\documentclass[mathserif]{beamer}
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\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}


\begin{document}

\titreCours{2}{Bases de vecteurs}{Géométrie vectorielle}

\begin{frame}{1. Base de l'ensemble des vecteurs du plan}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\draw[lblue] (-0.5,-0.5) grid[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm] (5,6);

\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4.5,5.5);
\coordinate (X) at (2.5,0);
\coordinate (Y) at (2,5.5);

\draw[thick] (A) -- (X) -- (B) -- (Y) -- (A);

\uncover<2->{\draw[bline, -latex] (A) -- node[left]{$\Vecs{x}$} (B);}
\uncover<2->{\draw[gline, -latex] (A) -- node[above]{$\Vecs{a}$} ($0.7*(X)$);}
\uncover<2->{\draw[gline, -latex] (A) -- node[left]{$\Vecs{b}$} ($0.7*(Y)$);}

\only<beamer>{
\uncover<3->{\draw[rline, -latex] (A) -- node[below]{$\alpha\cdot\ve{\Vecs{a}}$} (X);}
\uncover<4->{\draw[rline, -latex] (A) -- node[left]{$\beta\cdot\ve{\Vecs{b}}$} (Y);}
\uncover<5->{\draw[rline, -latex] (X) -- node[right]{$\beta\cdot\ve{\Vecs{b}}$} ($(Y)+(X)$);}
}



\end{tikzpicture}
\end{minipage}\quad \begin{minipage}{0.45\textwidth}

\uncover<6->{
On peut décomposer le vecteur comme: 
$$\bl{\Vecs{x}} = \ro{\alpha} \cdot \ve{\Vecs{a}} + \ro{\beta} \cdot \ve{\Vecs{b}}$$}

\uncover<7->{
Dans la base $(\ve{\Vecs{a}};\ve{\Vecs{b}})$, on écrit 
$$\bl{\Vecs{x}} = \colvec{2}{\ro{\alpha}}{\ro{\beta}}$$ 
où $\ro{\alpha}$, $\ro{\beta}$ sont les \bl{composantes} linéaires de $\bl{\Vecs{x}}$.
}
\end{minipage}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 1.1} Soit $\ve{(\Vecs{a}; \Vecs{b})}$ une base. On cherche les composantes des vecteurs $\bl{\Vecs{u}}$, $\bl{\Vecs{v}}$, $\ve{\Vecs{a}}$ et $\ve{\Vecs{b}}$. 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]

\draw[lblue] (-3.5,-1) grid[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm] (3.5,3.5);

\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (U) at (3,3);
\coordinate (V) at (-3,0);
\coordinate (A) at (1.5,0);
\coordinate (B) at (0,3);

\draw[gline, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{a}$}(A);
\draw[gline, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{b}$}(B);
\draw[bline, -latex] (O) -- node[above left]{$\Vecs{u}$}(U);
\draw[bline, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{v}$}(V);

\only<beamer>{
\uncover<2->{\draw[rline, -latex] (O) -- node[above]{$2\cdot\ve{\Vecs{a}}$}($2*(A)$);}
\uncover<3->{\draw[rline, -latex] ($2*(A)$) -- node[left]{$1\cdot\ve{\Vecs{b}}$}($2*(A)+(B)$);}
}

\end{tikzpicture}
\end{center}
\only<beamer>{
\uncover<4->{$$\bl{\Vecs{u}} = \ro{2}\cdot\ve{\Vecs{a}} + \ro{1}\cdot\ve{\Vecs{b}}}\uncover<5->{ \Leftrightarrow \bl{\Vecs{u}} = \colvec{2}{\ro{2}}{\ro{1}}}$$
\uncover<6->{
De même,
$$\uncover<7->{\bl{\Vecs{v}} = \colvec{2}{-2}{0}} \quad \uncover<8->{\bl{\Vecs{a}} = \colvec{2}{1}{0}} \quad \uncover<9->{\bl{\Vecs{b}} = \colvec{2}{0}{1}}$$}
}
\only<handout>{\vspace{3cm}}

\end{frame}

\begin{frame}

\only<beamer>{\small}

\underline{Application 1.1} Si $\bl{\Vecs{a}= \colvec{2}{3}{4}}$ et $\ve{\Vecs{b}=\colvec{2}{7}{-10}}$, on peut calculer les composantes des vecteurs suivants.\\[0.5cm]

\begin{enumerate}

\item $\bl{\Vecs{a}} + \ve{\Vecs{b}} \only<beamer>{\uncover<2->{= \bl{\colvec{2}{3}{4}} + \ve{\colvec{2}{7}{-10}}}
\uncover<3->{ = \colvec{2}{\bl{3}+\ve{7}}{\bl{4}+(\ve{-10})}} \uncover<4->{= \colvec{2}{10}{-6}}}$\\[0.75cm]

\item<5-> $\ro{7}\cdot\bl{\Vecs{a}} \only<beamer>{\uncover<6->{= \ro{7}\cdot\bl{\colvec{2}{3}{4}}} 
\uncover<7->{= \colvec{2}{\ro{7}\cdot\bl{3}}{\ro{7}\cdot\bl{4}}} \uncover<8->{= \colvec{2}{21}{28}}}$\\[0.75cm]

\item<9-> $\ro{3}\cdot\bl{\Vecs{a}} - \ro{2}\cdot\ve{\Vecs{b}} \only<beamer>{
\uncover<10->{= \ro{3}\cdot\bl{\colvec{2}{3}{4}}-\ro{2}\cdot\ve{\colvec{2}{7}{-10}}}
\uncover<11->{= \colvec{2}{\ro{3}\cdot\bl{3}-\ro{2}\cdot\ve{7}}{\ro{3}\cdot\bl{4}-\ro{2}\cdot(\ve{-10})}}
\uncover<12->{= \colvec{2}{-5}{32}}} $
\end{enumerate}  

\end{frame}

\begin{frame}{2. Changement de base} 

\only<beamer>{\small}

\underline{Exemple 2.1}\\[0.2cm]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]

\draw[lblue] (-1,-1) grid (12,8);

\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (U) at (1,0);
\coordinate (V) at (0,1);
\coordinate (A) at (3,5);
\coordinate (B) at (4,1);
\coordinate (C) at ($1*(A)+ 2*(B)$);

\draw[bline, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{u}$} (U);
\draw[bline, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{v}$} (V);

\only<beamer>{
\uncover<2-4>{\draw[grline,-latex] (O) -- ($3*(U)$) node[below]{$\ve{3}\cdot\Vecs{u}$};}
\uncover<3-4>{\draw[grline,-latex] ($3*(U)$) -- node[right, yshift=0.5cm]{$\ve{5}\cdot\Vecs{v}$}($3*(U)+ 5*(V)$);}
}

\only<beamer>{
\uncover<5-7>{\draw[grline,-latex] (O) -- ($4*(U)$) node[below, xshift=-0.5cm]{$\ve{4}\cdot\Vecs{u}$};}
\uncover<6-7>{\draw[grline,-latex] ($4*(U)$) -- node[right]{$\ve{1}\cdot\Vecs{v}$}($4*(U)+ 1*(V)$);}
}

\only<beamer>{
\uncover<8-10>{\draw[grline,-latex] (O) --node[below]{$\ro{11}\cdot\Vecs{u}$} ($11*(U)$);}
\uncover<9-10>{\draw[grline,-latex] ($11*(U)$) -- node[right]{$\ro{7}\cdot\Vecs{v}$}($11*(U)+ 7*(V)$);}
}


\draw[gline, -latex] (O) -- node[left]{$\Vecs{a}$} (A);
\draw[gline, -latex] (O) -- node[below]{$\Vecs{b}$} (B);

\only<beamer>{
\uncover<11-13>{\draw[green!80!black, very thick, -latex] (O) -- node[left]{$\ro{1}\cdot\Vecs{a}$}  ($1*(A)$);}
\uncover<12-13>{\draw[green!80!black, very thick, -latex] ($1*(A)$) -- node[above]{$\ro{2}\cdot\Vecs{b}$}($1*(A)+ 2*(B)$);}
}

\draw[rline, -latex] (O) -- node[above left]{$\Vecs{c}$} (C);

\end{tikzpicture}
\end{center}

Quelles sont les composantes de $\ve{\Vecs{a}}$, $\ve{\Vecs{b}}$ et $\ro{\Vecs{c}}$ dans la base \bl{($\Vecs{u}$;$\Vecs{v}$)}?
\uncover<beamer>{\uncover<4->{$\ve{\Vecs{a}=\colvec{2}{3}{5}} \quad \uncover<7->{\ve{\Vecs{b}=\colvec{2}{4}{1}}} \quad \uncover<10->{\ro{\Vecs{c}=\colvec{2}{11}{7}}}$}\\[0.25cm]}

Quelles sont les composantes de $\ro{\Vecs{c}}$ dans la base \ve{($\Vecs{a}$;$\Vecs{b}$)}? \uncover<beamer>{\uncover<13->{$\ro{\Vecs{c}=\colvec{2}{1}{2}}$}}


\end{frame}

\begin{frame}

\only<beamer>{\small}

\underline{Exemple 2.2} Soit $\ve{\Vecs{a}=\colvec{2}{3}{5}}, \ve{\Vecs{b}=\colvec{2}{4}{1}}$ et $\ro{\Vecs{c}=\colvec{2}{11}{7}}$ trois vecteurs donnés dans une base \bl{($\Vecs{u}$;$\Vecs{v}$)}. Quelles sont les composantes de \ro{$\Vecs{c}$} dans la base \ve{($\Vecs{a}$;$\Vecs{b}$)}?\\[0.2cm]

\uncover<beamer>{
\uncover<2->{
On cherche $\ora{\alpha}$ et $\ora{\beta}$ tels que 
$$\ro{\Vecs{c}} = \ora{\alpha} \cdot \ve{\Vecs{a}} + \ora{\beta} \cdot \ve{\Vecs{b}}$$  }

\uncover<3->{On passe aux composantes:
$$\ro{\colvec{2}{11}{7}} = \ora{\alpha} \cdot \ve{\colvec{2}{3}{5}} + \ora{\beta} \cdot \ve{\colvec{2}{4}{1}}$$ }

\uncover<4->{On réécrit sous forme de système d'équations:
$$\begin{cases}
\ro{11} = \ve{3}\ora{\alpha} + \ve{4}\ora{\beta} \\
\ro{7} = \ve{5}\ora{\alpha} + \ora{\beta} 
\end{cases}$$}
}


\end{frame}

\begin{frame}

\only<beamer>{\small

On résoud par substitution en utilisant la deuxième équation:
$$\ro{7} = \ve{5}\ora{\alpha} + \ora{\beta}  \uncover<2->{\Leftrightarrow \ora{\beta} = \ro{7} - \ve{5}\ora{\alpha}}$$
\uncover<3->{On remplace dans la première équation:
\begin{eqnarray*}
&&\ro{11} = \ve{3}\ora{\alpha} + \ve{4}\ora{\beta} \qquad\qquad\qquad\uncover<4->{\boxed{\ora{\beta} = \ro{7} - \ve{5}\ora{\alpha}}}\\
\uncover<5->{&\Leftrightarrow& 11 = 3\ora{\alpha} + 4(7-5\ora{\alpha}) \qquad\qquad\qquad \uncover<6->{\boxed{CL}}}\\
\uncover<7->{&\Leftrightarrow& 11 = 3\ora{\alpha} + 28- 20\ora{\alpha} \qquad\qquad\qquad \uncover<8->{\boxed{-28}}}\\
\uncover<9->{&\Leftrightarrow& -17 = - 17\ora{\alpha} \qquad\qquad\qquad \uncover<10->{\boxed{\div (-17), \leftrightarrow}}}\\
\uncover<11->{&\Leftrightarrow& \ora{\alpha} = 1} 
\end{eqnarray*}}
\uncover<12->{On remplace dans l'équation de substitution
$$ \ora{\beta} = \ro{7} - \ve{5}\ora{\alpha} \uncover<13->{\stackrel{\ora{\alpha=1}}{\Rightarrow} \ora{\beta} = \ro{7} - \ve{5}\cdot\ora{1} = \ora{2}}$$}
\uncover<14->{On a donc $\ro{\Vecs{c}} = \colvec{2}{\ora{1}}{\ora{2}}$.}\uncover<15->{ On vérifie la solution:}
$$\uncover<16->{\ro{\Vecs{c}} = \ora{1} \cdot \ve{\Vecs{a}} + \ora{2} \cdot \ve{\Vecs{b}} } 
\uncover<17->{= \ora{1} \cdot \ve{\colvec{2}{3}{5}} + \ora{2} \cdot \ve{\colvec{2}{4}{1}}}
\uncover<18->{ = \ro{\colvec{2}{11}{7}}} 
\quad \uncover<19->{\ve{\LARGE\checkmark}}$$}

\end{frame}

\begin{frame}{3. Vecteurs colinéaires}

\only<beamer>{\small}
\underline{Rappel 3.1} Deux vecteurs sont \bl{colinéaires} s'ils ont la même direction: \uncover<2->{
$$\boxed{\Vecs{a}, \Vecs{b} \mbox{ sont \bl{colinéaires} } \Leftrightarrow \mbox{Il existe \ve{k} tel que } \Vecs{b} = \ve{k} \cdot \Vecs{a}}$$ }

\uncover<3->{\underline{Exemple 3.1} Les couples de vecteurs suivants sont-ils colinéaires?
\begin{enumerate}
\item<4-> $\Vecs{a}=\colvec{2}{3}{6}$ et $\Vecs{b}=\colvec{2}{-9}{-18}$
\only<beamer>{
$$\uncover<5->{\ve{k}\Vecs{a} = \Vecs{b} \Leftrightarrow \begin{cases} 
-9 = \ve{k} \cdot 3\\ 
-18 = \ve{k} \cdot 6 
\end{cases}}
\uncover<6->{\Leftrightarrow\begin{cases} 
\ve{k}= \ve{-3}\\ 
\ve{k}= \ve{-3} 
\end{cases}
\LARGE\ve{\checkmark}}
$$
\uncover<7->{On a que $\ve{3}\cdot\colvec{2}{3}{6} = \colvec{2}{-9}{-18}$.}\uncover<9->{ Les vecteurs sont donc colinéaires.}
}\only<handout>{\vspace{2cm}}
\item<11-> $\Vecs{a}=\colvec{2}{3}{7}$ et $\Vecs{b}=\colvec{2}{6}{-14}$
\uncover<beamer>{
$$\uncover<12->{\ve{k}\Vecs{a} = \Vecs{b} \Leftrightarrow\begin{cases} 
\ve{k} \cdot 3 = 6\\ 
\ve{k} \cdot 7 = -14 
\end{cases}}
\uncover<13->{\Leftrightarrow\begin{cases} 
\ve{k}= \hspace{0.25cm}\ve{2}\\ 
\ve{k}= \ve{-2} 
\end{cases}
\mbox{\Large\ro{\ding{56}}}}
$$
\uncover<14->{Les vecteurs ne sont \ro{pas} colinéaires.}
}
\end{enumerate}}
\end{frame}

\begin{frame}{4. Condition pour que des vecteurs forment une base}

\underline{Propriété 4.1} Deux vecteurs peuvent former une \bl{base} s'ils ne sont \ro{pas} \ro{colinéaires}.\\[0.2cm]

\vfill
\begin{minipage}{0.5\textwidth}

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]


\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (X) at (3,1.5);

\fill (O) circle (0.1cm);

\draw[lblue] (-0.5,-1) grid[xstep=0.5,ystep=0.5] (3.5,2);

\uncover<2->{
%vecteur a
\draw[-latex, bline] (O) -- node[above]{\Vect{x}} (X);}

% base
\draw[-latex, nline] (O) -- node[below]{\Vect{a}} (1,0);
\draw[-latex, nline] (O) -- node[left]{\Vect{b}} (0,1);

\only<beamer>{
\uncover<3->{ 
\draw[-latex, gline] (O) -- node[below]{$\ve{\alpha}\cdot\textcolor{black}{\Vec{a}}$}(3,0);
\draw[-latex, gline] (3,0) -- node[left]{$\ve{\beta}\cdot\textcolor{black}{\Vec{b}}$} (3,1.5);}

\uncover<6->{\draw[oline, dashed] (0,-1) -- (0,2);}

\uncover<5->{ 
\draw[-latex, rline] (O) -- node[left]{\Vect{c}} (0,-0.5);
\draw[-latex, rline] (O) -- node[left]{\Vect{b}} (0,1);}}



\end{tikzpicture}

\end{minipage}\begin{minipage}{0.5\textwidth}

\uncover<4->{Les vecteurs $\Vecs{a}$ et $\Vecs{b}$ ne sont \ro{pas} colinéaires: on peut exprimer \bl{n'importe quel} vecteur du plan
$$\bl{\Vecs{x}} = \ve{\alpha} \cdot \Vecs{a} + \ve{\beta} \cdot \Vecs{b}$$ 
}

\end{minipage}

\vfill
\uncover<6->{Les vecteurs \ro{$\Vecs{b}$} et \ro{$\Vecs{c}$} sont colinéaires: on ne peut exprimer que des vecteurs \ora{de même direction}.}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exemple 4.1} Les vecteurs $\colvec{2}{3}{2}$ et $\colvec{2}{5}{1}$ peuvent-ils former une base?

\vfill

\uncover<beamer>{
On pose
$$\uncover<2->{\begin{cases} 
\ve{k} \cdot 3 = 5\\ 
\ve{k} \cdot 2 = 1 
\end{cases}}
\uncover<3->{\Leftrightarrow\begin{cases} 
\ve{k}= \ve{\frac{5}{3}}\\ 
\ve{k}= \ve{\frac{1}{2}} 
\end{cases}
\mbox{\Large\ro{\ding{56}}}
}$$



\uncover<4->{Les vecteurs ne sont \ro{pas} colinéaires.}\uncover<5->{ Ils peuvent donc former une base.}}

\end{frame}

\end{document}

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