\Vecs{v})$}} (5,-1);}

\coordinate (O) at (0,0); 
\coordinate (U) at (1,0); 
\coordinate (V) at (0,1); 
\coordinate (A) at (3,4); 

\uncover<8->{
\draw[gline, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{u}$}(U);
\draw[gline, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{v}$}(V);
\fill[dgreen] (O) circle (0.1cm) node[below left]{$O$};}

\uncover<9->{
\fill[dblue] (A) circle (0.1cm) node[above, yshift=-0.1cm]{$A\only<beamer>{(3;4)}$};
\draw[bline, -latex] (O) -- node[above left, xshift=0.2cm]{$\Vecs{a} \only<beamer>{= \colvec{2}{3}{4}}$}(A);}
\end{scope}

\draw[rline, ->] (1.5, -2) to [bend right=35] (3.5,-6);
\draw[rline, ->] (11.5, -2) to [bend left=35] (9.5,-6);}

\end{tikzpicture}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Définition 1.1} On appelle \ve{repère} une base associée à un point, nommé l'origine. \\
\vfill

\uncover<2->{
\begin{minipage}{0.49\textwidth}

\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]

\draw[gray] (-2,-1) grid (5,5);

\coordinate (O) at (0,0); 
\coordinate (U) at (1,0); 
\coordinate (V) at (0,1); 
\coordinate (A) at (3,4); 

\draw[bline, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{u}$}(U);
\draw[rline, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{v}$}(V);
\fill[dgreen] (O) circle (0.1cm) node[below left]{$O$};

\fill (A) circle (0.1cm) node[above]{$A\only<3-| handout:0>{(\bl{a_1};\ro{a_2})}$};
\draw[very thick, -latex] (O) -- node[above left, xshift=0.2cm]{$\Vecs{a} \only<4-| handout:0>{= \colvec{2}{\bl{a_1}}{\ro{a_2}}}$}(A);

\end{tikzpicture}


\end{minipage} \begin{minipage}{0.49\textwidth}

\uncover<5->{
Dans le repère $\mathcal{R}=(0;\Vecs{u};\Vecs{v})$, on a
$$\boxed{\Vecs{\ve{O}A}= \colvec{2}{\bl{a_1}}{\ro{a_2}} \Leftrightarrow A(\bl{a_1};\ro{a_2})}$$}

\uncover<6->{On parle des \textbf{composantes} d'un vecteur et des \textbf{coordonnées} d'un point. }

\end{minipage}

\vfill
\uncover<7->{
La première coordonnée d'un point s'apelle l'\bl{abscisse} et la deuxième l'\ro{ordonnée}. }}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 1.1} Soit $\mathcal{R}=(O;\Vecs{u};\Vecs{v})$ un repère. Donner les coordonnées des points suivants et les composantes des vecteurs correspondants dans le repère $\mathcal{R}$. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]

\draw[gray] (-6,-5) grid (6,5);

\coordinate (O) at (0,0); 
\coordinate (U) at (1,0); 
\coordinate (V) at (0,1); 
\coordinate (A) at (2,4); 
\coordinate (B) at (-4,1); 
\coordinate (C) at (4,-3); 
\coordinate (D) at (-2,-4); 
\coordinate (E) at (0,3); 
\coordinate (F) at (2,0); 

\footnotesize
\draw[bline, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{u}$}(U);
\draw[rline, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{v}$}(V);
\fill[dgreen] (O) circle (0.1cm) node[below left]{$O$};

\fill (A) circle (0.1cm) node[above]{$A\only<2-| handout:0>{(\bl{2};\ro{4})}$};
\fill (B) circle (0.1cm) node[above]{$B\only<4-| handout:0>{(\bl{-4};\ro{1})}$};
\fill (C) circle (0.1cm) node[below]{$C\only<6-| handout:0>{(\bl{4};\ro{-3})}$};
\fill (D) circle (0.1cm) node[below]{$D\only<8-| handout:0>{(\bl{-2};\ro{-4})}$};
\fill (E) circle (0.1cm) node[above]{$E\only<10-| handout:0>{(\bl{0};\ro{3})}$};
\fill (F) circle (0.1cm) node[right]{$F\only<12-| handout:0>{(\bl{2};\ro{0})}$};

\uncover<3-| handout:0>{\draw[thick, -latex] (O) -- node[right]{$\Vecs{OA}=\colvec{2}{\bl{2}}{\ro{4}}$} (A);}
\uncover<5-| handout:0>{\draw[thick, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{OB}=\colvec{2}{\bl{-4}}{\ro{1}}$} (B) ;}
\uncover<7-| handout:0>{\draw[thick, -latex] (O) -- node[right]{$\Vecs{OC}=\colvec{2}{\bl{4}}{\ro{-3}}$} (C);}
\uncover<9-| handout:0>{\draw[thick, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{OD}=\colvec{2}{\bl{-2}}{\ro{-4}}$} (D);}
\uncover<11-| handout:0>{\draw[thick, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{OE}=\colvec{2}{\bl{0}}{\ro{3}}$} (E);}
\uncover<13-| handout:0>{\draw[thick, -latex] (O) -- (F) node[above]{$\Vecs{OF}=\colvec{2}{\bl{2}}{\ro{0}}$};}

\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}{2. Deuxième relation de Chasles}

\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\draw[gray] (-2,-1) grid (4,5);

\coordinate (O) at (0,0); 
\coordinate (U) at (1,0); 
\coordinate (V) at (0,1); 
\coordinate (A) at (3,1); 
\coordinate (B) at (-1,4); 

\footnotesize

\draw[bline, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{u}$}(U);
\draw[rline, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{v}$}(V);
\fill[dgreen] (O) circle (0.1cm) node[below left]{$O$};

\fill (A) circle (0.1cm) node[above]{$A\only<2-| handout:0>{(\bl{3};\ro{1})}$};
\fill (B) circle (0.1cm) node[above]{$B\only<3-| handout:0>{(\bl{-1};\ro{4})}$};
\draw[very thick, -latex] (O) -- node[below right, xshift=-0.2cm]{$\Vecs{OA} \only<4-| handout:0>{= \colvec{2}{\bl{3}}{\ro{1}}}$}(A);
\draw[very thick, -latex] (O) -- node[below right]{$\Vecs{OB} \only<5-| handout:0>{= \colvec{2}{\bl{-1}}{\ro{4}}}$}(B);

\uncover<6-| handout:0>{\draw[gline, -latex] (A) -- node[above right, xshift=-0.2cm]{$\Vecs{AB} \only<7-| handout:0>{= \colvec{2}{\bl{-4}}{\ro{3}}}$}(B);}

\end{tikzpicture}
\end{minipage} \begin{minipage}{0.5\textwidth}

\uncover<8->{ Soit $A(a_1;a_2)$ et $B(b_1;b_2)$ dans le repère $\mathcal{R}=(0;\Vecs{u};\Vecs{v})$, alors
$$\boxed{\Vecs{AB} = \Vecs{OB} -\Vecs{OA} = \colvec{2}{b_1-a_1}{b_2-a_2}}$$}

\end{minipage}
\vfill 

\uncover<9-| handout:0>{Dans notre exemple, on a bien
$$\Vecs{AB} 
\uncover<10->{= \Vecs{OB} -\Vecs{OA} }
\uncover<11->{= \colvec{2}{-1}{4} - \colvec{2}{3}{1}}
\uncover<12->{= \colvec{2}{-1 -3}{4 -1}}
\uncover<13->{= \colvec{2}{-4}{3}}$$}

\end{frame}

\begin{frame}{2. Calculs avec des coordonnées}

\underline{Point milieu d'un segment} Soit deux points $A(a_{1};a_{2})$ et $B(b_{1};b_{2})$ dans le repère $\mathcal{R}=(0;\Vecs{e_1};\Vecs{e_2})$. Quelles sont les \vi{coordonnées du milieu $M$} du segment $AB$? 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]

\draw[gray] (-1,-1) grid[step=0.5] (4,2.5);
\coordinate (O) at (0,0) {};
\node[dot=A] at (0.5,1.5) {};
\node[dot=B] at (3.5,-0.5) {};
\node[dot={}] at (O) {}; 
\node[below, xshift=-0.25cm] at (O) {$O$}; 
\draw[->, nline] (O) -- node[below]{\Vect{e_1}} +(0.5,0);
\draw[->, nline] (O) -- node[left]{\Vect{e_2}} +(0,0.5);

\coordinate (M) at (2,0.5) {};

\draw[bline] (A) -- (B);
\node[dot=M] at (M) {};

\hunc{2}{
\uncover<2->{
\draw[->, vline] (O) -- node[above]{\Vect{OM}} (M);}

\uncover<3->{
\draw[rline, -latex] (O) -- node[left, yshift=0.3cm]{\Vect{OA}} (A);
\draw[gline, -latex] (A) -- node[right, yshift=0.3cm]{$\frac{1}{2}$\Vect{AB}} (M);
}}

\end{tikzpicture}
\end{center}
\hunc{4}{
\begin{eqnarray*}
\vi{\Vecs{OM}} &=& \ro{\Vecs{OA}} + \ve{\frac{1}{2}\Vecs{AB}}
\uncover<5->{= \ro{\colvec{2}{a_1}{a_2}} + \ve{\colvec{2}{\frac{1}{2}(b_{1}-a_{1})}{\frac{1}{2}(b_{2}-a_{2})}}} \\
\uncover<6->{&=&\colvec{2}{\ro{a_1} + \ve{\frac{1}{2} b_{1}- \frac{1}{2} a_{1}}}{\ro{a_2} + \ve{\frac{1}{2}b_{2}-\frac{1}{2}a_{2}}}}
\uncover<7->{= \vi{\colvec{2}{\frac{a_{1}+b_{1}}{2}}{\frac{a_{2}+b_{2}}{2}}} }
\uncover<8->{\Leftrightarrow  \boxed{\vi{M\left(\frac{a_{1}+b_{1}}{2};\frac{a_{2}+b_{2}}{2}\right)}}}
\end{eqnarray*}}



\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Centre de gravité d'un triangle} Soit le triangle $ABC$, avec $A(a_1;a_2)$, $B(b_1;b_2)$, $C(c_1;c_2)$ et $G$ son centre de gravité, alors
$$\boxed{\vi{G\left(\frac{a_{1}+b_{1}+c_1}{3};\frac{a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}\right)}}$$

\vfill

\uncover<2->{
\underline{Exercice 2.1} On considère les points $A(4;3)$, $B(5;1)$ et $C(-4;5)$. 

\begin{itemize}
	\item<2-> \vi{Quelles sont les coordonnées du milieu $I$ de $AB$}? 
			  $$\hunc{3}{\uncover<3->{\vi{I} \left(\frac{a_{1}+b_{1}}{2};\frac{a_{2}+b_{2}}{2}\right)}
				\uncover<4->{= \left(\frac{4+5}{2};\frac{3+1}{2}\right)}
				\uncover<5->{= \vi{\left(\frac{9}{2};2\right)}}}$$
	\item<6-> \vi{Quelles sont les coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$? }
			  \hunc{7}{\begin{eqnarray*}
			   \uncover<7->{\vi{G}\left(\frac{a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3};\frac{a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}\right)}
				\uncover<8->{&=& \left(\frac{4+5-4}{3};\frac{3+1+5}{3}\right)}\\
				\uncover<9->{&=& \vi{\left(\frac{5}{3};3\right)}}
				\end{eqnarray*}}
\end{itemize}}
		
	
\end{frame}


\begin{frame}{3. Alignement de points}

On nous donne trois points $A$, $B$ et $C$. Comment savoir si ces trois points sont alignés?\\[0.5cm]

\uncover<2->{
\begin{minipage}{0.49\textwidth}

A) Points non alignés\\

\end{minipage} \quad \begin{minipage}{0.45\textwidth}

B) Points alignés\\

\end{minipage}

\begin{minipage}{0.45\textwidth}

\centering
\begin{tikzpicture}

	\draw[gray] (-0.5, -0.5) grid[step=0.5] (2.5,2);
	\node[dot=C, color=green!50!black] at (2,1){};
	\node[dot=B, color=red] at (0.8,1.25){};
	\node[dot=A, color=blue] at (0,0){};
	
	\uncover<3->{
	\draw[->, vline] (B) -- node[above]{\Vect{BC}} (C);
	\draw[->, vline] (B) -- node[left]{\Vect{BA}} (A);	
	}
	
\end{tikzpicture}


\end{minipage} \quad \begin{minipage}{0.45\textwidth}

\centering
\begin{tikzpicture}
	
	\draw[gray] (-0.5, -0.5) grid[step=0.5] (2.5,2);
	\node[dot=C, color=green!50!black] at (2,1){};
	\node[dot=B, color=red] at (1.5,0.75){};
	\node[dot=A, color=blue] at (0,0){};
	
	\uncover<3->{
	\draw[->, vline] (B) -- node[below]{\Vect{BC}} (C);
	\draw[->, vline] (B) -- node[above]{\Vect{BA}} (A);	
	}

\end{tikzpicture}


\end{minipage}

\vspace{0.5cm}

\hunc{4}{

\begin{flushright}
\begin{minipage}{0.49\textwidth}

\bl{Les vecteurs sont colinéaires!}

\end{minipage}

\end{flushright}}

}


	
\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 3.1} Soit \bl{$A(0;2)$}, \ro{$B(\frac{3}{2};\frac{11}{4})$} et \ve{$C(2,3)$}. Ces trois points sont-ils alignés?\\[0.2cm]


\hunc{2}{
\vspace{0.2cm}
\uncover<2->{
Calculons les composantes de \br{\Vect{AC}} et \ora{\Vect{AB}}: 
	$$\uncover<3->{\br{\Vecs{AC}} = \colvec{2}{\ve{c_{1}}-\bl{a_{1}}}{\ve{c_{2}}-\bl{a_{2}}}} 
		\uncover<4->{= \colvec{2}{\ve{2}-\bl{0}}{\ve{3}-\bl{2}}}
		\uncover<5->{ = \br{\colvec{2}{2}{1}}} \qquad 
		\uncover<6->{\ora{\Vecs{AB}} = \colvec{2}{\ro{\frac{3}{2}}-\bl{0}}{\ro{\frac{11}{4}}-\bl{2}}}
		\uncover<7->{ = \ora{\colvec{2}{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}}}} $$ 
}

\uncover<8->{
Résolvons le système d'équations
	$$\uncover<9->{\br{\colvec{2}{2}{1}} = k\cdot\ora{\colvec{2}{\frac{3}{2}}{\frac{3}{4}}}} 
	\uncover<10->{\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l l} \br{2} = k \cdot \ora{\frac{3}{2}} & 
	\uncover<11->{\Rightarrow k = \frac{4}{3}} \\ \br{1} = k \cdot \ora{\frac{3}{4}} & 
	\uncover<12->{\Rightarrow k= \frac{4}{3}} \end{array}\right. \uncover<13->{\qquad \myCheck}}$$}
	%~ 
%~ \uncover<13->{Méthode B: On utilise la formule croisée
%~ $$ \uncover<14->{2 \cdot \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{3}{2} \uncover<15->{ = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0 }}$$}


\uncover<14->{Les vecteurs sont \bl{colinéaires} et donc \vi{les points alignés}.}}
	
\end{frame}

\begin{frame}{4. Exercices-type}

\underline{Exemple 4.1} Soit A(3;7) et B(4;3). Calculer les coordonnées du point M(x;y) tel que $\Vecs{AM} = 3\Vecs{AB}$.\\

\vfill

\hunc{2}{
On calcule les composantes des vecteurs 
\begin{enumerate}
\item $\Vecs{AM} \uncover<3->{= \colvec{2}{x-3}{y-7}}$
\item $\Vecs{AB} \uncover<4->{= \colvec{2}{4-3}{3-7}}\uncover<5->{= \colvec{2}{1}{-4}}$
\end{enumerate}
\uncover<6->{ On a donc $$\Vecs{AM} = 3\Vecs{AB}
\uncover<7->{\Rightarrow \colvec{2}{x-3}{y-7}= 3\cdot \colvec{2}{1}{-4}}
\uncover<8->{\Rightarrow \colvec{2}{x-3}{y-7}= \colvec{2}{3}{-12}}
$$}
\uncover<9->{Sous forme de système:
$$\begin{cases}
x - 3 = 3\\
y - 7 = -12
\end{cases}
\uncover<10->{
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 3 + 3\\
y = -12 + 7
\end{cases}}
\uncover<11->{
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 6\\
y = -5
\end{cases}}$$}
\uncover<12->{On a donc $M(6;-5)$.}
} 

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 4.1 (Symétrique)} Soit $P(-4;2)$ et $S(1;3)$. Calculer les coordonnées du point $T$ symétrique à $P$ par rapport à $S$.

\hunc{2}{Autrement dit, on doit avoir
$$\Vecs{ST} = \Vecs{PS}$$
\uncover<3->{
On calcule les composantes des vecteurs 
\begin{enumerate}
\item $\Vecs{ST} \uncover<4->{= \colvec{2}{x-1}{y-3}}$
\item $\Vecs{PS} \uncover<5->{= \colvec{2}{1-(-4)}{3-2}}\uncover<6->{= \colvec{2}{5}{1}}$
\end{enumerate}}
\uncover<7->{ On a donc $$\Vecs{ST} = \Vecs{PS}
\uncover<7->{\Rightarrow \colvec{2}{x-1}{y-3}= \colvec{2}{5}{1}}
$$}
\uncover<9->{Sous forme de système:
$$\begin{cases}
x - 1 = 5\\
y - 3 = 1
\end{cases}
\uncover<10->{
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 6\\
y = 4
\end{cases}}
$$}
\uncover<12->{On a donc $T(6;4)$.}
}

  


\end{frame}

\end{document}

	
	








